高考数学一轮复习第11章概率第1节随机事件的概率教学案文北师大版

第11章概率全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章内容中一般命制1道小题，1道解答题，分值在5～17分.2.考查内容高考中小题重点考查古典概型、几何概型，解答题重点考查概率的意义、古典概型及概率与统计相结合的综合性问题.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①互斥、对立事件的概念及概率计算问题；②古典概型、几何概型的概率计算问题；③概率与统计相结合的综合性问题.(2)重视分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节随机事件的概率[最新考纲]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．(对应学生用书第188页)1．概率(1)定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，有0≤P(A)≤1.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．2．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．(2)对立事件：在每一次试验中，两个事件不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和eq\x\to(A)称为对立事件．3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．eq\o([常用结论])1．辨析两组概念(1)频率与概率①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)互斥事件与对立事件①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件． ()(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件． ()(3)事件发生的频率与概率是相同的． ()(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0＜P(A)＜1. ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶D[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．eq\f(1,2)[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).]3．一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.(结果用最简分数表示)eq\f(7,26)[P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(7,26).]4．甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．0.2[事件“乙获胜”的对立事件是“甲不输”，根据对立事件的概率计算公式可得，乙获胜的概率为：1－0.8＝0.2.](对应学生用书第189页)⊙考点1随机事件之间的关系判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件．(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件 B．互斥但不对立事件C．不可能事件 D．以上都不对B[事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，两者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得红牌，所以二者不是对立事件，故选B.]2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件C[事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生，因此选项A，B，D错，C正确．]3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡A[至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]第2题易误选B，造成错误的原因是忽视了事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生．⊙考点2随机事件的概率与频率1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费aaaaa2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费aaaaa2a频率a×0.30＋a×0.25＋a×a×a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.[母题探究]1．若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．[解]设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E，事件E对应于出险次数大于或等于1，由本例(3)知出险次数小于1的频率为0.3，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.3＝0.7，故P(E)的估计值为0.7.2．若本例的条件不变，记F为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”，求P(F)的估计值．[解]“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P(F)的估计值为0.25.本例第(1)(2)两问，考查了用频率估计概率，第(3)问解题的关键是列出保费与频率的关系，再根据公式求平均保费．[教师备选例题]某花店每天以每朵5元的价格从农场购进若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．(1)若花店一天购进17朵玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：朵，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：朵)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17朵玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17朵玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．[解](1)当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85.所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n＜17,85，n≥17))(n∈N*)．(2)①这100天的日利润的平均数为eq\f(55×10＋65×20＋75×16＋85×54,100)＝76.4(元)．②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16朵，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.⊙考点3互斥事件、对立事件的概率求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1张奖券的中奖概率约为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,10