河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二（A）组上学期第三次周测数学试题

圆锥曲线综合应用周测（第十周）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共分）椭圆上到直线距离最近的点的坐标是A. B. C. D.抛物线的焦点F是双曲线的一个焦点，为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C.2 D.“”是“方程表示双曲线”的A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是A. B. C. D.经过作圆的弦AB，且P为AB的中点，则弦AB所在的直线方程为

A. B.

C. D.已知抛物线C：的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为A. B. C. D.已知为椭圆的左、右焦点，点P在C上，，则等于A. B. C. D.双曲线左、右焦点分别为、，双曲线上的点P满足，则

A.1 B.4 C.7 D.9二、不定项选择题（本大题共1小题，共分）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，连同，两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，则以下四个结论中正确的有

A.当时，曲线C是一个圆

B.当时，曲线C的离心率为

C.当时，曲线C的渐近线方程为

D.当时，曲线C的焦点坐标分别为和三、填空题（本大题共4小题，共分）过点且与圆相切的直线方程______．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则线段AB所在的直线方程为____________线段AB的中垂线方程为_______________．圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则此时直线被圆截得的弦长等于__________．已知抛物线的焦点为F，直线交C于A、B两点，M是C的准线上一点，且直线AM和BM的斜率之和为，则直线FM的斜率为

．四、解答题（本大题共2小题，共分）已知椭圆的半长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．

求椭圆的方程；

经过点做直线l，交椭圆于A，B两点．如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程．

已知点，圆C：．

若直线l过点P且到圆心C的距离为2，求直线l的方程；

设过点的直线m与圆C交于A、B两点的斜率为负，当时，求以线段AB为直径的圆的方程．

圆锥曲线综合应用答案和解析【答案】1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D

8.B 9.ABD 10.

11.；

12.

13.

14.解：根据题意，椭圆的半长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．

即，

，则，

故椭圆的方程为：；

由得故椭圆的方程为：，

若直线斜率不存在，即l为：，显然不满足题意；

故设直线l的方程为：，

将直线代入椭圆方程，得，，

设，则，

恰好是线段AB的中点，

，，

解可得得，经检验，满足，

则直线l的方程为，即

．

15.解：圆心，设直线l：，即，

所以，解得：，所以直线l：

设直线m：，，即，

圆心到直线m的距离为：，

解得舍或，

直线m的方程为：，即．

设经过直线m：与圆的交点A，B的圆系方程为：

，其圆心坐标为，

依题意以AB为直径的圆的圆心在直线m上，

，

解得，

所以以线段AB为直径的圆的方程为：．

【解析】1.解：设与直线平行且与椭圆相切的直线l的方程为：，

由，化为

，化为，解得．

直线在椭圆的下方，故直线系中靠近的直线，

取，代入可得：，解得，．

故选：A．

设与直线平行且与椭圆相切的直线l的方程为：，与椭圆的方程联立化为关于x的一元二次方程，令，进而解出点的坐标．

本题考查了直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到，相互平行的直线之间的斜率公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．2.解：抛物线的焦点，即双曲线的右焦点为，

双曲线的渐近线方程分别为，，

抛物线的准线方程为，

由为抛物线上一点，可得，且，

解得，，

即，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线平行，

可得，

则双曲线的离心率为．

故选：C．

求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定义可得A的坐标，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．

本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及离心率的求法，化简运算能力，属于中档题．3.解：若，，，则不能表示双曲线，不是充分条件，

反之，若方程表示双曲线，

则a，b异号，是必要条件，

故是方程表示双曲线的必要不充分条件，

故选：C．

运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．

本题考查了充分必要条件的定义，双曲线的标准方程，属于基础题．4.解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为，实半轴长为，

即有，，

设P为第一象限的点，，，

由椭圆和双曲线的定义可得，，

解得，，

由，可得，

即为，

即有，又，

．

故选：D．

设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为，实半轴长为，运用离心率公式和椭圆、双曲线的定义，结合三角形的余弦定理，可得与的关系式，再由已知的值求得的值．

本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查三角形的余弦定理的应用，考查化简运算能力，属于中档题．5.【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程．

由题知P为弦AB的中点，可得直线AB与过圆心和点P的直线垂直，可求AB的斜率，然后用点斜式求出AB的方程．

【解答】

解：由题意知圆的圆心为，

，由，得，所以弦AB所在直线的方程为，整理得．

故选C．6.解：抛物线C：，可得准线方程为：，

过点且斜率的直线l：，

由题意可得：，可得，

直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，

则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：．

故选：A．

求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．

本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．7.【分析】

本题主要考查了椭圆的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了学生的推理计算能力．

由椭圆定义可知，又，则可知，由题可知，则利用余弦定理可得．

【解答】

解：由椭圆定义可知，

又，则可知，

又即．

则．

故选D．8.【分析】

本题考查双曲线的概念和余弦定理得应用，在中根据余弦定理列出与的关系，再由双曲线的概念得出结果，属于较容易题．

【解答】

解：由双曲线的定义可知，

设，，则，

由余弦定理可得，即，

，可得，

故选B．9.【分析】

本题考查了直线的斜率公式，圆的轨迹方程，椭圆与双曲线的标准方程和几何性质的应用，属于中档题．

设动点为，求出直线、的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据题目所给条件逐一核对四个命题得答案．

【解答】

解：设动点为，

当时，由条件可得，

即，

又，的坐标满足，

当时，曲线C的方程为，

则C是圆心在原点的圆，故A正确；

当时，曲线C的方程为，

则C是焦点在y轴上的椭圆，

又，离心率为，故B正确；

当时，曲线C的方程为，

表示焦点在y轴上的双曲线，

其渐近线方程为，故C错误；

当时，曲线C的方程为，

表示焦点在y轴上的椭圆，

由，

可知焦点坐标分别为和；

当时，C是焦点在y轴上的双曲线，

方程为，

由，

可知焦点坐标分别为和，故D正确．

故选ABD．10.解：把点代入圆成立，

可知点是圆上的一点，

则过的圆的切线方程为．

故答案为．

点是圆上的一点，然后直接代入过圆上一点的切线方程为，得圆的切线方程．

本题考查圆的切线方程，过圆上一点的切线方程为，此题是基础题．11.【分析】

第一空所求AB所在直线方程，实际是两个圆相交的特殊情况，把两圆方程作差即可求得结果；

第二空所求AB的中垂线方程经过两圆的圆心，由直线方程的截距式可求出AB的中垂线方程．

【解答】

解：圆：与圆：相减，即得公共弦AB所在的直线方程，

故AB所在的直线方程是：，即．

由上面圆的标准方程知两圆圆心坐标为，，因为AB的中垂线方程经过两圆的圆心，

由直线方程的截距式得AB的中垂线方程为：，即

故答案为；．12.【分析】

此题考查了圆与直线的位置关系，圆心到直线的距离等于2，考查了圆的弦长公式．

求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离等于2，则可得即可得到答案．

【解答】

解：圆半径为3，圆心到直线的距离等于2，

即圆上有且仅有3个点到直线的距离为1．

此时弦长为．

故答案为．13.略14.根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；

根据题意