浙江省中考数学总复习第一章数与式第1讲实数及其运算讲解篇

第1讲实数及其运算1．实数的分类eq\a\vs4\al(实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(正整数,))自然数,负整数)),分数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正分数,))\x(\a\al(有限小数或无限循环,小数)))),无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,))无限不循环小数)))2．实数的有关概念考试内容考试要求名称定义性质数轴规定了____________________、____________________、____________________的直线.数轴上的点与实数一一对应．abc相反数只有____________________不同的两个数，即实数a的相反数是－a.①若a、b互为相反数，则a＋b＝0.②在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点____________________，且到原点的距离相等．绝对值在数轴上表示数a的点与原点的____________________，记做|a|.|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0）0（a＝0）－a（a<0）))倒数____________________的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为____________________.①ab＝1⇔a、b互为倒数；②0没有倒数；③倒数等于本身的数是1或－1.a3.科学记数法和近似数考试内容考试要求科学记数法把一个数写成____________________的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数)，这种记数法称为科学记数法.b近似数一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．注意：实际问题取近似数会出现进一法、去尾法.a4.平方根、算术平方根、立方根考试内容考试要求名称定义性质平方根如果x2＝a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根．记做±eq\r(a).正数的平方根有两个，它们互为；没有平方根；0的平方根是．abc算术平方根如果x2＝a(x>0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记做eq\r(a).0的算术平方根是．立方根若x3＝a，则x叫做a的立方根，记做eq\r(3,a).正数有一个_______________立方根；0的立方根是0；负数有一个____________立方根.5.实数的大小比较考试内容考试要求代数比较规则正数零，负数零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而．c几何比较规则在数轴上表示的两个数，左边的数总是____________________右边的数.6.实数的运算考试内容考试要求运算法则加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等．特别地，a0＝(其中a≠0)，a－p＝(其中p为正整数，a≠0)．c运算律交换律、结合律、分配律．运算性质有理数一切运算性质和运算律都适用于实数运算．运算顺序先算乘方、开方，再算____________________，最后算____________________，有括号的要先算____________________的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.考试内容考试要求基本方法1.实数可分为正数、零和负数；也可以分为有理数和无理数.分类与整合思想是初中数学一个重要的数学思想方法，应该不失时机地让学生感受分类的原则是不重不漏，掌握分类的标准．c2.比较实数的大小可直接利用法则进行比较，还可以采用作差法、倒数法及估算法，也可借助数轴进行比较.3.实数混合运算时，根据每个算式的结构特征，选择适当的方法，灵活运用运算律，就会收到事半功倍的效果．(2016·金华)如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是()A．∅45.02B．∅44.9C．∅44.98D．∅45.012．(2017·金华)下列各组数中，把两数相乘，积为1的是()A．2和－2B．－2和eq\f(1,2)C.eq\r(3)和eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)和－eq\r(3)3．(2016·丽水)下列四个数中，与－2的和为0的数是()A．－2B．2C．0D．－eq\f(1,2)4．(2017·杭州)|1＋eq\r(3)|＋|1－eq\r(3)|＝()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)5．计算：(1)(2016·衢州)计算：|－3|＋eq\r(9)－(－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)；(2)(2017·金华)计算：2cos60°＋(－1)2017＋|－3|－(eq\r(2)－1)0；(3)(2015·台州)6÷(－3)＋|－1|－20150.【问题】在下图的集合圈中，有5个实数．(1)其中最大的数是________；(2)计算其中的有理数的和与无理数的积的差；(3)请你再提出有关实数的几个问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理有理数、无理数有关的概念，以及实数的分类；实数的运算法则．类型一与实数相关的概念eq\a\vs4\al(例1)数字eq\r(2)，eq\f(1,3)，π，eq\r(3,8)，cos45°，0.32中是无理数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解后感悟】对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如eq\r(3,8)＝2是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°就是有理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．1．(1)(2015·上海)下列实数中，是有理数的为()A.eq\r(2)B.eq\r(3,4)C．πD．0(2)(2017·河北)如图为张小亮的答卷，他的得分应是()姓名__张小亮__得分__？__填空(每小题20分，共100分)①－1的绝对值是____．②2的倒数是____．③－2的相反数是____．④1的立方根是____．⑤－1和7的平均数是___．A．100分B．80分C．60分D．40分(3)数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是()A．点A与点DB．点A与点CC．点B与点CD．点B与点D类型二科学记数法与近似值eq\a\vs4\al(例2)(2017·绍兴)研究表明，可燃冰是一种替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰存储量达150000000000立方米，其中数字150000000000用科学记数法可表示为()A．15×1010B．0.15×1012C．1.5×1011D．1.5×1012【解后感悟】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2．(1)(2017·益阳)目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为()A．4×108B．4×10－8C．0.4×108D．－4×108(2)(2017·温州)下列选项中的整数，与eq\r(17)最接近的是()A．3B．4C．5D．6类型三实数的运算eq\a\vs4\al(例3)(2015·绍兴)计算：2cos45°－(π＋1)0＋eq\r(\f(1,4))＋(eq\f(1,2))－1.【解后感悟】实数运算的一般步骤：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每步运算法则和符号；(4)灵活运用运算律．3．(2016·舟山)13世纪数学家斐波那契的(计算书)中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为()A．42B．49C．76D．774．计算：(1)(2015·菏泽)(－1)2015＋sin30°－(π－3.14)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)；(2)(2017·衢州)计算：eq\r(12)＋(π－1)0×|－2|－tan60°；(3)(2015·温州)20150＋eq\r(12)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).类型四实数的大小比较eq\a\vs4\al(例4)(2015·丽水)在数－3，－2，0，3中，大小在－1和2之间的数是()A．－3B．－2C．0D．3【解后感悟】实数的大小比较常用以下方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．(2)代数表示法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．(3)差值比较法：设a、b是两个任意实数，则：a－b>0，a>b；a－b＝0，a＝b；a－b<0，a<b.5．(1)(2016·衢州)在eq\r(2)，－1，－3，0这四个实数中，最小的是()A.eq\r(2)B．－1C．－3D．0(2)设a＝20，b＝(－3)2，c＝eq\r(3,－27)，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是()A．c<a<d<bB．b<d<a<cC．a<c<d<bD．b<c<a<d【新定义题】定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【方法与对策】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果；同时利用所学知识解答综合问题是我们应具备的能力，是中考命题方式．【对科学记数法的精确的位数混淆不清；实数运算的顺序、符号处理不当】1．(2017·台州)人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为()A．978×103B．97.8×104C．9.78×105D．0.978×1062．(2015·遂宁)计算：－13－eq\r(27)＋6sin60°＋(π－3.14)0＋|－eq\r(5)|.参考答案第1讲实数及其运算【考点概要】1．零负分数负无理数2.原点正方向单位长度符号两侧距离乘积为1eq\f(1,a)3.a×10n4.相反数负数00正的负的5.大于小于小小于6.1eq\f(1,ap)乘除加减括号内【考题体验】1．B2.C3.B4.D5.(1)6；(2)2；(3)－2.【知识引擎】【解析】(1)32；(2)首先要弄清有