2023-2024学年山西省榆社中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2023-2024学年山西省榆社中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中，角的对边分别为，且，则角（）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．13 C．9 D．73．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则己知圆锥的母线长为（）.A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．5．下列说法中正确的是(

)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等6．已知是单位向量，.若向量满足（）A． B．C． D．7．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（）A． B． C． D．8．等比数列的前项和为，，且成等差数列，则等于()A． B． C． D．9．在中，若，则角的大小为（）A． B． C． D．10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数f（x）＝2cos（x）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____．12．设为等差数列，若，则_____．13．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．14．已知向量，，且，点在圆上，则等于．15．若点，是圆C：上不同的两点，且，则的值为______.16．设等比数列的公比，前项和为，则．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为.（1）求实数，的值；（2）求点到直线的距离.18．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?19．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.20．年月日是第二十七届“世界水日”，月日是第三十二届“中国水周”．我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭，记录他们月份的用水量（单位：）如下表：小区家庭月用水量小区家庭月用水量（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户，求小区家庭的用水量低于小区的概率．21．在数列中，，.（1）分别计算，，的值；（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据题意结合正弦定理，由题，可得三角形为等边三角形，即可得解.【详解】由题：即，中，由正弦定理可得：，即，两边同时平方：，由题，所以，即，所以，即为等边三角形，所以.故选：B【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.2、B【解析】

利用等差数列通项公式、前项和列方程组，求出，．由此能求出．【详解】解：等差数列的前项和为，，，，解得，．．故选：．【点睛】本题考查等差数列第7项的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、B【解析】

设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解.【详解】设圆锥的母线长为，因为圆台的上、下底面半径之比为，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4、C【解析】

纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．【详解】点关于平面对称的点的坐标为．故选C．【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．5、B【解析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.考点：本小题主要考查空间几何体的性质.点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.6、A【解析】

因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.7、A【解析】

根据向量坐标的求解公式可求.【详解】设，因为A点的坐标为，所以.所以，即.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.8、A【解析】

根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得的值.【详解】由于成等差数列，故，即，所以，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题.9、D【解析】

由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.【详解】，，，由正弦定理边角互化思想得，，，同理得，，，则，解得，中至少有两个锐角，且，，所以，，，因此，，故选D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.10、B【解析】试题分析：方法一:由条件可知三年级的同学的人数为,所以应抽人数为,方法二:由条件可知样本中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1,因此应抽取三年级的学生人数为,答案选B.考点：分层抽样二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、﹣3【解析】

利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，求得结论．【详解】解：对于函数，令，求得，根据余弦函数的值域可得函数的最小值为，故答案为：；．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，属于基础题．12、【解析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。13、【解析】

根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：所以，所以故填：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14、【解析】试题分析：因为且在圆上，所以，解得，所以．考点：向量运算．【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．15、【解析】

由，再结合坐标运算即可得解.【详解】解：因为点，是圆C：上不同的两点，则，，又所以，即，故答案为：.【点睛】本题考查了向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.16、15【解析】分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.详解：数列为等比数列，故答案为15.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),.(2).【解析】分析：（1）在直线方程中，令可得在轴上的截距，令可得轴上的截距．（2）由（1）可得点的坐标，然后根据点到直线的距离公式可得结果．详解：（1）在方程中，令，得，所以；令，得，所以．（2）由（1）得点即为，所以点到直线的距离为.点睛：直线在坐标轴上的“截距”不是“距离”，截距是直线与坐标轴交点的坐标，故截距可为负值、零或为正值．求直线在轴（轴）上的截距时，只需令直线方程中的或等于零即可．18、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【解析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和(2)是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论【详解】(1)由题意得是等差数列，所以由题意得所以所以是首项为250，公比为的等比数列所以所以(2)是数列的前项和所以是数列的前项和减去600，所以(3)易得此函数当时单调递增且时时所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.19、(1)的最小正周期为(2)的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间。试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为20、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“小区家庭的用水量低于小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“小区家庭的用水量低于小区”的概率.【详解】（1）绘制如下茎叶图：由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎、上，由此可看出小区居民节水意识更好；（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：、、、、、、、，共个基本事件，小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．【点睛】本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.21、(1),；

(2),证明见解析【解析】

(1)分别令即可