2024年云南省红河州高考数学第二次统测试卷（附答案解析）

2024年云南省红河州高考数学第二次统测试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有,

项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数2=(2+z)(1-/),贝悯=()

A.V2B.2C.V5D.V10

2.(5分)设集合A={0,1,2},B={3,m},若AC8={2},则AU8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2)C.{1,2,3}D.{2,3}

―—T

3.（5分）已知向量a=（1,—2),b=(—1,-2),设a与b的夹角为0,则sin6=(

3344

A.-HB.-C.-HD.

5555

4.（5分）在（2-«）7的展开式中，含/的项的系数为（）

A.-280B.280C.560D.-560

22

5.（5分）已知双曲线C；/臣-葛=1（6>0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近

线方程为（）

A.y=±^xB.y=±^-xC.y=±2xD.y=±V2x

11

6.（5分）已知a,6均为正实数，则“一〉一”是“整+2.>3°〃，的（）

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.（5分）孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可

见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题

的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余

式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将1

至2024这2024个整数中能被2除余1且被3除余2的数,按从小到大的顺序排成一列，

把这列数记为数列｛即｝.设勾=（a）而，则等（）

bn

A.8B.16C.32D.64

8.（5分）已知函数f（x）=另y-久3,对于任意的2],不等式/（罟）+f（一孚一）

，十,x1（x—1）（%—6）

VI恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.（1,+8）B.[-1,1]C.（-8,-1]D.（-8,-1）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为7T

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

（多选）10.（5分）若圆。J%2+y2+2%—3=0与圆。2：%2+y2—2y-1=0交于A,

2两点，则下列选项中正确的是（）

A.点（1,-1）在圆02内

B.直线42的方程为x+y-1=0

C.圆01上的点到直线AB距离的最大值为2+V2

D.圆。2上存在两点尸，Q,使得|PQ|>|AB|

（多选）11.（5分）己知函数/（%）=7-x-/«%,则下列选项中正确的是（）

1

A-〃2）>抬）

B.f（x）既有极大值又有极小值

C.若方程机=/（|x|）有4个根，则:底（0,+8）

D.若/'（XI）=/（X2）（无1#X2）,贝！JX1X2-（X1+X2）+1<0

（多选）12.（5分）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共

有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：

生产线次品率产量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测

方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或

“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4,则该天检测方式和前一天相同，

否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是()

A.若计算机5次生成的数字之和为厚则P(fV4)=/

B.设4表示事件第〃天该企业产品检测选择的是智能检测，贝UP(4n)=

53

C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为3.75%

25

D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为一

78

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当尤>0时，f(x)=l+log^,贝U/(-2)

+f<0)=-

14.(5分)已知椭圆E；1+*=1的右焦点为R直线/：3y=0(mGR)交E于A,

B两点，且BP,无轴，贝U|A尸尸.

15.(5分)已知函数f(x)=2s讥(we—$®CN*)在［0,勺上恰好有三个零点，请写出符

合条件的一个3的值：.

16.(5分)如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A18C1中，ZArAB=N&AC=BM=

->—>_____»—>

4BB1，CN=N西，若存在入e(0,1),ne(o,1),使a“-BN=o成立，则入+四的最

小值为_______________________.

五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,已

,a2+b2-c2厂/—

知---------=6V2,a=y2b

cosC

(1)求mb\

(2)请从①S=*(Q2+c?—62)；②bcos/+¥a=c；③bsinA=acos(B―今.三个

条件中任选一个，试探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

18.（12分）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数

y（单位：人）的数据如下表:

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代号X12345

购物人数y77849396100

（1）根据表中数据，建立y关于尤的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2

月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）;

（2）为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如

下所示不完整的2X2列联表:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30150

未参与过网上购物30

合计200

将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为“参

与网上购物”与“年龄”有关.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=整8-尤）（％；,,a=y_

求1（无「幻

A2

,_2_n(ad—bc)

bXfX=(a+b)(c+d)(a+c)3+dy

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.（12分）如图，已知。E_L平面ABC。，四边形为等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

£>C=2AZ)=4,DE=3BF=3.

(1)证明：A/〃平面OCE；

(2)若BO_LFC,求平面AM与平面8DEF的夹角的大小.

11

20.(12分)已知数列｛劭｝的前〃项积为且满足一+—=1.

anTn

(1)求〃1,CL2的值；

(2)试猜想数列｛劭｝的通项公式，并给予证明;

(3)若篇=给，记数歹U｛力，｝的前〃项和为S，证明：Sn<2.

21.(12分)已知函数/(%)=lnx-x.

(1)求/(x)在(e,f(e))处的切线方程;

1

(2)设函数g(%)=于+aER,求g(%)的极值.

22.(12分)已知抛物线C：b=2。尤(p>0)的焦点到准线的距离为1,。为坐标原点，A,

2是C上异于。的不同的两点，且满足0ALA2,点M为△AOB外接圆的圆心.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当△AOB外接圆的面积最小时，求A,B两点的坐标.

2024年云南省红河州高考数学第二次统测试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有,

项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数2=(2+i)(1-z),则|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

【答案】D

【分析】利用复数模的求解公式化简即可求解.

【解答】解：由z=(2+0(1-z)=2+1-2z+z=3-i,

则|z|=J32+(-1产=V10.

故选：D.

【点评】本题考查了复数模的求解，属于基础题.

2.(5分)设集合A={0,1,2],8={3,m],若AC8={2},贝！JAU8=()

A.[0,1,2,3}B.[0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】利用交集、并集定义直接求解.

【解答】解：集合A={0,1,2),B={3,m],

由Ang={2},得m=2,

所以B={2,3},

.,.AUB={0,1,2,3).

故选A.

【点评】本题考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

TTTT

3.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(-1,—2),设a与b的夹角为0,则sin0=()

3344

A.一己B.-C.一亡D.一

5555

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解.

【解答】解：2=(1,-2),5=(一1,-2),

则w”就=能4

又因为eqo,n],

-------------4

所以sing=V1-cos29=+

故选：D.

【点评】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题.

4.（5分）在（2—FA的展开式中，含/的项的系数为（）

A.-280B.280C.560D.-560

【答案】B

【分析】直接利用二项式系数的展开式求出结果.

k

【解答】解：由二项展开式的通项公式得〃+1=疗27-y_1）32,左=0,1,2,-7,

kc

令&=2得％=4,所以7的系数为小23（_1）4=280.

故选：B.

【点评】本题考查的知识点：二项式系数的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基

础题.

22

5.（5分）已知双曲线C；喘短-器=1（6＞0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近

线方程为（）

A.y=+^xB.y=±孝久C.y=±2xD.y=+y/2x

【答案】C

【分析】由题意设C的渐近线方程为y=根据题目条件可知a=2b,进而可得双

曲线的渐近线方程.

【解答】解：因为冽＞0,所以双曲线C的焦点在y轴上，

V2久2

设双曲线。的标准方程为—y—六=1（〃＞0,。＞0）,

azbz

所以双曲线C的渐近线方程为y=

又因为实轴长等于虚轴长的2倍，即a=2b,

所以C的渐近线方程为＞=±2尤.

故选：C.

【点评】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题.

11

6.(5分)已知a,b均为正实数，则“一〉一”是“『+2廿>3°b”的()

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.

11

【解答】解：因为a,b均为正实数，若一〉工，则心。>0；

ab

若。2+2Z?2>3ab,贝!](fl-2b)(a-b)>0,即a>26>0或b>a>0；

11

所以“一>/'是“『+2/>3仍”的充分不必要条件.

ab

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

7.(5分)孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可

见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题

的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余

式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将1

至2024这2024个整数中能被2除余1且被3除余2的数,按从小到大的顺序排成一列，

把这列数记为数列｛斯｝.设%=(a)〃，则牛1=()

A.8B.16C.32D.64

【答案】A

【分析】由题中条件可得数列｛砺｝是一个首项为5,公差为6的等差数列，从而可求得数

列｛为｝的通项公式，再计算即可求得比值.

【解答】解：将1至2024这2024个整数中被2除余1且被3除余2的数按从小到大的

顺序排成一列，把这列数记为数列｛•｝.

则数列｛斯｝是首项为5,公差为6的等差数列，

所以即=5+(n-1)x6=6n-1(1<n<337,N*),

所以勾=(V2)a"=(a严t,

所以智=(g)6=8.

(向6…

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，属于基础题.

8.(5分)已知函数/(x)=焉-%3，对于任意的尤6(1,2],不等式/(罟)+/(一—一)

e_|_±x1(x-1)(x-6)

VI恒成立，则实数t的取值范围为()

A.(1,+8)B.[-1,1]C.(…，-1]D.(-8,-1)

【答案】C

【分析】由题意可得了(无)=1-7(-尤)，/(无)在R上单调递减，所以不等式/(禺)+

/(一孚一)VI恒成立，等价于二>-,八在xe(b2]上恒成立，即(X+1)

(X-1)2(X-6)x-1(%-1)2(%-6)

(x-1)(x-6)<-(什1)恒成立，设p(x)=(x+1)(x-1)(%-6),xE(1,2],

利用导数求出函数p(x)在在(1,2]的最值即可得答案.

【解答】解：因为/(%)=岛;—炉，xGR,易知/(%)在R上单调递减,

1c1

所以/'(-X)=^+1+尤3=+13,

所以/(-x)+f(X)=1,

所以f(X)=1-/(-X),

又因为对于任意的在(1,2],不等式/(罟)+/(一宇一)vi恒成立,

%T(x-l)Z(x-6)

t+1)<1/詈=”禺)恒成立，

即对于任意的在(1,2],不等式/(

(%-1)2(%-6)

_14-1%+1

所以7—=7—77>——7在%€(1，2］上恒成立,

(%-1)2(%-6)x-1

即“二>-；——77—在％€(1，2］上恒成立.

x-1(%-1)2(%-6)

由(1,2］,知x-l>0,x-6<0,

所以当xE(1,2］时，上式等价于(%+1)(x-1)(x-6)<-(Z+1)恒成立.

设p(x)=(x+1)(x-1)(x-6)=/-6/-x+6,xE(1,2］,

p'(%)=3?-12x-1,开口向上，对称轴为x=2,

当石(1,2］时，p'(x)<pr(1)=-10<0,

所以p(x)在比(1,2］内单调递减，而p(1)=0,

所以p(x)<0,

所以OW-(r+1),即fW-1.

故选：C.

【点评】本题考查了函数的单调性、转化思想，考查了导数的综合运用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的

是（）

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为7T

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

【答案】ABD

【分析】设球的半径为R,则圆锥的底面圆半径和高都是R,由此判断选项中的命题是否

正确即可.

【解答】解:对于A,设球的半径为R,如图所示：OB=OA=OC=R,

所以/氏4。=/衣40+/040=^+£=焉选项A正确；

对于B,圆锥的表面积为

S维=7TR2+兀•R-&R=兀R2+5R2=（1+夜）献,

球的表面积为5球=4nR2,

1

所以S维＞/铲选项8正确;

对于C,圆锥的母线长为&R,底面周长为2TTR,

所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为百、/Lr,选项。错误;

114

对于O,嚷=方.兀/?2.R="R3,"=》R3,

V椎1

所以—=一，选项£>正确.

V球4

故选：ABD.

【点评】本题考查了球和圆锥的结构特征应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础

题.

（多选）10.（5分）若圆01：*2+y2+2乂_3=0与圆。2：x2+y2-2y-l=0交于A,

8两点，则下列选项中正确的是（）

A.点（1,-1）在圆02内

B.直线的方程为x+y-1=0

C.圆6>1上的点到直线AB距离的最大值为2+V2

D.圆。2上存在两点尸，Q,使得|尸。|>|43|

【答案】BC

【分析】直接利用点到直线的距离公式以及圆与圆的位置关系求出结果.

【解答】解：对于A,因为P+（-1）2_2X（-I）-1=3>0,所以点（1,-1）在

圆。2外，故A错误；

对于8,圆。1；/+y2+2%—3=0与圆。2；/+y2-2y-1=0交于A,B两点，因

为圆01和圆02相交，将两圆相减可得：x+y-1=0,即公共弦A3所在直线的方程为x+y

-1=0,故B正确；

对于C,圆01的圆心坐标为（-1,0）,半径为2,圆心O1到直线A2：x+y-1=0的距

离d=^^=夜，所以圆°】上的点到直线AB距离的最大值为2+近，故C正确；

对于£）,直线经过圆。2的圆心（0,1）,所以线段AB是圆。2的直径，故圆。2中不

存在比A8长的弦，故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查知识点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的

运算能力，属于基础题.

（多选）11.（5分）已知函数/（x）=x2-x-lux,则下列选项中正确的是（）

A-〃2）>啰1）

B.f（x）既有极大值又有极小值

C.若方程机=/（|x|）有4个根，则皿（0,+8）

D.若/（XI）=/（X2）（X1WX2）,贝！JX1X2-（X1+X2）+1<0

【答案】ACD

【分析】对于A：计算/0），/（2）,并比较大小，即可判断A是否正确；

对于8：求导分析/（x）的符号，/（x）的单调性，即可判断8是否正确；

对于C：把/（无）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到了（|可）的图象，方程相

=/（kl）有4个根等价于函数>=机与函数y=f（|尤|）的图象有4个交点，即可判断选项

C正确；

对于。：X1X2-（尤1+X2）+1=（XI-1）（X2-1由图可知：0<尤1<1<%2或0<X2<l<

XI,即可判断。选项是否正确.

【解答】解：对于A：=ln2--<l,f（2）=2-历2>1,

1

所以/（］）故A正确；

对于2：/（%）的定义域为（0,+8）,

r//、r«12X2-X-1（2X+1）（X-1）

f（X）=2x—1——=--------=---------

'''xxx

当尤e（0,1）时，f'（无）<0,

当尤e（1,+8）时，f（无）>o,

所以/（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

所以/（X）只有极小值没有极大值，故B错误；

对于C：由8选项的解析知，f（x）的最小值为/（I）=0,

当x-*0时，f（x）-*+°°；当xf+8时，f（x）f+8,

把/（无）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到了（国）的图象，如图所示：

1u

y=m

方程小二/^因）有4个根等价于函数>=相与函数（|x|）的图象有4个交点，则山6

（0,+8）,故C正确；

对于D:XI尤2-（X1+X2）+1=（XI-1）（X2-1）,

若/'（无1）=f（X2）（X1WA2）,由图可知：0<Xl<l<X2或0<X2<l<Xl,

所以（XI-1）（X2-1）<0,故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

（多选）12.（5分）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共

有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：

生产线次品率产量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测

方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或

“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4,则该天检测方式和前一天相同，

否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）

A.若计算机5次生成的数字之和为己，贝UP（fV4）=/

B.设〃》2,4表示事件第〃天该企业产品检测选择的是智能检测，贝iJP（4n）=

赳4一】）+磊

C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为3.75%

25

D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为一

78

【答案】BD

【分析】根据二项分布，相互独立事件的概率乘法公式以及古典概型可解.

【解答】解：对于A,因为S〜3（5,P（f>4）=C式扔+^（-1）5=击所以p（f<4）=

］一金=弗，故A错误；

对于C,设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件3,这件产品来自甲，乙，丙

三条生产线分别为事件Ci,Ci,C3,则由P(3)=P(B|Ci)P(Ci)+P(BIC2)P(C2)

+P(B|C3)P(C3)=5%X^+3%X^+4%X^==3.9%,故C错误；

对于B,由2(41)=204"4_1必/_1)+。(41'-1)。出-1)=获。(%-1)+得(1—

CR

P(4tT))=WPGVi)+亮，故8正确；

金*

对于。，由c选项的解析可知P(G|B)=嚅=而，故。正确.

2000

故选

【点评】本题考查二项分布，相互独立事件的概率乘法公式以及古典概型相关知识，属

于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知/(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=l+log2x,则/(-2)

+f(0)=-2.

【答案】-2.

【分析】由已知结合奇函数定义及性质即可分别求解.

【解答】解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=l+10g4,

所以7(2)=l+log22=2,/(-2)=-f(2)=-2,

由奇函数性质可得，/(0)=0,

则/(-2)V(0)=-2+0=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了奇函数的定义及性质在函数值求解中的应用，属于基础题.

14.(5分)已知椭圆E：餐+哈=1的右焦点为R直线/：3+3y=0(mGR)交E于A,

10

B两点,且B尸，无轴，贝川=可.

【答案】y.

【分析】作出图形，根据椭圆的几何性质，即可求解.

【解答】解：：椭圆E：9+*=1的右焦点尸的坐标为(1,0),

由2尸口轴，可得|8用=小设椭圆E的左焦点为R),

则由椭圆的对称性易知：四边形AFoBF是平行四边形，如图:

：.\AFo\=\BF\,又结合椭圆的定义可得:

|AF|+|AFo|=|AF|+|BF|=2a=6,

8

-6--=130

3

故答案为：—.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题.

15.(5分)已知函数/(x)=2s讥®xT)®eN*)在［0,刍上恰好有三个零点，请写出符

合条件的一个3的值：7或8或9(答案不唯一).

【答案】7或8或9(答案不唯一).

【分析】根据图象特点，分别确定其从x轴正半轴开始的三个零点坐标即可.

【解答】解：f(x)M2sin(a)x-J),V/(0)=2sin(-J)=-V3,且3>0,

.,.令—得=0,=在，(x)位于X轴正半轴的第一个零点为x=在，

又二T=-=—,故f(x)的第二个零点为I=总+义7=普，

2CO360§3233

/(X)的第三个零点为尤=篇+*7=会，

/(x)的第四个零点为％=会+*7=招，

由题知/(x)在［0,争上有三个零点，.•.藐W5V与丁，.<WaVlO,XVweN,

，3的值为7或8或9.

故答案为：7或8或9(答案不唯一).

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题.

16.(5分)如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-4B1C1中，ZArAB=乙4遇。=卜BM=

->->____>—>

ABB.,CN=uCC［,若存在入6(0,1),Lie(0,1),使AM•BN=0成立，贝!I入+四的最

小值为V2-5.

G

【答案】V2-4,

—>—TT,TT,1

【分析】设AB=a，AC-b,AAr=c,\a\—\b\—|c|=1,根据ZM•BN—0,得—5+

乡+川=0,再利用基本不等式求得最值.

—————TTT->

【解答】解：设=a,AC-b,AAr=c,\a\=\b\=\c\=1,

则由题意有。-b=b'C=a-c=lxlxcos^=*，

TTT—fTTTT—T

又AM=AB+BM=a+Ac/BN—BC+CN=b—a+/ic,

TT—>—>_>—>

因为AM•BN=3所以(a+Zc)•(fa-a+〃c)=0,

——>~~~>—~>—>~»—>

即a-b—a2+[ia-c+Ab-c—Aa-c+A/ic2=0,

即一之+3+4〃=0,由入€(0,1),|1€(0,1),

,1

可得：〃=1+22'入(①

所以备=，+>会为一人2/-1=V2-1,

当且仅当4+J=即2=与％寸等号成立,

22(A+1)2

所以人+|1的最小值为四—亍

故答案为：V2—

【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，考查基本不等式的应用，属中档

题.

五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,已

,a2+b2-c2[-/—

知---------=6V2,a=V2b.

cosC

(1)求a,b；

(2)请从①S=*⑷+c?—垓)；②bcos4+¥a=c；③bsinA=acos(8—3).三个

条件中任选一个，试探究满足条件的AABC的个数，并说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)b-V3,a—V6；

(2)选择①：满足条件①的△ABC有2个，理由见解答过程；

选择②：满足条件②的△ABC有1个，理由见解答过程；

选择③：不存在满足条件③的△ABC,理由见解答过程.

【分析】(1)由题意利用余弦定理即可求解；

(2)选择①：由三角形的面积公式以及余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB=

乌，结合Be(0,TT),可求8=3利用正弦定理可求sinA,进而即可求解；

3o

选择②：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得cosB=孝，进而可求B的值，

利用正弦定理可求sinA,即可求解；

选择③：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求tcmB=百，可求B=§,利

用正弦定理即可求解sinA=^>l,即可求解.

.,a2+b2-c22abcosC厂,口广

【解答】解：(1)由---------=-------=6V2,得防=3V2,

cosCcosC

又a=yj2b,

得b=V3,a=V6；

(2)选择①：由题意可得工acs讥B=—x2accosB,

212

化简得tcmB=字，

因为8c(0,n),

所以B屋，

T74ab,.asinB72

又由11一^=「;，得==亏，

sinAsinB口乙

因为AC(0,n),

所以4=飘4=第

故满足条件①的△ABC有2个;

选择②：由正弦定理化简已知等式可得sinBcos/+^-sinA=sinC,

r—^2

可得sinBcos力+停sizM=sin(X+B),化简得-^-sinA=sinAcosB,

因为sinAWO,得cosB=%

又BE(0,it),

所以B=[,

a办asinB.

又77由rb—；=——^sinA=-r—=1,

sinAsinB0

因为Ae(o,TT),

所以2=当

故满足条件②的△ABC有1个；

选择③：由bsin/l=acos（8—看）及正弦定理，得s讥Bs讥4=si?vlcos（B—看），

因为sinAWO,得sinB=cos（8—看），化简得5s讥B=万cosB,

即tcmB=V3,

又Be（0,IT）,

所以B=不

又由一^=b0得s讥4="产=孚>],无解，

sinAsinBoz

故不存在满足条件③的△ABC.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变

换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.（12分）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数

y（单位：人）的数据如下表：

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代号X12345

购物人数y77849396100

（1）根据表中数据，建立y关于x的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2

月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；

（2）为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如

下所示不完整的2X2列联表:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30150

未参与过网上购物30

合计200

将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为“参

与网上购物”与“年龄”有关.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=$(》「元W巧刃,。=歹一

%(々一乃

7—2n(ad—bc~)2

DX,X-(a+6)(c+d)(a+c)(b+d),

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)y=5.8久+72.6,估计当年2月21日在该店购物的人数为113人;

(2)列联表如下：

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30120150

未参与过网上购物203050

合计50150200

认为参加网上购物和年龄有关.

【分析】(1)根据表中数据计算a,b的值，进而得到y关于尤的一元线性回归模型，再

进行预测即可；

(2)补全2义2列联表，计算x2的值，再与临界值比较即可.

【解答】解：⑴由题意可知，元=3,歹=90,EL@—1)2=10,2：=式/一如(为一

y)=58,

TL__

Z(Xj—x)(y—y)ro、A

y)\以。=—―--------n—=Yn=5.8,a=y—bx=90—5.8x3=72.6,

羽=i(e)10

所以y=5.8比+72.6,

当x=7时，可得y=5.8X7+72.6=113.2,

因此估计当年2月21日在该店购物的人数为113人;

(2)补全2X2列联表如下:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30120150

未参与过网上购物203050

合计50150200

零假设为Ho：参加网上购物和年龄无关,

n^ad-bc)2_200x(30x30-120x20)2_0

根据数据，计算得到：

%2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=150x50x50x150~"

所以根据小概率a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为参加网上购物和

年龄有关.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.

19.(12分)如图，己知。E_L平面ABC。，四边形ABC。为等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

DC=2AD=4,DE=3BF=3.

(1)证明：AF〃平面DCE；

(2)若B£»_LFC,求平面AEF与平面BDEF的夹角的大小.

【分析】(1)推导出AB〃平面。CE，BF//nDCE,从而平面A3F〃平面。CE,由此

能证明〃平面DCE.

(2)推导出平面ABCDBF±BD,平面BFC,BD±BC,过点A作2。的垂

线，垂足为以B为坐标原点，以BC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系8-

xyz,利用向量法能求出平面AEF与平面BDEF的夹角的大小.

【解答】解：⑴证明：：A8〃OC,ABU平面。CE,OCu平面。CE,〃平面。CE,

'：BF//DE,8PC平面DCE,OEu平面。CE,