2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题(二模)

一、单选题

1.设集合/={%,%,%，%}，若4的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

5={-1,3,5,8},则集合/=()

A.{-1,3,5,8}B.{-3,0,2,6}C.{4,8,10,13}D.{7,10,12,16}

【正确答案】B

%+%+%=—1

+%+处=3

【分析】不妨设％<%<%<%，由题意可得<，即可得解.

%+%+为=5

。2+。3+=8

【详解】不妨设4<。3<。4，

则/的所有三元子集为{%,。2，。3}，{。1，。2，。4}，{%，。3，。4}，{。2，。3，%}，

Q]+%+%=—1

由题意可得

%+%+。4=8

因此集合/={-3,0,2,6}.

故选：B.

2.已知ABC,若对任意leR,|旗一比上麻|,贝|ABC一定为()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【正确答案】D

【分析】利用向量的模化简不等式，得出府|和同|的关系，即可得出45。的形状.

【详解】由题意，在中，令NABC=a,过/作4013。于D

BDC

•对任意leR,|诙一数

Z.|A4|2-2tBA-BC+t2|fic|2>|^1C|2,

令'=j/。,代入上式，得同：2网2COS%+cos%Wb研，

BP|s3|2sin2a>|及，，也即卜/卜ina>|^4c],

从而有|访上|画.

71

：.ZACB=-,

2

・・・/5C为直角三角形，

故选：D.

3.过双曲线/=1的左焦点作直线/交双曲线于4,2两点，若实数2使得|/同=2的直

线/恰有3条，则力=()

A.2B.3C.4D.6

【正确答案】C

【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于x轴

对称，即可得到答案.

【详解】左支内最短的焦点弦=*=4,又2a=2,

a

所以与左、右两支相交的焦点弦长22a=2,

因为实数4使得|/回=4的直线/恰有3条，

根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于无轴对称.

如图所示：

所以当2=4时，有3条直线满足题意.

故选：c

4.设0,6为正实数，^+1<2>/2,("6『=4(a力，则log/=()

A.V2B.IC.1D.-1

【正确答案】D

【分析】首先由(”32=4(“域得出(0+6)2=皿+4崎)3,由：+12也得出嗡詈W8,

代入得出1+。芯2,而4+而22,即二+曲=2,由基本不等式等号成立条件得出"=1,

ababab

即可得出答案.

【详解】因为("6)2=4(仍丫，

所以(〃+6)2=4ab+(a-b)2=4ab+43bj,

又因为—F—<2V2,

ab

所以空V2行，

ab

所以先善工8,

(ab)

所以4加4(仍)Mg,^—+ab<2,

(ab)2ab

又Lab22」Lab=2,当且仅当面=1时，等号成立，

abVab

所以工+=2,此时必=1,

ab

所以log/=log」=-1,

a

故选：D.

5.已知8$5。-5由5。<76足3。-853。)，6>G[0,2TU),则。的取值范围是()

(分析】cos'。-sin5^<7(sin3^-cos3^)转化为sin3^+ysin5^>cos%+ycos5^,利用增函数

性质可得/3=/+夫5是(ro,+ao)上的增函数，故而Sin6>cos6,进而得出答案即可.

［详解］不等式cos'。-sin56><7(sin%-cos%)等价于sin36>+1sin50>cos30+|cos56»,

又/(%)=》3+；/是(-00,+8)上的增函数,所以sin6>cose,

故2E+；<e<2E+g(左eZ).

715兀

因为。40,2内，所以。的取值范围是

4*T

故选：B

6.已知0"=」•(附20°W](n=l,2,…，95),则数列｛%｝中整数项的个数为()

A.13B.14C.15D.16

【正确答案】C

厂华〃〃、.g

【分析】整理知得%=仁心3丁200--n2丁400-5n，当〃4c8c0r时i，只要20丝0—子，40[0—5均g为f整数即13rl

可，但当”>80,2401f会出现小数，应考虑C；。。中因子2的个数问题.

【详解】因为

//—\200-n(1V20。-〃_n200-w200-wn_200f400-5”

%=/。•(探)=q00.63.22=6°.33.232=C；00.3—，2—,

要使%(1V〃V95)为整数，必有竺二，竺了均为整数，

36

当〃=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，20°—〃和400-5〃均

36

为非负整数，所以%为整数，共有14个.

200!

当”=86时，«=C^-338-2-5在C*中,

86086!114!

200200200200200200200

200!中因数2的个数为~T++++FT++二197,

同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110,

所以C菰中因数2的个数为197-82-110=5,故。86是整数.

当〃=92时，阳=《〉336.2一°,在C；*=染与中，同样可求得92!中因数2的个数为88,

92!10o!

108!中因数2的个数为105,故C器中因数2的个数为197-88-105=4,故须不是整数.

因此，整数项的个数为14+1=15.

故选：C.

7T

7.在直三棱柱451cl-45。中，ABAC=—,AB=AC=AAX=1,已知G与E分别为4A和

CG的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GDLEF,则线段

DF长度的取值范围为

【正确答案】C

【详解】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立如图所示的

空间直角坐标系，设出厂、。的坐标，利用跖求得关系式，写出。尸的表达式，然

后利用二次函数求最值即可.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0,。)，E(0,1,I),

G(1,o,1),尸(x,0,0),D(0,y,0)

由于GD_L£F,所以x+2y-l=0,

xe(0,l),?=,

DF=J/+V=^5(y-1)2+1

当>=(2时，线段。尸长度的最小值是不i

当y=o时，线段。尸长度的最大值是1

而不包括端点，故>=1不能取；

故选C.

8.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对

21

方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为:，乙在每局中获胜的概率为

且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数4的期望典0为()

241266C.也670

'•ITB.D.

8181243

【正确答案】B

【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为

22

(|)+(1)=|;若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为2，且对下一轮比赛是否停止无

影响.由此可计算自为2,4的概率，J为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止

的概率即可.

【详解】解：依题意知，孑的所有可能值为2,4,6,

715

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为(1)2+(§)2=--

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮

比赛是否停止没有影响.

从而有尸c=2)=：,=4)=(-)(-)=—,

99981

4为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮

滦=6)=*哈，

ML匕c5420「16266

故E4=2x—+4x—+6x—=.

9818181

故选：B

二、多选题

9.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据再«=1,2,…,打)的

平均数为三，方差为V；第二部分样本数据%。=1,2,…的平均数为了，方差为设

亍4歹,s；4sj,则以下命题正确的是()

A.设总样本的平均数为7,则元4彳47

B.设总样本的平均数为7,则戈上千歹

C.设总样本的方差为一,则

22

D.若加=%元=歹，贝)d二%±51

2

【正确答案】AD

【分析】对于A选项，因为于（手，由彳='歹放缩可得下V7V歹；

m+nm+n

对于B选项，举例说明B不正确；

对于C选项，举例说明C不正确；

22

对于D选项，若加="万=7，代入总体方差计算公式，可得/=%士.

2

【详解】对于A选项，因为于（了，所以彳=”-元歹歹+」^歹=歹

m+nm+nm+nm+n

_m_nnt_n__.

z=-------x+-------y>-------%+-------x=x,Wflx<z<y,A正确；

m+nm+nm+nm+n

对于B选项，取第一部分数据为LU14，则亍=1,s；=0,取第二部分数据为-3,9，则7=3,

52121

sj=36,则=（,xl+,x3）2=^<3=/J7,B不正确；

对于C选项，取第一部分数据为-2,-1,0,1,2,则元=0,s；=2,

取第二部分数据为1,23,4,5,则>3,s；=2,则一已口号歹=有。+*3=|,

m5C9、59、17c2/十

s2=-------区+（牙一刃2]+」一一(2+一)d----(2+—)=——>2=s,C不正

m+nLJm+n1041044，

确;

对于D选项，若〃7=〃,元=5，贝|

2.2

S1=—^―r^+(x-z)2l+—r^+(y-z)2~|=5j,D正确.

m+n'-Jm+nLy」2

故选：AD.

10.如图，48cz）-4B'C'D'为正方体.任作平面a与对角线NC垂直，使得&与正方体的每

个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/.则（）

A.S为定值B.S不为定值C./为定值D./不为定值

【正确答案】BC

【分析】作出辅助线，得到平面a,从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定

值.

【详解】将正方体切去两个正三棱锥与C'-D'B'C后，得到一个以平行平面与

D'B'C为上、下底面的几何体匕

在4®上取一点E',作E'T//B，D',E'S//A'B,再作力W7/HD,MR//CD',QSUB'C,

则六边形即为平面a,

%的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形沙的每一条边分别与忆的底面上的一条边

平行,

将修的侧面沿棱/的剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形

而多边形少的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中E'&）,显然

故/为定值.

当£位于4的中点时，多边形水为正六边形，而当中移至H处时，水为正三角形,

易知周长为定值/的正六边形与正三角形面积分别为巫尸与巫尸，故S不为定值.

2436

B'CD'

E/S.、八、八、/Bi

A'BDAy

故选：BC

b+\

11.已知函数/(x)=|lg(x+l)|,实数a,6（。＜6）满足〃°）=/|一

b+2

/(10Q+6b+21)=41g2,贝！］()

A.a+\=b+2B.（Q+。伍+2）=1

2

C.a=——D./?=-1

5

【正确答案】BC

【分析】根据题目给出的等式“。）=/[-偿），代入函数解析式得到。、b的关系，从而

判断出/(10a+6b+21)的符号，再把〃10a+66+21)=41g2,转化为含有一个字母的式子即

可求解.

【详解】•."(.)=(簧［，•・・旭(”+1)卜“霜+1卜/占)9+2)|，

Q+1=Z?+2或仅+2)=1,

又,：a<b,.•.a+lwb+2,(tz+l)(6+2)=1,故A不正确，B正确；

又由/(。)=弛(。+1)|有意义知0<4+1,从而0<4+1<6+1<6+2,

于是0<a+l<l<b+2.

所以(104+66+21)+1=10(4+1)+6他+2)=6e+2)+^^>1.

从而〃100+66+21)=卜［60+2)+禺卜g66+2%.

又〃10a+66+21)=41g2,所以1g6e+2)+号=41g2,

故6(6+2)+^^=16.

解得6=—或6=-1(舍去).

1o

把6=-；代入(0+1)伍+2)=1解得a=-(.

21

所以。=-《，b=--,故C正确，D不正确.

故选：BC.

12.已知曲线G:%2—2秋+，=0("=12…).从点尸(T0)向曲线Q引斜率为kn(kn>0)的

切线/“，切点为匕(%,州).则下列结论正确的是()

A.数列｛%｝的通项公式为乙=二

B.若数列的前〃项和为北，则北=二1^

［nJ5+1)

C.当〃6N*时，x2-x4-x6...x2n<.—

Vn

2Z

D.当〃eN*时，lnx„-lnK>^~^

x„+y„

【正确答案】ABC

【分析】设直线/jy=《,（x+l）,方程联立由A=0,可得当=—二，y=〃4+1,从而可

判断A,B；由4"2+4〃<4"2+4〃+1,得扫L<F，从而可判断C；举例即可判断D,

2〃+1V«+1

如〃=4.

【详解】设直线/“：y=笈”（x+i）,联立/一2.+/=0,

得（1+4；）x~+（24;一2〃）x+左；=0,

2几

则由A=0,即A=（2勺2_24一41V（1+左,2）=o,得左=7^菊（负值舍去）

所以可得当=尸条:七，夕=k（1+x）=迤五I,故A正确;

1+mn+\'"+1

n2（2«+1）

y；_d+1『_2-+1_J_____],

n4nZ?2（H+1）n2（〃+

^1111111n2+2n

所"二i/+于下+…方而了=imr百故B正确;

对于C,由▼备得）悬

因为4〃2+4〃<4/+4〃+1,所以2〃（2〃+2）<（2〃+1）2,

所以『2〃（三1,所以（2几工）〈汇2〃T币YI,

0w

所以n

2〃+177+1

242n112

二—X—X…义----<—X—X---X

352〃+123

故C正确;

n

Xn_n+1=]

对于D,

ynn>j2n+lJ2-+1

n+1

因为〃EN*,所以2〃+123,所以J2〃+1-VJ，所以。〈/「W—，

J2〃+13

2%7

5

^lnx„-lny„-2("，即4

Xn+y

nyn5L+I

yn

神二lnx+±

令g(x)=lnx—-2,x£0,---,

x+1x+13

14(1)2(6]

则g'(x)=——7----衣>OyVE,0,3I,

X(X+1)x(%+1y

不

所以函数g（x）在0,^-上单调递增,

ln-+-^--2=l-lnV3<0

由g3Ll

3

得In区-21r<0,

%+1

y4

y4

所以当〃=4时，In%-In匕〈生匚幻，故D错误.

xn+y„

故选：ABC.

关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方

程，方程联立由A=o,得出％=二，V=史亘，证明得到初二1<但口，从而可

«+1几n+i2ny2n+l

比较％-x4-x••…x2„与p-的大小.

5Vn

三、填空题

13.直线x-2〉-1=0与抛物线了2=4尤交于A、B两点，C为抛物线上的一点，ZXCS=90°.

则点C的坐标为.

【正确答案】（1「2）或（9,一6）

【详解】设，（』,％）、8（尤2，%）、C«22）

{x—2y—1=0,

由|r=4x,得了一8广4=0.

%K一+%=8,

Ix.+=18,

又无।=2必+1,%=2%+1,贝J]1②

[xrx2=1.

因为4cB=90。,所以,S3；屈=0.故(产一4)(〃_引+(2">0⑵-')=0.

将方程组①、②代入上式并整理得

?-14/2-16/-3=0n"+1)(/+3乂41)=0.

显然，/一41-1W0.否贝-t2-2x2t-l=0.

于是，点C在直线x-2y-l=0上，即点C与A或3重合.

所以，乙=一1,右=一3.故所求点C(l,-2)或C(9,一6).

故答案为(L-2)或(9,-6)

14.设/«是定义在R上的函数，若/(0)=2008，且对任意xeR,满足f{x+2)-f(x)<3-2S

f(x+6)-/(x)>63-2\则/(2008)=

【正确答案】22008+2007

由/。+2)-〃尤)(3-2,可得/(x+6)-/(x)<63.2\从而可得/。+2)-/(尤)=3-2'.从而可求

“2008)的值.

【详解】因为/(x+2)-故/(X+4)-〃X+2)W3-2"2=12.2',

/(X+6)-/(X+4)<3-2X+4=48-2X,

^/(x+6)-/(x)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(x+2)+/(x+2)-/(x)

<3-2i+12.2x+48-2i=63-2S而/(x+6)-/(x)>63-2x,

所以/(x+6)-/(x)=63.2\所以/(x+2)-/(x)=3-2\

^/(2008)=/(2008)-/(2006)+/(2006)-/(2004)+L+f

=3.22006+3.22004+L+3x2°+2008

i_产

=3x---------+2008=22008+2007,

1-4

故答案为.22°08+2007

本题考查不等式的性质、等比数列的前〃和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关

系，本题属于较难题.

15.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4指的正四面体封闭容器内可向各个方向自由

运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是一

【正确答案】72应

【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面44G〃平面/3C,与

小球相切于点。，则小球球心o为正四面体的中心，2。_1面480|,垂足。为

图甲

因PD=4,=4•§•S^BCJOD，

故尸。=4。。=4,从而尸。=尸。一。。=4一=3.

记此时小球与面尸的切点为6,连接。耳，则

PP,=PO--OP^=V32-12=2V2.

考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为P4B）相切时的情况，易知小球在面P48上最靠近边

的切点的轨迹仍为正三角形，记为4斯，如图乙.记正四面体的棱长为。，过耳作用尸/

于M.

M,

因/"尸耳=亳，有PM=PP\.cosMPP\=2®.个=a,故小三角形的边长

RE=PA-2PM=a-2&.

小球与面尸A3不能接触到的部分的面积为

万

S^PAB_S^EF=—（a2-（a-2V6）2）=3丘。-6下）.

4

又°=4而，所以，^-5股尸=246-675=1班.

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72G.

（1）三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用.

16.如图，在7x8的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格

共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子

没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出个棋子才可能满足

要求.

【分析】通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然后构造一种

取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠，最后得到答案.

【详解】如果一个方格在第i行第/歹U，则记这个方格为亿））.

第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，

即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.

假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.

如图1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，

后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.

这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.

同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，

且只能分布在（1,4）、（1,5）、（2,4）、（2,5）这些方格.

同理（6,4）、（6,5）、（7,4）、（7,5）这些方格上至少要取出2个棋子.

在第1、2、3歹U，每列至少要取出一个棋子，

分布在（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）、（5,2）、（5,3）所在区域，

同理（3,6）、（3,7）、（3,8）、（4,6）、（4,7）、（4,8）、（5,6）、（5,7）、（5,8）所在区域内至少取出

3个棋子.

这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.

因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，

从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的

棋子必有一个五子连珠，

第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.

如图2,只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.

综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.

关键点睛：本题的关键是通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠,

然偶利用图形分析出取出固定标号的棋子，则无法五子连珠.

四、解答题

17.已知4BC的内角aB,C所对的边a,b,c成等比数列.

3

（1）若cosB=:，/3C的面积为2,求/3C的周长;

siib4+cos/tanC

⑵求的取值范围.

sinB+cos5tanC

【正确答案】（1）在'+0

-1V5+P

2'2

【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得6=6，再利用余弦定理与完全平方

公式求得a+c,从而得解；

（2）结合题意，先化简所求得求公式q的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边

得到关于q的不等式组，从而得解.

【详解】（1）因为。，6,c成等比数列，则/=因，

又cosB=1,0<S<7i,所以sin5=A/1-COS2B=j,

所以ABC的面积为sinB=ix,=2,故6=贝！Jac=62=5,

3

由余弦定理〃=a?+/—2t7ccos5=a?+/—2x5x—=+，—6,

即。2+=/+6=5+6=]],则（〃+c）=q?+2。。+c?=11+2x5=21,

所以Q+C=V21，故/BC的周长为。+6+。=阴+石.

（2）设a,b,c的公比为0，贝!的，C=aq2,

而siib4+cos^tanC_siiL4cosC+cos^sinC_sin（，+C）_sin（兀-8）_sin5_b__

sinB+cos5tanCsinScosC+cos5sinCsin（S+C）sin（兀一4）sin4a'

因此，只需求q的取值范围即可.

因Q,b,。成等比数列，最大边只能是〃或C,因此a,b,。要构成三角形的三边，必需且

只需a+6〉c且6+c>a.

l-y/56+1

-----<q<-----

a+aq>aq1即q2-^-1<05/口22

故有不等式组解得

aq+aq1>ay/s—1-y/5+1

q>-----或q<-------

、22

从而避二L<g<®!,因此所求范围为"A/5-1V5+T

22\2'27

已知数列｛七｝满足：%=2/-3(/eR1K±l),%+]=色----_1/

18.

61n+2t〃—1

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若/>0,试比较。计1与。，的大小.

2(f-1)

【正确答案】（1）a„-1,〃eN+且悌±1;(2)"〃+1>°n•

n

2(乙+1)

%+1〃一1

【分析】（1）由已知可得，令求数列｛4｝的通项公式，即可求

"+1-1%+1「t—1

t"-l-

数列｛%｝的通项公式;

1^口-1)+(，"-)+-)],讨论0<«、"1判

（2）通过（1）作差%用「%

断（〃一1）+（〃7）+…、"1的符号，即可得结论.

2(%+1)

2(t"+i-l](a+1)。向+1_2(凡+1)_f]

【详解】（1）原式可变形得：区」-----〜-则

■n+1a〃+2〃—171+1-1%+2〃-1-…+2

记“一看，则。黑，整理得看-广1,又一打一

22?

所以｛7｝是首项、公比均为1的等差数列，则二=〃，故

“bnn

2(f-1)

所以-1,〃eN+且/片±1.

n

2(f

（2）由（1）,作差可得：q

n(n

又加"_(1+/+/2+...+〃,=(/"-l)+(f+(f,

当0</<1时，(〃-1)+(/"—/)+...+(〃一产|)<0且1-1<0；

当，>1时，（〃-1）+（〃一力+...+（〃一产）>0且/-1>0

综上，当/>0且fwl时，f-1与—（1+/+厂H---1jj同号，即。用>.

19.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1,由射线尸工,

PB,PC构成的三面角P-NBC,NAPC=a,NBPC=B,ZAPB=y,二面角N-PC-B的

大小为。,则cosy=cosacosp+sinasin£cos6.

（1）当&、/时，证明以上三面角余弦定理；

（2）如图2,四棱柱ABCD-4耳GA中，平面AA^Cl平面ABCD,N44c=60°,

NB4c=45°,

①求4/8的余弦值；

②在直线c。上是否存在点尸，使8P〃平面O&G?若存在，求出点尸的位置；若不存在，

说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）①无；②当点P在GC的延长线上，且使CP=GC时,

BPH平面D4G.

【分析】（1）过射线PC上一点H作府，尸C交尸N于M点，作尸C交尸3于N点，

连接，MN,可得乙VffiN是二面角Z-尸C-8的平面角.在△MV/?中和△MVH中分别用

余弦定理，两式相减变形可证结论；

（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结4C,延长GC至尸，使CP=GC,

连结5P,由线面平行的判定定理证明BPH平面。4。.

【详解】（1）证明：如图，过射线PC上一点〃作府，尸C交尸/于M点，

作HNLPC交PB于N点、,连接，MN

A

M

则AMHN是二面角N-尸C-3的平面角.

在△MAP中和△AGVH中分别用余弦定理，得

MN~^MP"+NP--IMP-NP-cosy,

MN2=MH1+NH2-2MH-NH-cos0,

两式相减得—+猫Z—+2MH-NH-cos0=0,

/.IMP-NP-cos/=2PH2+2MH-NH-cos/

两边同除以2A/P*%?,得cosr=cosacos尸+sinasin/3cos6.

(2)①由平面44GC~L平面45cZ),知e=90。，

・•・由(1)得cos/4/B=cos/44C,cos/G4B,

VcosZ4^C=60°,cosZBAC=45°f

./…D'5E

••cosN&A.B——x=•

224

②在直线CG上存在点p,使BPII平面D&G.

连结4C,延长CQ至P,使CP=GC,连结8尸，

在棱柱48co-4用CQ中，A^/ZAB,AB/JCD,

4月”>C,二四边形A,BiCD为平行四边形，

A\DUB\C.

在四边形2Hpe中，B.B/JCP,

四边形45PC为平行四边形，

BfiUBP,

：.AXDIIBP,

又AXDu平面D4cl,BP<z平面D4G，

BPH平面Dg.

...当点尸在CC的延长线上，且使CP=C0时，8尸〃平面04G.

20.公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Oeme%)向另一位著名的数学家帕斯卡

(APascM)提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯

(C/A夕ge〃s)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的

解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢M左局，谁便赢得全部赌注。元.每局甲

赢的概率为。(0＜。＜1),乙赢的概率为1-0,且每局赌钱相互独立.在甲赢了机(加＜Q局，

乙赢了〃("＜Q局时，赌钱意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如

果出现无人先赢上局则赌钱意外终止的情况，甲、乙便按照赌钱再继续进行下去各自赢得全

部赌注的概率之比品：与分配赌注.

2

(1)甲、乙赌钱意外终止，若。=243,左=4,"?=2,〃=l,p=§,则甲应分得多少赌注？

(2)记事件A为“赌钱继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当左=4,m=2,〃=1时赌钱继续

4

进行下去甲赢得全部赌注的概率/(P),并判断当p21时，事件A是否为小概率事件，并说

明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件.

【正确答案】(1)216元；(2)"0)=1-(1+30(1-万，是，理由见解析.

【分析】(1)设赌钱再进行X局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、

乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；

(2)设赌钱再进行/局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事

件可得“P)，再利用导数求出/5)的最小值作答.

【详解】(1)设赌钱再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，

最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，

当X=2时，甲以4:1赢，所以尸(X=2)=[gj=g,

当X=3时，甲以4:2赢，所以尸《=3)=以亭(1一•：=「

当X=4时，甲以4:3赢，所以尸(X=4)=C；[x[-g)x|=^-,

484248

于是得甲赢得全部赌注的概率为4+=+=二

92727279

o

所以，甲应分得的赌注为243X§=216元.

(2)设赌钱继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢,

当丫=3时，乙以4:2赢，P(7=3)=(l-of,

当1=4时,乙以4:3赢,P(Y=4)=C^(l-p)3=3p(l-p)3,

从而得乙赢得全部赌注的概率为尸⑷=(1-of+3p(l-p)3=(1+30(1-p)3,

于是甲赢得全部赌注的概率=1-PQ)=1-(1+3p)(l-pF,

对f(P)求导得/'(0)=-3(1-^)3-(1+3/2)-3(1-op(-1)=12XI-pf，

44、

因14p<l,即八0)>0,从而有/(p)在《口上单调递增，

于是得=/目=券，乙赢的概率产⑷最大值为1-瞿j=为=0.0272<0.05,

15/625625625

所以事件A是小概率事件.

21.作斜率为2的直线/与椭圆C：《+且=1交于A、3两点(如图)，且尸(30,后)在直

3364

线/的左上方.

(1)证明：AP48的内切圆的圆心在一条定直线上;

(2)若/4尸8=60。，求AP4B的面积.

【正确答案】(1)见解析；(2)口述

49

【详解】⑴设4(4必)、5(%2，歹2),直线/：»=++冽.①

将式①代入椭圆C的方程，并化简整理得2/+6mx+9m2-36=0.

EHiQ9m2-36y「五卜=力一/

则%1+x2=-3m,再超=-------PB

石一3后，~x2-3y/2

(必—卜2-3^")+(%—>^~)卜-3也)

故kpa+kpB二

1

+f-x2+m-

上式分子=-xx+m-

=~xix2+(加一+%2)—612(加一/2)

=|.勉广+配2行)(一3加卜6鱼(*闵

=3m2-12-3m2+641m-6y［2m+12

=0.

从而，kp/+kPB=。.

又点尸在直线/的左上方，因此，N/P5的角平分线是平行于了轴的直线.

所以，AP4B的内切圆的圆心在直线x=3a上.

(2)若乙4尸3=60。，结合1的结论知原＞0=6，kPB=-^.

将直线Q：y-亚=6(x-36)，代入椭圆c的方程并消去了得

14/+9瓶(1-36卜+1813-36)=0.

因为上式两根分别是王、3百，所以，x=3@13一网.

114

则|刃=麻可，一班|『之”

同理，回