九年级下册锐角三角函数教学案

§7.1正切

--教学目标：

1.理解并掌握正切的定义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；

2.了解计算一个锐角的正切值的方法.

教学重点：重点：正切的定义；教学难点：求一个锐角的正切值的方法.

三.教学过程

导入：1.下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？

C1

2.思考与探索：

除了用NA的大小来描述倾斜程度，我们还可以

（1）可通过测量8C与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.

（2）可通过测量田G与4G的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.

总结：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形（如

图），那么图中：生=蛆=刍Q成立吗？为什么？

ACAC】AC2

结论：.

3.正切的定义：

tanX=

思考：当NA越来越大时，NA的正切值如何变化?

【典型例题】

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中/A、NB的正切值.

八2。c'B=B5

通过上述计算，你有什么发现？

2.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD是A5边上的高，AC=3,AB=5,求NACZ）、N5CD的

正切值.C

结论：_____________________________________.___________

变式：如图，在中，ZACB=90°,CD是斜边斓上的高.§口

①tanA=_____

②tan8=_____

③tanNAC£)=

④tanNBCD=

课堂练习：

BC=y[5,求tanA与tanB的值.

4

tanA=g,求AB的值.

3.（11四川乐山）如图，在4x4的正方形网格中，tana二

4.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4,l）,

tanB..（先画图再填空）

归纳与小结:

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中NA、N8的正切值.

变式：如果方程x2—4%+3=0的两个根分别是RtZXABC的两条边，△ABC最小的角为A,求tanA

的值.

第2题第3题5第6题第8题

4.在直角△ABC中，ZC=90°,BC=5,tanA=p,求.

5.若锐角A,B满足tanAVtanB,则NA,NB的大小关系为.

6.如图，长为5m的梯子靠在一堵墙上，梯子的底端距离墙角3m,则梯子的倾斜角的正切值为

7.某楼梯每一级台阶的长度为30cm,高度为15cm,楼梯的倾斜角的正切值是.

8.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tana的值是.

9.如图，在RtAABC中,ZC=90°,AB=12,tanA=2,求AB的值.

11.等腰三角形ABC的腰长A3,AC为5,底边长为6,求tanC.

中考链接：

I.正切与生活实际相关.

①（10浙江省温州）如图，已知一商场自动扶梯的长/为10米，该自动扶梯到达的高度/，为6米,

B,□

□

□

□

□

A/65f

第③题

②（10山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与垂直

的方向走了加米，到达点C,测得NACB=a,那么AB等于.

③（10广西钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底。点20m的点A处，测

得楼顶2点的仰角/。42=65。，则这幢大楼的高度为.（结果保留3个有效数字）.

II.正切与网格相关.

①（10湖北孝感）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA=.

第①题第②题第③题

②（10福建晋江）如图，NBAC位于6X6的方格纸中，贝I|tan/BAC=.

③（11甘肃兰州）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋

转得到△AC'B',贝IJtanB，的值为.

in.正切与几何图形相关.

①如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。。的圆心。在格点上，则NAED的

正切值等于_________.M

②（10四川凉山）如第14题图，/I的正切值等于

③（U贵州安顺）如图，点E（0,4）,0（0,0）,C（5,0）在。A上，BE是。A上的一条弦，则

④（10山东日照）如图，在等腰RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一点，若tanNO8A=1,

则AD的长为.

⑤（10江苏南通）如图，正方形ABC。的边长为4,点M在边。C上，M、N两点关

于对角线AC对称，若。M=l,则tan/AON=.

@（10山东潍坊）直角梯形ABCD中，ABLBC,AD//BC,BOAD,AD=2,AB=4,点E在AB

上，将ACBE沿CE翻折，使得8点与。点重合，则NBCE的正切值为.

⑦（11江苏苏州）如图，在四边形A8CC中，E、尸分别是AB、的中点，若EF=2,BC=5,CD=3,

贝OtanC等于.

§7.2正弦、余弦⑴

教学目标：

1.理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值;

2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

教学重点难点：在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值.

=,教学过程

问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m,如果他沿着该斜坡行

走了20m,那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？

问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？---------J-----

思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的

比值__________;它的邻边与斜边的比值___________.（根据是.）

正弦的定义：

如图，在RtZkABC中，ZC=90°,

我们把锐角ZA的对边a与斜边c的比叫做NA的,记作,

即：sinA==./

余弦的定义：

A

如图，在RtZXABC中，/C=90。，

我们把锐角ZA的邻边b与斜边c的比叫做/A的,记作=：

即：cosA==.

（你能写出的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.

牛刀小试：

根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中例为的正弦、余弦值.

问题3：从sinl5°,sin30°,sin75°的值,你们得到什么结论？

从cosl5。，cos30°,cos75°的值,你们得到什么结论？

问题4：锐角A的正弦、余弦和正切都是/A的

课堂练习：

AC

1.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,则sinA=

cosA=,sinB=,cosB=.

2.在RtAABC中，ZC—90°,AC—1,BC=<5,贝！IsinA=_,cosB=,cosA=,sinB=.

3.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=9a,AC=12a,AB^15a,

sinB=

1.已知：如图，/ACB=90。，CD±AB,垂足为。

..(__)BC.-CD(__1

nA

s1-AC—()；sinB—(AB

CD；)

cosZACD=^jcos/BCD=4c

CD()-()AC

tanA-(一AC;一)

2.如图，已知中，斜边AB的长为机，NB=40°,则直角边8C的长是（)

m

A.m•sin40°B.m,cos40°C.m,tan40°D，tan40°

2

3.在△ABC中，ZC=90°,如果sinA=§,求sinB,tanB的值.

归纳与<J、结：sinA=------------；cosA=------------；tanA=

2.锐角A的正弦，余弦和正切都是NA的

3.当锐角a越来越大时，a的正弦值越来,a的余弦值越来.

课时作业：

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中/A的三个三角函数值.

求sinA

2.已知Rt^ABC中，ZC=90°.

(1)若sinA不，cosA=,tanA=.

(2)若c=3b,sinA=,cosA=，tanA=.

3.如图，P是N。的边。4上一点，且P点坐标为(3,4),

则since=；cosoc=.

4.在中，ZB=90°,AC=15,sinC=|,则BC=.

5.菱形的两条对角线长分别是8和6,较短的一条对角线与菱形的一边的夹角为a,则

sina=,cosa=，tana二.

6.在Rt^ABC中,如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值（）

A.不变化B.扩大3倍C.缩小/D.缩小3倍

7.在RtZsABC中，ZC=90°,sinA=则等于()

A.1:2:5B.1:小：小C.1:^/3:2D.1:2:小

8.（11镇江）如图，RtAABCZACB=90°,CDLAB于。若

求NA的三角函数值和sin/AC。的值.

9.等腰三角形周长为20,一边长为6,求底角的余弦.B

中考链接：

I.在直角三角形中已知一个锐角三角函数，求另一角的三角函数.

,,4

①（10湖北黄冈）在△A3C中，ZC=90°,sinA=g,则taa8=.

3

②（10湖南怀化）在中，ZC=90°,cosA=g,则sinB的值等于.

II.在直角三角形中已知一边、一角的三角函数，求另一边长.

③（10哈尔滨）在RtaABC中，ZC=90°,ZB=35°,AB=7,则8。的长为.

4

④（10广东中山）如图，已知RtAABC中，斜边上的高AZ）=4,cosBq,则AC=

弟⑷您禺®您郎⑼您3

⑥（10江苏宿迁）如图，在中，ZC=90°,AM是边上的中线，sinZCAM则

A

a1

n

tanB=.

3

⑦如图，。。是△ABC的外接圆，AD是。O的直径，若。。的半径为万,AC=2,则sinB=.

⑧（11安徽芜湖）如图，直径为10的。A经过点C（0,5）和点。（0,0）,8是y轴右侧。A优弧上

一点，则/OBC的余弦值为.

⑨（10年贵州毕节）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为.

⑩（10湖北省咸宁）如图，已知直线/1〃/2〃/3〃/4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方

形A8CO的四个顶点分别在四条直线上，则sina=.

皿.（11四川南充市）如图，点E是矩形ABC。中。边上一点，ABCE沿BE折叠为ABFE,点、F

落在AD上.

(1)求证：AABEs4DFE；

(2)若sin/。尸E=|,求tan/EBC的值.

§7.2正弦、余弦⑵

教学目标：

1.能够根据直角三角形的边角关系进行计算；

2.能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.

教学重点难点：重点：用函数的观点理解正切，正弦、余弦

难点：在实际问题中运用正切，正弦、余弦等知识解决相关问题.

三.教学过程

【温故知新】

1.在R3A5C中，ZC=90°,分别写出NA的三角函数关系式:

sinA=,cosA=,tanA=

BC

/B的三角函数关系式.

2.比较上述中，sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式，你有什么发现？

②如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,则sin8=,cosB=,tanB=

③在Rt^ABC中，ZB=90°,AC=2BC,贝UsinC=.

3

④如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=\0,sinA=^,贝ij8C=.

4

⑤在RtAABC中，/C=90。，A8=10,sin%,则AC=.

3

⑥如图，在Rt/XABC中，N8=90。，AC=15,sinC=p贝!]AB=.

2

⑦在RtA48C中，ZC=90°,cosA^,AC=12,则AB=,BC=.

弋匚a【例题解析】

例1.小明正在放风筝，风筝线与水平线成35。角时，小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成

一条线段，长95m,求风筝此时的高度.（精确到1m）

（参考数据：sin35°~0.5736,cos35°»0.8192,tan35°~0.7002）

B

Dg

例2.工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m,

车厢到地面的距离为1.4m.

Cl)你能求出木板与地面的夹角吗？

(2)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离.(精确到0.1m)

(参考数据：sin20.5°~0.3500,cos20.5°=0.9397,tan20.5°~0.3739)

例3.(11甘肃兰州)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的

比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边

角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，

AB^AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=^=器.容易知道一个角的大小与这个角的正对值

腰A6

也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad60°=.

(2)对于0。<4<180。，ZA的正对值sa<14的取值范围是.

(3)如图②，已知sinA=弓，其中/A为锐角，试求sadA的值.

牛刀小试：

【随堂练习】

1.小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40。，求滑梯的高度.(精确到

0.1m)(参考数据：sin40°«0.6428,cos40°»0.7660,tan40°»0.8391)

2.一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68。，而梯子底部离墙脚1.5m,求梯子的长度.(精

确到0.1m)(参考数据:sin68°~0.9272,cos68°=0.3746,tan68°«2.475)

归纳与小结:

课时作业：

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,且锐角/A满足sinA=cosA,则/A的度数是.

2.比较大小：(用〉，＜或=表示)

①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.

3

3.在中，ZB=90°,AC=15,sinOp贝I3。=.

4.已知a为锐角：

(1)sina=贝Ucosa=，tana=.

1

(2)cosa=5,则sina=______,tana=______.

2B1----------------

1l.第5题

(3)tana二贝11！nJsma=,cosa=.

4

5.如图,在矩形ABC。中,OE_LAC于石，设NA。斤a,且cosa=pAB=4,则AD的长为.

6.如图，A5表示地面上某一斜坡的坡面，5C表示斜面上点3相对于水平地面AC的垂直高度，

ZA=14°,AB=240m.求点B相对于水平地面的高度(精确到1m).(友情提示：sinl4°=0.24,

cosl4°=0.97,tanl4°=0.25)

1.在AABC中，ZC=90°,cosB=百，AC=10,求△ABC的周长和斜边AB边上的高.

2.在RtAA8C中，NC=90。，已知cosA=百，请你求出sinA、cosB、tanA>tan3的值.

3.等腰三角形周长为16,一边长为6,求底角的余弦值.

4.在△ABC中，NC=90。，。是BC的中点，且NAOC=50。，AD=2,求tanB的值。(精确到0.01m)

(参考数据:sin50°~0.7660,cos50°~0.6428,tan50°»1.1918)

3

5.在RtZsABC中，/C=90。，点。在上，sinB在，且/AOC=45,CD=6,求NBA。的正切

值.

6.（11浙江金华）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当5（TWaW70。（a为梯子与地面所成的角），

能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子A3,试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的

最大高度AC.（结果保留两个有效数字，sin70%0.94,sin50%0.77,cos70°=0.34,cos50°=0.64）

§7.3特殊角的三角函数

--教学目标：

1.能通过推理得30。、45。、60。角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义；

2.会计算含有30。、45。、60。角的三角函数的值；

3.能根据30。、45。、60。角的三角函数值，说出相应锐角的大小.

二.教学重点难点：重点：会计算含有30。、45。、60。角的三角函数的值.

难点：能根据30。、45。、60。角的三角函数值，说出相应锐角的大小.

三.教学过程

【温故知新】

1.在RtAABC中，ZC=90°,分别写出NA的三角函数关系式：

sinA=,cosA=,tanA=.

2.如图1,RtAABCZC=90°,NA=30°,若BC=a,请你在图上分别写出三边长度.

图1图2

如图2,RtaABC中，ZC=90°,ZA=45°,若BC=a,请你在图上分别写出三边长度.

3.根据以上探索完成下列表格:

30。45。60°

sina

cosa

tana

仁一，【例题解析】

'例1.求下列各式的值.

(1)2sin30°—cos45°(2)sin60°•cos60°(3)sin230°+cos230°

练习：计算.

cos^45°

(1)cos45°—sin30°(2)sin260o+cos260°(3)tan45°—sin30°-cos60°(4)匕的。。

例2.求满足下列条件的锐角Q.

(1)cosa=2(2)2sina=l(3)2sin。一g=0(4)<tana—1=0

练习：

1.若sina=T，则锐角a=；若sina=^，则锐角a=.

2.若NA是锐角,且tanA=坐，则cosA=.

例3.在△ABC中，NA、N5都是锐角，且sinA=g,tanB=小,AB=10f求△ABC面积.

、/23_

变式：（11山东临沂）如图，ZkABC中，cos3=*-,sinC=5，则△ABC的面积是.

归纳与小结:

【课时作业】

1.若sina=为-,则锐角Q=;若2cosa=l,则锐角a=.

2.在△ABC中，若cosA—+.tanBT=0,贝(JsinB=，ZC=.

在△A3C中，NA、ZB为锐角，且有加出一M§|+(2sinA—小产=0,贝2A3C的形状是.

3.在△ABC中，ZC=90°

(1)若NA=30°,则〃:A:c=；(2)若NA=45°,则〃:/?:c=.

4.求满足下列条件的锐角a：

⑴cos。—^2'=^⑵―Stana+小=0(3>\/2cosa—2=0

LA/2

(4)tan(a+10°)=\3(5)cos(«—25°)=1⑹tan2a—2小tana+3=0

4.计算下列各式的值.

sin600-l

(1)2sin300+3cos60°—4tan45°(2)cos30°sin45°+sin30°cos45°⑶tan60°-2tan45°

tan45°—cos60°

(4)V3cos30°+V2sin45°•tan30°(6)2COS45°+|A/2-V3|

⑸sin60°

5.在R3ABC中，ZC=90°,AC=BC,求：(1)cosA(2)当A5=4时，求的长.

中考链接:

1.（11山东滨州）在等腰△ABC中，NC=90。，则tanA=.

2.（11湖北宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm,ZC=90°,tanZBAC=^-,则边的

长为.

第2题第3题第4题

3.（11江苏南京）如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A,再以A为圆心,

4?长为半径画弧，两弧交于点2,画射线贝UC0S/A03的值等于.

4.（11江苏南通）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得/ACB=30。，。点测得

ZADB=60°,又CD=60m,则河宽A8为m(结果保留根号).

5.(2010广东湛江)因为cos3(T=坐,cos210°=-浮，所以cos210°=cos(180°+30°)=—cos30°

=—雪",因为cosdSOn*",cos225°=—,所以cos225°=cos(180°+45°)=—-,

猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（18（）o+a）=—cosa,由此可知cos240。的值等于.

6.（11甘肃兰州）已知a是锐角，且sin（a+15。）=澄.

计算:乖一4cosa—（7t—3.14）°+tana+（；）-i.

7.（10内蒙呼和浩特）如图，在△ABC中，/C=90°,NB=30°,是NBAC的角平分线，与

8C相交于点。，且AB=4小，求A。的长.

§7.5解直角三角形

--教学目标：

1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角

三角函数解直角三角形；

2.渗透数形结合的数学思想；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学重点难点：

重点：直角三角形的解法.

难点：用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题；三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

三.教学过程4

【温故知新】/[

1.在三角形中共有几个元素？c//

为△ABC中，ZC=90°,a、b、c、NA、/B这五个元素间有哪些等量关系呢？/

⑴三边之间关系：__________________...........□

nc

（2）锐角之间关系：.

（3）边角之间关系：

2.在Rt/VIBC中,NC=90。，a、b、c分别是NA、ZB.NC的对边.若/A=30。，a=5.

求/B,b,c.

利用以上关系，如果知道其中的一个元素(其中至少有一个是边)，那么就可以求出其余的一个

未知元素.

由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

区^【例题解析】

例1.在Rt^ABC中，ZC=90°,a、b、c分别是乙4、NB、/C的对边.解下列直角三角形：

(1)已知。=3,6=3；(2)已知c=8,6=4；(3)已知c=8,ZA=45°

练习：

在放△ABC中，ZC=90°,a、b、c分别是NA、/B、/C的对边.请根据下列条件解直角三角形.

(1)a=10,NA=45°；(2)a—5,b=5小;

(3)6+c=24,ZA-ZB=30°；(4)tanA+tanB=6,&ABC=8.

例2.如图，一块四边形的土地A8CZ),测得其中N4BC=120。，ABLAD,BCLCD,AB=60\^m,

CD=100\^m,求这块土地的面积.

A

DC

归纳与小结：

解直角三角形，一般常见两种情况：

(1)；(2).

【课时作业】(没有特别说明则a、b、c分别是NA、NB、NC的对边)

1.在RtaABC中，ZC=90°,则下列结论成立的是

A.c=a-sinAB.b=ccosAC.b=a-tanAD.a=c-cosA

2.在RtZ\A5C中NC=900,c=8,ZB=30°,则NA=,a=,b=.

3.在Rt^ABC中，NC=90。，根据下列条件解直角三角形：

(1)b=2y/3,c=4；(2)c=8,ZA=60°；

7

(3)a=24,Z?=8\3；(4)a+b—28,sinA+sinB=5.

4.在RtAABC中，CO是斜边上的高.若AC=8,cosA=0.8,求△ABC的面积.

课后拓展：

1.放△ABC中，ZC=90°,/A、NB、/C所对的边分别为a、b、c,

根据下列条件解直角三角形：

(1)b=17,c=17庐(2)c=20,ZA=60°；

小aV3

(3)c—2，(4)8=15,ZA=30°.

2.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,

已知这种草皮每平方米。元，则购买这种草皮至少要().

A.450a元B.225a元C.150。元D.300。元

3.在放AABC中，ZC=90°,ZB=30°,a+6=/+l,求△ABC的三边长.

2

4.在△ABC中，ZC=90°,sinA=5，。是AC上一点，ZBDC=45°,DC=6,求AB的长.

5.在AABC中，NB=30。，NC=45。，AB-AC=2-5求的长.

6.在矩形中，AB=3,BC=6,BE=2EC,于点求sin/ADW的值.

7.填空：

⑴在△ABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3,贝哈的值为.

2

(2)在△ABC中，NC=90。，若BC=4,sinA=§,则AC的长为.

(3)在△ABC中，NC=90。，若NA=30。，贝i|a：b：c=；若/4=45。，贝1|a：6：c=

(4)在△ABC中，ZB=45°,NC=30°,AB=8@,则2C=,S&ABC=.

(5)在OA8CD中，ZABC=60°,高AE=5小,面积为3M,则它的周长为.

(6)RAABC中，ZA=90°,tanB=3tanC,贝Usin8=.

7

(7)放△ABC中，ZC=90°,〃+b=28,sinA+sinB=g,则斜边c的长为.

§7.6锐角三角函数的简单应用⑴

教学目标：

1.能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解

决实际问题；

2.比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转

化为数学问题的能力.

--教学重点难点：

重点：应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

难点：灵活运用三角函数解决实际问题.

三.教学过程

【温故知新】

1.（10辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30。的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之

间的水平距离8E为5m,AB为1.5m.（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高要.

2.（11浙江义乌）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其中AB、C。分别表示地

下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，ZABC=135°,BC的长约是5陋m,则乘电梯从点8

到点C上升的高度h是m.

3.（11广东茂名）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船8,并测得它

的俯角为45。,则船与观测者之间的水平距离BC=米.

在这题中出现了俯角，那什么是俯角？我们如何给它定义呢？这个就是我们今天学习的内容.

1.概念学习：仰角、俯角的定义罗

如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，b辽心

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.、、俯角

视!

《X）【例题解析】

例1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度.已知他离树的水平距离8C为10m,测角仪的高度

CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB.（参考数据：sin33°—0.54,cos33°-0.84,

tan33°心0.65）

某人在A点观察塔顶C的仰角，前进100米后再次观测塔顶C的仰角，数据如下列各图所示，试求

例1.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度A3.小刚在。处用高1.5m的测角

仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E,又测得教学楼顶端A的

仰角为60。.求这幢教学楼的高度A8.

变式1：（10湖北鄂州）如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处

有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海

底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）.

为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑

物顶部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自8处测得建筑物顶部的仰角

请你计算出该建筑物的高度.（取$=1.732,结果精确到1m）

变式3（10天津）永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高

度.如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45。，再往摩天轮的方向前进50m至。处,

测得最高点A的仰角为60。.求该兴趣小组测得的摩天轮的高度A8（小心1.732,结果保留整数）.

变式4（11山东德州）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图，由距CD

一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部。的仰角为人在A和C之间选一点8,由B处用仪器观察

建筑物顶部。的仰角为a.测得A,B之间的距离为4米，tana=1.6,tan£=L2,试求建筑物CO的

高度.

II.动点观测

例2.如图，某高速公路建设中需要确定隧道的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,

测量人员测得正前方A、8两点处的俯角分别为60。和45。.求隧道48的长.（参考数据：$=1.73）

变式1（10广西柳州）如图，从热气球尸上测得两建筑物A、8的底部的俯角分别为45。和30。，如

果48两建筑物的距离为90m,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.（结

果精确到001m,参考数据：也F.414,小4.732）

变式2（10湖北襄樊）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部8的俯角为30。,

看这栋大楼底部C的俯角为60。，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.

变式3（10云蓄昆明）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45。，看这栋

高楼底部的俯角为60。，A处与高楼的水平距离为60s,这栋高楼有多高？（结果精确到0.1〃3参

考数据：也-1.414,小-1.732）

§7.6锐角三角函数的简单应用⑵

--教学目标：

1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的

实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

教学重点难点：

重点：进一步用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.

难点：灵活运用三角函数解决实际问题.

三.教学过程

【温故知新】

1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为60°和

45°,则广告牌的高度BC为米（结果保留根号）.

2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30。正前方的海底有黑匣子信号发出，继

续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，

求海底黑匣子C点处距离海面的深度？

D海面

%

变式（11四川宜宾）如图，飞机沿水平方向（A,B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了

避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线的距离飞机能够测量的数据有俯角和

飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN

的方案，要求：

（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

（2）用测出的数据写出求距离的步骤.4HN

色二【例题解析】

I.甲楼看乙楼问题.

例1.如图，线段A3、OC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB1BC,DCLBC,从B点测得。点的

仰角a为60。从A点测得。点的仰角“为30°,已知甲建筑物高AB=36米.

(1)求乙建筑物的高。C;

(2)求甲、乙两建筑物之间的距离(结果保留根号).

变式1：如图，和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼的楼顶A点测得楼CO的

楼顶C的仰角为45°,楼底。的俯角为30°.

(1)求楼CD的高.

(2)若已知楼。高为30米，其他条件不变，你能求出两楼之间的距离3。