适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第七章平面向量复数第一节平面向量的概念及线性运算课件

第一节平面向量的概念及线性运算第七章课标解读1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.强基础增分策略知识梳理1.向量的有关概念及表示名称定义备注向量既有

又有

的量叫做向量;向量

的大小称为向量

的

(或称

)

记作零向量长度为

的向量叫做零向量

记作0大小

方向

长度

模

0名称定义备注单位向量长度等于

的向量,叫做单位向量

与非零向量a共线的单位向量为±

平行向量(共线向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共线向量)

零向量与任意向量平行相等向量长度

且方向

的向量叫做相等向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量1个单位长度

相同

相反

相等

相同

相等

相反

微点拨1.注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.2.单位向量有无数个,它们的模相等,但方向不一定相等.3.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.微思考平行向量与平行直线有什么关系?提示

平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量所在直线是可以重合的.换句话说,向量平行,向量所在直线不一定平行,还有可能是同一条直线.2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=

(2)结合律:(a+b)+c=

b+aa+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法三角形法则—向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘(1)|λa|=

;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;

λ(a+b)=________(λ,μ为实数)|λ||a|相同

相反

(λμ)aλa+μaλa+λb微点拨两个法则的使用条件不同:三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.微思考向量加法的三角形法则的推论是什么?3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得

.

b=λa微点拨1.在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”.若忽视“a≠0”,则λ可能不存在,也可能有无数个.2.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说,要判定A,B,C三点共线,只需看是否存在非零实数λ,使得微思考向量共线定理中为什么规定a≠0?提示

(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa,但此时向量a与b共线;(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.常用结论

3.对于任意两个向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.(

)(4)若a∥b,b∥c,则a∥c.(

)√×××2.(多选)下列关于向量的结论,其中正确的选项为(

)A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.非零向量a与非零向量b平行,则a与b的方向相同或相反C.起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量D.若向量a与b同向,且|a|=|b|,则a>b答案

BC

解析

|a|=|b|,但a,b方向不能确定,故A错误;非零向量a与非零向量b平行,则a与b的方向相同或相反,故B正确;根据相等向量的定义,知C正确;向量不能比较大小,故D错误.故选BC.3.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=

.

增素能精准突破考点一平面向量的有关概念典例突破例1.(多选)给出下列说法,其中不正确的有(

)A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同B.若A,B,C,D是不共线的四点,且,则四边形ABCD为平行四边形C.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥bD.已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线答案

ACD

解析

A错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;C错误,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件;D错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.故选ACD.名师点析平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(3)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.(4)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.C考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1.平面向量的线性运算典例突破例2.在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记A.3m-2n

B.-2m+3nC.3m+2n

D.2m+3n答案

B

解析

如图.方法总结平面向量的线性运算的求解策略

答案

B

考向2.向量加、减运算的几何意义典例突破答案

D

方法总结

答案

A考向3.利用向量的线性运算求参数典例突破答案

BC

方法总结解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.答案A

考点三向量共线定理的应