适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念几何意义及运算课件

第一节导数的概念、几何意义及运算第四章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能够根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,的导数,能够利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,能求简单的复合函数的导数.强基础增分策略知识梳理1.导数的概念(1)平均变化率:对于函数y=f(x),我们把比值,即

=

称为函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.

(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

=

,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,

导数是用极限来刻画的

f'(x0)(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即f'(x)=y'=

.

微点拨关于导数概念的理解

(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.(2)导数就是瞬时变化率.(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速度与时间的关系式.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的

,即k0=

.

即在点(x0,f(x0))处

切线的斜率k0

f'(x0)微思考“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?提示

“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”时,点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.3.基本初等函数的导数公式

原函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

0αxα-1cosx

-sinxaxlnaex4.导数的四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=

.

(2)[f(x)g(x)]'=

,特别地,[cf(x)]'=

.

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)5.复合函数的导数(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成

的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作

.

(2)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=

,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

xy=f(g(x))y'u·u'x常用结论1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.3.曲线的切线与曲线不一定只有1个公共点.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)=[f(x0)]'.(

)(2)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1).(

)×××√A.(3,3) B.(-3,-3)C.(9,1) D.(3,3)或(-3,-3)答案D

3.经过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程为

.

答案

x+y-2=0

增素能精准突破考点一导数的运算例1.(1)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系,其中P0为初始时该放射性同位素的含量,已知当t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间为(

)A.20天

B.30天

C.45天

D.60天(2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)=+2f'(1)·x,则f'(1)=

.

名师点析导数运算注意点(1)函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导数值.(2)求函数的导数时,必须明确函数的构成及类型,必要时先对函数解析式进行化简变形,复合函数求导时,应由外到内逐层求导,必要时可换元.(3)当函数解析式中含有未知的导数值时,可先求导,然后通过赋值构建方程组求解.(2)(多选)下列求导运算错误的有(

)对点训练1(1)令(x+1)2024=a1+a2x+a3x2+…+a2024x2023+a2025x2024(x∈R),则a2+2a3+…+2023a2024+2024a2025=(

)A.2023×22023

B.2023×22024C.2024×22023

D.2024×22024答案

(1)C

(2)ABD解析(1)对等式(x+1)2

024=a1+a2x+a3x2+…+a2

024x2

023+a2

025x2

024(x∈R)两边分别求导可得2

024(1+x)2

023=a2+2a3x+…+2

023a2

024x2

022+2

024a2

025x2

023,令x=1,有2

024×22

023=a2+2a3+…+2

023a2

024+2

024a2

025,故选C.考点二导数的几何意义及其应用(多考向探究)考向1.求曲线的切线方程典例突破(2)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为

,

.

方法总结利用导数几何意义求切线方程的方法

(2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为

.

对点训练2(1)(2023陕西安康一模)已知函数f(x)=sin2x-xf'(0),则该函数的图象在x=处的切线方程为(

)A.3x+y-π=0 B.3x-y-π=0C.x+3y-π=0 D.3x+y+π=0答案

(1)A

(2)y=x-1

(2)设直线l与曲线的切点为(x0,y0),因为f'(x)=ln

x+1,所以切线的斜率k=ln

x0+1,于是切线方程为y-x0ln

x0=(ln

x0+1)(x-x0),又因为直线l过点(0,-1),所以-1-x0ln

x0=(ln

x0+1)(0-x0),整理解得x0=1,故切线方程为y=x-1.解析(1)f(x)=sin

2x-xf'(0),f'(x)=2cos

2x-f'(0),∴f'(0)=2cos

0-f'(0),解得f'(0)=1,考向2.求切点坐标及参数值典例突破(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标为

.

例3.(1)(2023河北邯郸二模)已知直线y=x是曲线f(x)=lnx+a的切线,则a=(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2答案

(1)B

(2)(-1,1)

点P为(1,-1),则切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与所给直线重合,不符合题意;当x0=-1时,点P为(-1,1),则切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与所给直线平行.故点P的坐标为(-1,1).技巧点拨解决曲线切线问题的关键利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标及参数值等问题时,关键是设出切点坐标,然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解.答案

A

对点训练3(2023江西赣州二模)已知曲线y=ex-m在x=2处的切线与坐标轴围成的面积为,则m=(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析y=ex-m,y'=ex-m,则y|x=2=e2-m,y'|x=2=e2-m,即切点坐标为(2,e2-m),斜率k=e2-m,切线方程为y-e2-m=e2-m(x-2).令x=0,解得y=-e2-m,即该切线与y轴交点坐标为(0,-e2-m);令y=0,解得x=1,即切线与x轴交点坐标为(1,0).故所求切线与坐标考向3.曲线的公切线问题典例突破(2)若曲线y=ln(3x-8)与曲线y=x2-3x在公共点处有相同的切线,则该切线的方程为

.

例4.(1)(2023黑龙江哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的公切线,则b等于(

)A. B.1-ln2C.2-ln2 D.-ln2答案

(1)B

(2)y=3x-9

方法点拨利用导数几何意义解决公切线问题的基本方法利用导数的几何意义解决两条曲线的公切线问题,通常有两种基本方法:(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;(2)分别设出公切线与两曲线的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有f'(x1)=g'(x2)=,据此列式求解.对点训练4已知函数f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=lnx+1,则曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线的方程为

.

答案

y=ex-1,y=x解析设公切线与曲线y=f(x)相切于点(m,em-1),与曲线y=g(x)相切于点(n,ln

n+1).∴(m-1)em+1-m=(m-1)(