适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点课件

第3课时利用导数研究函数的零点高考解答题专项一考点一确定函数零点的个数考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1.(2023安徽合肥二模)已知函数f(x)=2lnx+mx2-(2m+1)x,其中m∈R.(1)若函数y=f(x)图象仅有一条垂直于y轴的切线,求m的取值范围;(2)讨论函数f(x)的零点个数.①当m≤0时,∵x>0,∴mx-1<0,∴当x∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)max=f(2)=2ln

2+2m-2(2m+1)=2ln

2-2m-2.当f(2)=0,m=ln

2-1时,f(x)只有一个零点x=2;当f(2)<0,ln

2-1<m≤0时,f(x)没有零点;当f(2)>0,m<ln

2-1<0时,∵当x>0且x→0或x→+∞时,f(x)→-∞,∴f(x)分别在(0,2)和(2,+∞)上各有唯一零点,此时f(x)有两个零点.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.当x>0且x→0时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.又∵当x→+∞时,f(x)→+∞,∴函数f(x)在区间(2,+∞)上有唯一零点.综上所述,当m<ln

2-1时,函数f(x)有且仅有2个零点;当ln

2-1<m≤0时,函数f(x)没有零点;当m=ln

2-1或m>0时,函数f(x)有且仅有1个零点.方法点拨利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.对点训练1已知函数f(x)=-lnx+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.x0=1,所以y0=-ln

1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.考向2.利用两个函数图象的交点确定零点个数例2.已知函数f(x)=axex,a为非零实数.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)讨论方程f(x)=(x+1)2的实数解的个数.解(1)f'(x)=aex+axex=a(x+1)ex,令f'(x)=0,得x=-1.①当a>0时,令f'(x)<0,得x<-1,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);②当a<0时,令f'(x)<0,得x>-1,所以f(x)的单调递减区间为(-1,+∞).综上所述,当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);当a<0时,f(x)的单调递减区间为(-1,+∞).当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,g‘(x)<0,函数g(x)单调递减.又因为g(-1)=0,所以当x∈(-∞,-1)时,g(x)∈(-∞,0);当x∈(-1,0)时,g(x)∈(-∞,0);当x∈(0,+∞)时,g(x)∈(0,+∞).作出函数的图象(如图).所以,当a>0时,原方程有且只有一个解;当a<0时,原方程有两个解.误区警示在借助函数图象研究函数零点问题时,要准确画出函数的图象,不仅要研究函数的单调性与极值的情况,还要关注函数值的正负以及变化趋势,把函数图象与x轴有无交点,哪一区间在x轴上方,哪一区间在x轴下方等情况分析清楚,这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.对点训练2(2023广西玉林二模)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-xlnx.(1)设a=0.①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②试问f(x)有极大值还是极小值?并求出该极值.(2)若f(x)在(0,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.解(1)∵a=0,∴f(x)=-2x-xln

x,定义域为(0,+∞),f'(x)=-3-ln

x.①由f'(1)=-3及f(1)=-2,得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=-3(x-1),即y=-3x+1.②令f'(x)>0,得0<x<e-3;令f'(x)<0,得x>e-3.∴f(x)在(0,e-3)内单调递增,在(e-3,+∞)上单调递减,∴f(x)在x=e-3处取得极大值,且极大值为f(e-3)=e-3,f(x)没有极小值.(2)(方法1)由f(x)=0,得ax-ln

x+a-2=0,则a(x+1)=ln

x+2.∴当0<x<1时,φ(x)>0,当1<x<e时,φ(x)<0,∴h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,e)内单调递减,则h(x)max=h(1)=1.考点二已知函数零点个数求参数取值范围例3.已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不符合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln

a.当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(-∞,ln

a)上单调递减,在区间(ln

a,+∞)上单调递增,故当x=ln

a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln

a)=-a(1+ln

a).因为f(-2)=e-2>0,所以f(x)在区间(-∞,ln

a)上存在唯一零点.由(1)得,当x>2时,ex-x-2>0,方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法

对点训练3已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.(1)若a<0,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个不同的零点,求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a).已知a<0,令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln(-2a