数学（全国卷文科02）-2024年高考押题预测卷（全解全析）

第第页2024年高考押题预测卷【全国卷02】文科数学·全解全析第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为或，则，又，所以.故选：B2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得，故虚部为，故选：A3．若实数，满足约束条件，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，则．化目标函数为．由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，则有最小值为．故选：C．4．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，因为，所以，所以.故选：B．5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，进入第一次循环，得；进入第二次循环，得；进入第三次循环，得；，；，此时因，退出循环，输出，而.故选：C.6．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（

）A．图中的B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人C．这100名学生成绩的中位数约为65D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2【答案】C【详解】由，得，所以A正确；这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确；根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误；根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确．故选：C7．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，因为，可知，又因为，所以.故选：D8．已知函数满足，且函数为偶函数，若，则（

）A．0 B．1012 C．2024 D．3036【答案】B【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称，所以，所以函数的周期为4，在中，分别令和1，得，，即，所以，所以.故选：B.9．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长和攒尖高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，设为的中点，，异面直线与所成角为或其补角．连接，所以，在正四棱锥中，，，平面，，设，则由题意得，在中，．故选：C．10．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为点为直线与直线的交点，所以由可得，且过定点，过定点，所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆，圆心为，半径.而圆的圆心为，半径为，所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，所以的最大值为：，的最小值为：，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.11．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【详解】由题意知：，在处取得极值，，解得：或；当，时，，在上单调递增，不合题意；当，时，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，满足题意；，又与同号，.故选：D.12．已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】由抛物线的准线方程为，可得，解得，所以抛物线，设直线，且，，联立方程组，整理得，则，解得，且，，由，所以A正确；由，所以B正确；当时，由，可得，则，或，，所以，所以C错误；由，解得，所以，则，所以D正确．故选：C第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为．【答案】．【详解】由题意设切点，因为，令，得，由导数几何意义知：，又，所以，故曲线在处的切线方程为：，整理得：.故答案为：.14．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为．【答案】【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，设点，则，点到的两条浙近线的距离之积为，解得：，故双曲线方程为：，故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．故答案为：．15．已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为.【答案】【详解】如图，由对称性可知，点是的中点，设，则，，点是的中点，由底面矩形的对角线的交点作底面的垂线，过等边三角形的中心作平面的垂线，两条垂线交于点，点是四棱锥外接球的球心，，，则，当，即时，等号成立，则的最小值为,所以四棱锥外接球表面积的最小值为.故答案为：16．若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则．【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，又，所以，因为点在边上，，所以，因为，，所以，所以，所以，得，在中，，由余弦定理可得，得．故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史物理合计男生12425女生91625合计104050附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.【详解】（1）将表中的数据带入，得到． 3分所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关． 5分（2）由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E， 6分从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的， 8分其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有7种情况， 10分所以（至少有一名女生）． 12分18．设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.【详解】（1）由，，得，解得， 1分由，，所以，所以或， 3分当时，此时； 4分当时，此时； 5分综上可得数列的通项公式为或； 6分（2）因为，所以，则， 7分则， 9分所以. 12分19．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.(1)证明：平面平面ABCD；(2)求点A到平面SBC的距离.【详解】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE， 1分易得，，因为，，所以，，，故， 3分又，，所以，故， 4分因为平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因为平面SCD，所以平面平面ABCD. 6分（2）由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故. 8分在中，，，所以SB边上的高，所以. 10分设点A到平面SBC的距离为d，则，即，解得，所以点A到平面SBC的距离为. 12分20．已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得， 3分故椭圆方程为 4分（2）当斜率不存在时，易知； 5分②当斜率存在时，设，,，,，由，得，显然，所以，， 7分因为，，所以， 9分因为，所以，又， 10分设，则，，解得且，所以，综上可得的取值范围为． 12分

21．已知函数，(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，求的最小值.【详解】（1）因为，所以, 1分令，则，因为，当时，，则，即，此时在上单调递增， 3分当时，，由，得，且，当或时，，即；当时，，即，所以在,上单调递增，在上单调递减； 5分综上，当时，在上单调递增，当时，在,上单调递增，在上单调递减，其中. 6分（2）由（1）可知，为的两个极值点，且，所以，且是方程的两不等正根，此时，，，所以，，且有，， 8分则 10分令，则，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以，所以的最小值为. 12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的极坐标为且点在曲线上.(1)求曲线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)已知直线与曲线分别交于，两点，其中，异于原点，求的面积.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，由，得曲线的直角坐标方程为；由曲线的参数方程为（为参数），又，得， 2分因为，所以，即，即曲线的极坐标方程为.又点在曲线上，所以，解得，所以曲线的极坐标方程为； 4分（2）因为点，则，即点的直