导数及其应用 05 函数不等式的证明 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用05（函数不等式的证明）1．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）求证：．2．已知曲线的一条切线过点．（1）求的取值范围；（2）若，．①讨论函数的单调性；②当时，求证：．3．已知函数，，．（1）当时，，求的取值范围；（2）证明：当时，．4．已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：．5．已知函数，函数，（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点．求证：当时，．6．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，求证：．7．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．9．已知函数，．（1）已知恒成立，求的值；（2）若，求证：．10．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；（2）若方程有两个实数根，，求证：．11．已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：．12．已知．（1）求的单调区间；（2），若有两个零点，，且．求证：．（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）13．已知函数．（1）讨论的极值情况；（2）若时，，求证：．14．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当，时，求证：．参考答案1．（1），，令有或，令有，因此的单调递增区间为和，的单调递减区间为．（2）设，则，，单调递增，又，（1），因此存在使得，所以在上单调递减，在上单调递增，，又，，所以，因此．2．（1），，设切点为，，则切线方程为，切线过点，，，，设，则，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（e），；（2）当时，，，，，①当时，在上是减函数，在上为增函数，当时，在上是减函数，在，上为增函数，当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，在，上为增函数；②证明：当时，，要证明，只需证明，而，．3．（1）当时，，即，即，设，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，（1），则．实数的取值范围为，；（2）证明：，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，令，则，易知在单调递增，在单调递减，，又两个等号不同时成立，故当时，．4．（1）函数的定义域为求导函数，可得，，题设等价于，令，则．当时，；当时，，是的最大值点，（1）．综上，的取值范围是，．（2）由（1）知，（1），即；当时，；当时，，所以5．（1），，记，当时，，在单调递增，无极值点，当时，△，有异号的两根，，，，，在单调递减，，，，，在，单调递减，有极小值点；（2）证明：，，（1），在处的切线方程为，过点得：，（1），在处的切线方程为，过点得：，，，要证：，即证：，即证：，构造函数，则，时，，时，，在单调递减，时，，在单调递增，（1），故原不等式成立．6．（1）由题意得，若，则，所以在上单调递减；若，则当时，，所以在上单调递减；当，时，，所以在，上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）证明：由（1）的讨论知，当时，，令函数，则，所以要证，只需证，即证，令函数（a），则（a），当时，（a），所以（a）在上单调递减；当，时，（a），所以（a）在，上单调递增，故（a），所以，综上，．7．（1）函数的定义域为，，令，当时，，此时在上单调递减；当时，为二次函数，△，①若△，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；②当△，即或时，令，解得，当时，的图象为开口向下的抛物线，，当，，时，，则，单调递减，当，时，，则，单调递增；当时，的图象为开口向上的抛物线，，当，，则，单调递减，当，，，则，单调递增；综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因此对任意恒有（1），即，又，要证，只需证，令，则，，，，则在，上单调递增，又（1），当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），对任意恒有（1），即，即得证．8．（1），．，当时，，函数在上单调递增．当时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，要证明：，即证明，令，，令，解得；令，解得．函数在上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极大值即最大值，（e）．令，，令，解得；令，解得．函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，（2）．而．，即，也即．9．（1）已知恒成立，即恒成立，令，则有，当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，，不满足题意；，此时令；；，即函数在上单调递减，在上单调递增，，若要满足题意，则需使，恒成立，令（a），则有（a），由此可得，当时，（a）；当时，（a）．（a）（1），即得（a），．（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，即有恒成立，故有在上恒成立；根据题意，要证，即证明，即证，即证，令，则有，，，，在上恒成立，即得函数在上单调递减，（1），由此得证当时，原不等式成立．10．（1）由，得，或，所以的零点为1，；因为，所以（1），（e）．因为（1）（e），所以在处的切线方程为，在处的切线方程为（2）证明：因为，所以，所以单调递减．令，，下面证，即，记，则，，所以单调递增，且（1），故在单调递减，在单调递增．所以（1），即，同法可证，即．不妨设，因为，且为增函数，所以，由，得，同理，，，所以，所以，，所以，．11．（1），，，故时的切线方程是，即；（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，，，当时，方程有2个实根，，则，，令，则，令，则，故在递增，故，故在递增，故，故，故，故，故时，，故，故．12．（1），当时，，在单调递增；当时，令，解得，令，解得，在单调递增，在单调递减；综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：，令，则，设，则，易知函数在单调递减，在单调递增，且时，，当时，，（1），，又，则，①若证所证不等式的左边，即，即证，又（b），则，故即证，即证，设（b），，则，（b）在上单调递减，（b）（1），即得证；②若证所证不等式的右边，即，即证，即证，又（a），即，故即证，即证，设（a），，则，（a）在单调递减，故（a）（1），即得证．13．（1）的定义域是，，①当时，，在上单调递增，无极值，②当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，无极大值；综上：当时，在上单调递增，无极值，当时，，无极大值；（2）证明：①当时，，使，则，，此时成立，②当时，由（1）得时，，，则，解得：，故，设，则，为上的减函数，且，，则存在唯一实数，，使得，，当时，，递增，当，时，，递减，故当时，的最大值是，为，上的增函数，时，，则，故（a），原结论成立．14．（1）的定义域为，，①当时，，即在上单调递减；②当时，，由