2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市常青联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题试卷满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.若虚数z使得z2+z是实数，则z满足（）A.实部是 B.实部是 C.虚部是0 D.虚部是〖答案〗A〖解析〗设（且），，是实数，因此，（舍去），或．故选：A．3.古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数．记，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，，，，所以故选：B4.已知函数，则（）A.的最小正周期为，最大值为B.的最小正周期为，最大值为C.的最小正周期为，最大值为D.的最小正周期为，最大值为〖答案〗B〖解析〗根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.5.在中，为边上的中线，，若，则（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以，即，所以.故选：D6.在中，角对边为，且，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B7.若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗过点作直线的垂线，垂足为点，观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，且，则，所以，，故的最大值为.故选：C二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. B.z的虚部为－1C.为纯虚数 D.〖答案〗CD〖解析〗因为，所以.对于A，，故A错误；对于B，z的虚部为1，故B错误；对于C，为纯虚数，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.存在，使得 D.当时，在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则，得，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，若，则，，在时无解，故C错误；对于D，当时，，，在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：ABD11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，恒成立C.若，，，则符合条件的只有一个D.若为非直角三角形，则〖答案〗AD〖解析〗对A，由正弦定理可知，故选项A正确；对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，故选项B错误；对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，故选项C错误；对D，因为为非直角三角形，所以，整理可得，故选项D正确.故选：AD.12.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则（）A.函数在上单调递增B.若，则C.若，则的最小值为0D.若，则的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；因为，所以，故B正确；，令，则，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若，其中、都是实数，是虚数单位，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，则，解得，因此，.故〖答案〗为：.14.已知，若记，则______．〖答案〗〖解析〗，∴，则有，∴.故〖答案〗为：15.锐角满足，则____________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，又，且为锐角，所以，即.故〖答案〗为：16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．〖答案〗〖解析〗因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以，因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以，因为，所以，得，因为，所以，所以，所以，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，故〖答案〗为：四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知，，且．（1）求和的值；（2）求与的夹角的余弦值．解：（1）因为，所以，即，因为，，所以，化简得，；.（2）记与的夹角为，.所以与的夹角的余弦值为.18.已知函数的部分图像，如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，当时，求函数的值域．解：（1）根据函数的部分图像，得，，所以．根据图像可得，，所以，又因为，所以，所以.（2）将函数的图像向右平移个单位后，可得的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．由，可得，所以，所以.所以函数在的值域为..19.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求的面积；（2）求点之间的距离．解：（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面积为．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即点C，D之间的距离为．20.△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为（1）求;（2）若求△ABC的周长.解：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.21.如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.（1）求；（2）求的余弦值.解：（1）又已知为的中点，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因为为的中点，所以，又，所以,所以，，所以，又与的夹角相等，所以，所以的余弦值为.22.对于函数，称向量为函数相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．记向量的相伴函数为．（1）当且时，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题意得，向量的相伴函数为，所以∵，∴．∵，∴，∴所以（2）向量的相伴函数为当时，，即，恒成立．所以①当，即时，，所以，即，由于，所以的最小值为，所以；②当，，不等式化为成立．③当，时，，所以，即，由于，所以的最大值为，所以．综上所述，k的取值范围是.湖北省武汉市常青联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题试卷满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.若虚数z使得z2+z是实数，则z满足（）A.实部是 B.实部是 C.虚部是0 D.虚部是〖答案〗A〖解析〗设（且），，是实数，因此，（舍去），或．故选：A．3.古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数．记，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，，，，所以故选：B4.已知函数，则（）A.的最小正周期为，最大值为B.的最小正周期为，最大值为C.的最小正周期为，最大值为D.的最小正周期为，最大值为〖答案〗B〖解析〗根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.5.在中，为边上的中线，，若，则（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以，即，所以.故选：D6.在中，角对边为，且，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B7.若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗过点作直线的垂线，垂足为点，观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，且，则，所以，，故的最大值为.故选：C二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. B.z的虚部为－1C.为纯虚数 D.〖答案〗CD〖解析〗因为，所以.对于A，，故A错误；对于B，z的虚部为1，故B错误；对于C，为纯虚数，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.存在，使得 D.当时，在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则，得，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，若，则，，在时无解，故C错误；对于D，当时，，，在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：ABD11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，恒成立C.若，，，则符合条件的只有一个D.若为非直角三角形，则〖答案〗AD〖解析〗对A，由正弦定理可知，故选项A正确；对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，故选项B错误；对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，故选项C错误；对D，因为为非直角三角形，所以，整理可得，故选项D正确.故选：AD.12.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则（）A.函数在上单调递增B.若，则C.若，则的最小值为0D.若，则的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；因为，所以，故B正确；，令，则，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若，其中、都是实数，是虚数单位，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，则，解得，因此，.故〖答案〗为：.14.已知，若记，则______．〖答案〗〖解析〗，∴，则有，∴.故〖答案〗为：15.锐角满足，则____________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，又，且为锐角，所以，即.故〖答案〗为：16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．〖答案〗〖解析〗因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以，因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以，因为，所以，得，因为，所以，所以，所以，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，故〖答案〗为：四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知，，且．（1）求和的值；（2）求与的夹角的余弦值．解：（1）因为，所以，即，因为，，所以，化简得，；.（2）记与的夹角为，.所以与的夹角的余弦值为.18.已知函数的部分图像，如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，当时，求函数的值域．解：（1）根据函数的部分图像，得，，所以．根据图像可得，，所以，又因为，所以，所以.（2）将函数的图像向右平移个单位后，可得的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．由，可得，所以，所以.所以函数在的值域为..19.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设