（高中数学）空间向量与立体几何单元专项训练试题（含答案解析）

（高中数学）空间向量与立体几何单元专项训练

试题（含答案解析）

一、单选题

1.在空间直角坐标系。孙Z中，与点关于平面xOz对称的点为（）

A.（―1,—2,1）B.（—1,2,1）C.（―1,—2,—1）D.（1,—2,—1）

2.在空间直角坐标系内，平面。经过三点人（1,0,2）,8（0,1,0）〈（-2,1,1）,向量”=（1,4//）

是平面a的一个法向量，则/+〃=（）

A.-7B.-5C.5D.7

3.已知点A（3,—l,0）,若向量A8=（2,5,-3）,则点8的坐标是（）.

A.（1,-6,3）B.（5,4,-3）C.（-1,6,-3）D.（2,5,-3）

4.如图，△O'A'B'是水平放置的Q48的直观图，A'0'=6,B'O'=2,则。48的面

积是（）

5.平面a的一个法向量是"=平面夕的一个法向量是加=（-3,6,-2）,则平

面a与平面夕的关系是（）

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

6.已知某圆柱的内切球半径为］,则该圆柱的侧面积为（）

A49乃一81万

A.----B.497rC.----D.814

22

7.。、A、8、C为空间四点，且向量04、OB、0C不能构成空间的一个基底，则下

列说法正确的是（）

A.。4、OB、0C共线B.。4、。8共线

C.OB、0C共线D.。、A、B、C四点共面

8.在正方体ABCO-AAGR中，E为线段A片的中点，则异面直线。E与BG所成角

的余弦值为（）

A石nM「后n2亚

A♦D.k_x•\-）.

5555

9.已知△ABC是面积为亚的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表

4

面积为16万，则。到平面ABC的距离为()

A.&B.-C.1D.3

22

10.在正方体ABC。-A4G。中，P，Q分别为AB,CD的中点，则()

A.ABJ平面ABGB.异面直线4片与4a所成的角为30。

C.平面平面BCQD.平面80，平面

二、填空题

11.己知角a和角尸的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若。=

45°,贝［|£=.

12.若直线/的方向向量机=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),且直线以平面a,

则实数x的值是.

13.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖席”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人

对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体

称为“鳖腌现有如图所示的“鳖膈”四面体以8C,其中平面ABC,PA=AC^2,

BC=26,则四面体以BC的外接球的表面积为.

14.设空间向量/,，，&是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的x，y，|“-x”力］的

最小值是2,则卜+3囚的最小值是.

三、解答题

15.如图，在三棱柱ABC-A4G中，点。是AB的中点.

试卷第2页，共4页

(1)求证：AG〃平面COB一

⑵若44,J•平面ABC,AC=BC,求证：C£>J_平面A881A.

16.如图，空间四边形ABCQ中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点.

求证：(1)E”〃平面BCD；

(2)〃平面EFGH.

17.如图，在四棱锥P-A5C。中，PO_L平面ABC。，底面ABC。是正方形，4c与3。

交于点0,E为P8的中点.

0

(1)求证：EO平面P£>C；

(2)求证：平面PAC_L平面尸8力.

18.如图，在三棱锥A—BCD中，平面A8£>_L平面BCD,AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：0A1CD；

(2)若.OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA,且二面角

E-8C-。的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.

试卷第4页，共4页

（高中数学）空间向量与立体几何单元专项训练

试题（含答案解析）

I.A

【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.

【详解】解：因为点（-1,2,1）,则其关于平面xOz对称的点为（T-2,1）.

故选：A.

2.D

【解析】求出A8=（-l,l,-2）,BC=（-2,0,1）,利用与〃=数量积为0,求解即可.

【详解】AB=（-l,l,-2）,BC=（-2,0,1）

"-A8=-l+/l-2〃=0

“•BC=-2+〃=0

可得〃=2,2=5,%+〃=7

故选：D

3.B

【分析】利用空间向量的坐标运算求得8的坐标.

【详解】设。为空间坐标原点，

OB=OA+A3=（3,—l,0）+（2,5,—3）=（5,4,—3）.

故选：B

4.B

【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原,048是一个直角三角形，

其中直角边。4=6,08=4,直接求解其面积即可.

【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边OA=6,08=4,

.­.SOAB=1OAOB=1X6X4=12.

故选：B.

5.C

【分析】由题设知机根据空间向量共线定理，即可判断平面。与平面夕的位置关系.

答案第1页，共11页

【详解】平面a的一个法向量是力=(；,-1,；)，平面夕的一个法向量是，"=(-3,6,-2),

m=-6〃,

平面a与平面夕的关系是平行或重合.

故选：C.

6.D

9

【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为圆柱的高为9,从而可求出其侧面积

g

【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为圆柱的高为9,

9

所以该圆柱的侧面积为2万=、9=81%.

故选：D

7.D

【解析】根据向量。4、08、0C不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.

【详解】因为0、A、B、C为空间四点，且向量0A、OB、0C不能构成空间的一个基底，

所以OB、0C共面，

所以。、A、B、C四点共面，

故选：D

8.B

【分析】连接AR,AE,得到AR//8C；,把异面直线与BQ所成角转化为直线RE与

A。所成角，取4。的中点尸，在直角VAE/中，即可求解.

【详解】在正方体ABC。-A,4GA中，连接AR,AE,可得AR//BC；,

所以异面直线AE与BQ所成角即为直线RE与AD,所成角,

即NAQE为异面直线D.E与8G所成角，

不妨设AA,=2,则A£>]=2a,D、E=AE=旧,

取AR的中点F,因为。E=AE,所以EFLAR,

可得COSZARE=4^=W=®

在直角VAEF中,

D、E加5

故选：B.

答案第2页，共11页

9.C

【分析】根据球。的表面积和A8C的面积可求得球。的半径R和―45C外接圆半径r,由

球的性质可知所求距离”=VF=7.

【详解】

设球。的半径为R,则4乃我2=16万，解得：R=2.

设.ABC外接圆半径为广，边长为。，

&ABC是面积为唯的等边三角形，

4

,_1/、虫=还，解得：，=3,"==M昼=6,

2243V43V4

球心。到平面ABC的距离d=依-尸=74-3=1.

故选：C.

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;

解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.

10.D

【分析】A项反证法可得；

B项由平移法计算异面直线所成角；

C项由面面平行的判断和性质可得结果；

答案第3页，共11页

D项建立空间直角坐标系可得结果.

【详解】对于选项A,假设Ag_L面A8G,则A/^AG，这与已知AB「与A©不垂直相

矛盾，所以假设不成立.

故选项A错误；

对于选项B,连接。G，DAt,

因为A4〃DQ,所以NDGA为异面直线AS与AG所成的角或补角，

又因为△A£O为等边三角形，所以NZ)GA=60°，故选项B错误;

对于选项C,

因为耳ADJBC，由面面平行的判定定理可得平面A4D〃平面8OG，而平面

与平面8OG相交，所以平面与平面80。也相交，故选项C错误；

对于选项D,以O为坐标原点，DA,DC,0A所在的直线分别为x,>,z轴，建立空

答案第4页，共11页

间直角坐标系，如图所示,

设正方体的棱长为I,则。(0,0,0),^(1,1,1),c(o,i,o),小,g，o｝可得。4=(1,1,1),

DC=(0,1,0),QP=1,g,0),设平面BQ。的法向量为勺=(x,y,z),

，

n.•DB.=x+y+z=0,、

则■，可取X=l,则y=o,Z=-1,即勺=(l,0,-l),

nx•DC=y=0

G•DB1=a+/?+c=O

设平面BQP的法向量为〃2=(a,b,c),则＜

nDP=a+-b=0

72

可取a=l,则6=—2,c=\,可得平面与。户的一个法向量为“ML-2』),

由/V“ul+O—1=0,所以用，均，即平面与。4_1_平面与。尸，故选项D正确.

故选：D.

11.135°

【分析】首先根据题意将图画出，然后根据a=45。，AB//CD,可得/8。=180”-a,进

而得出结论.

【详解】解：如图，由题意知a=45。，AB//CD,

ZBCD=180-a=135">

即£=135°.

答案第5页，共11页

【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.

12.-1

【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.

【详解】直线/的方向向量〃?=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),直线/上平面a,

必有,〃//〃，即向量加与向量”共线，

x-11

m=An,—=—=解得x=T;

-2—22

故答案为：-1.

13.16万

【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积.

【详解】由于P4_L平面A8C,因此乱与底面上的直线ACAB,8c都垂直，

从而AC与AB不可能垂直，否则PBC是锐角三角形，由于ACV8C,因此有AC_Z3C,

而以与AC是平面PAC内两相交直线，则8c/平面PAC,PCu平面B4C,所以3C_LPC,

所以心的中点。到P，A,B,C四个点的距离相等，即为四面体以BC的外接球球心.

PB2=PA2+AB2=PA2+AC2+BC2=22+22+(2>/2)2=\6,PB=4,

PR

所以所求表面积为s=4〃X(三)2=4万x2?=16/.

故答案为：16万.

14.1

【分析】以i,j方向为X，y轴，垂直于i,/方向为Z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐

标，由卜+3%|的表达式即可求得最小值.

【详解】以方向为x，％z轴建立空间直角坐标系，则i=(l,O,O),/=(0,1,0),=(0,0,1)

答案第6页，共11页

设a=(r,5,Z)则,一Xi-y/卜^(r-x)2+(5-y)2+f2,

当r=x，s=V时,-x"yj\的最小值是2,

.-.r=±2

取a=(x,y,2)则a+3Z=(x,y,5)

.,Ja+3囚=y]x2+y2+52

又因为是任意值，所以k+3%|的最小值是5.

取a=(x,y,-2)则4+3A=(x,y,l)

」.卜+3%卜yjx2+y2+12

又因为X，y是任意值，所以卜+3&|的最小值是1.

故答案为：1.

15.(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)连接BC一交B、C于点、E,连接EZ),用中位线证明匹〃AG即可；

(2)证明CD14A即可.

【详解】(1)连接8G，交BC于点E,连接ED

•.•A8C-44£是三棱柱，.•.四边形8CC内为平行四边形，是8G的中点

•••点。是A8的中点，ED是:.ABC的中位线，ED//AQ,

又即u平面CQg,AG<2平面CO与，AG〃平面COB-

答案第7页，共11页

(2)；例，平面ABC,ABu平面ABC,AAA.1.AB,

VAC=BC,AD=BD,：.CD1AB,

A4,AB=A,A4”ABu平面,

...CO1平面AB4A.

16.(1)见解析(2)见解析

【分析】(1)推导出EH〃8。，由此能证明EH〃平面BCD；

(2)由BD〃EH,由此能证明8。〃平面EFGH.

【详解】(1)；£：”为AABD的中位线，

C.EH//BD.

,"//<£平面BCD,8Ou平面BCD,

.♦.EH〃平面BCD；

(2)；只7为AC8D的中位线，

J.FG//BD,

J.FG//EH,

，E、F、G、，四点共面，

'：BD//EH,EFGH,EHcTffiEFGH,

〃平面EFGH.

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查化归与转化思想，是中档题.

17.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)证明：•••四边形ABCZ)为正方形，二。为8。的中点，

为尸8的中点，：.OE//PD,

又平面POC,尸。u平面PDC,0E平面P£)C；

(2)证明：•.•四边形43CD为正方形，...ACIBO,

：P£>J_平面ABC。，且ACu平面ABC£>,所以PD_LAC,

又；PD,BDu平面PBD,且P£)c3Z)=D,AC_L平面

又♦；ACu平面PAC,二平面PAC,平面PZM.

答案第8页，共11页

18.（1）证明见解析；（2）包.

6

【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

（2）方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体

积即可.

【详解】（1）因为A3=AE>,。是BD中点，所以。4,83,

因为OAu平面A8£）,平面平面BCD,

且平面ABDc平面3c0=%）,所以。4,平面58.

因为Su平面88,所以。4LCD.

（2）［方法一］:通性通法一坐标法

如图所示，以。为坐标原点，OA为z轴，0。为了轴，垂直0。且过。的直线为x轴，建立

空间直角坐标系。一个z,

则（7（立2,0）,。（0』,0）,次0,-1,0）,设4（0,0,，"）,E（0，!，•!；«）,

2233

所以如（0,一*一|,〃）屎=（怖|,0）,

设。=（x,y,Z）为平面EBC的法向量，

则由黑工可求得平面反c的一个法向量为"苒』，言

又平面BCD的一个法向量为OA=（0,0,m）,

所以cos（〃,O4）=|—j4।=，解得加=1.

又点C到平面A8D的距离为丑，所以匕Bcn=VcABl）=-x-x2xlx^-=^,

2n-nl^iJC-nttlJ3226

所以三棱锥A-BCD的体积为®.

6

［方法二］【最优解】：作出二面角的平面角

答案第9页，共11页

如图所示，作EG_LBD,垂足为点G.

作Gb_L8C,垂足为点尸，连结EF,则。4〃£G.

因为OA_L平面BCD,所以EG_L平面8c。，

/EFG为二面角E-BC-。的平面角.

因为NEFG=45。，所以EG=^G.

由已知得03=8=1