2020-2021学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷【含答案】

2020-2021学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷

（一诊）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

D.也

3.（3分）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均

相同.若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是g,则黑球的个数为（）

A.3B.12C.18D.27

4.（3分）反比例函数v=」的图象位于（）

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限

5.（3分）已知某斜坡的坡角为c,坡度为7=5:12,贝卜。5夕为（）

A.—B.—C.—D.—

1213135

6.（3分）已知一元二次方程尤②-辰-3=0的一根为2,则另一个根为（）

133

A.1B.-C.-D.--

222

7.（3分）如图，是的直径，若440=32。，则/D的度数为（）

D

A.58°B.68°C.34°D.64°

8.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点，连接

过点3作斯，AE交钻于点尸，则跳1的长为（）

AWW口3而D.史

D.----L.-----

,2555

9.（3分）如图，在口ABCD中，ZABC,NBCD的平分线BE、CF分别与4）相交于点E、

F,BE■与CF相交于点G,若AB=6,BC=10,CF=4,则庞;的长为（）

A.472B.8C.8A/2D.10

10.（3分）如图二次函数y=a?+bx+c的图象经过点A（2,0）,3（6,0）,下列说法正确的是

）

B.—2Z?+c<0

C.c<0D.对称轴是直线％=4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11.（4分）计算：sin45。—cos60。=

12.（4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=-»的图象过点4-3,%）,8（-5,%），

X

则为%（填＞、＜或=）.

13.（4分）小明的身高为1.7米，某一时刻小时的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵

树的影长为7米，则这棵树的高为一米.

14.（4分）“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题今有圆材，

埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达

是：如图所示，CD为的直径，弦AB_LCD,垂足为E,CE=1寸，筋=1尺，则直径

CD长为寸.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（12分）（1）计算（括一2）°-2sin30°-用—；

（2）解方程:2X2+3X-5=0.

16.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与比）相交于点O,Zfl4D=60°,AC=12,

求菱形对角线的长.

17.（8分）如图，线段AC、皮）表示两建筑物的高，AC±CD,BDVCD,垂足分别为C、

D,从3点测得A点的仰角为30。，从3点测得C点的俯角为45。，已知9=69米，求两

建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高.（结果保留根号）

A

□

□

□

□

□

□

□

C

18.（8分）中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一

撮人就可以走了，和红绿灯无关”，针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人,

得出形成这种现象的四个基本原因：①马路红灯时间长，交通管理混乱占2%；②侥幸心态,

只图自己节省时间；③对行人闯红灯违规行为惩罚措施不够严厉占8%；④从众心理.该记

者将这次调查情况整理并绘制了如图尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题.

(1)该记者本次一共调查了一名行人；

(2)求图1中②所在扇形的圆心角度数，并补全图2；

(3)在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率.

：人数(人)

120-----------------

图1图2

19.(10分)如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=8(左为常数且左大0)的图象

X

交于A(-2,a),3两点，与x轴交于点C.

(1)求此反比例函数的表达式；

(2)若点尸在x轴上，且5AAe=|$初℃，求点P的坐标.

20.(10分)如图1,在AABC中，AB=AC,O。是AABC的外接圆，过C作CD//AB,

CD交于。，连接4)交BC于点E,延长ZX?至点/，使CF=AC,连接AF.

(1)求证：AF是OO的切线；

(2)求证：AB1-BE1=BE-EC■,

(3)如图2,若点G是AACD的内心，BCBE=64,求3G的长.

一、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分)

21.(4分)已知二次函数>•的图象与x轴交于A(%,0)B(X2,0)两点，且

3+3=3,则。的值为一.

玉X2

22.(4分)将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体,

从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为—.

23.(4分)如图，已知OO的半径为6,24是的一条切线，切点为A,连接PO并延

长，交。。于点3,过点A作ACLPB交。O于点C,交PB于点D.当NP=30。时，弦AC

的长为―.

24.(4分)如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(L1),(3,1),(3,0),

点A为线段上的一个动点，连接AC,过点A作AB,AC交y轴于点3,当点A从A/

运动到N时，点3随之运动.设点3的坐标为(0,6),则。的最小值为.

25.（4分）如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE,将AADE沿AE翻

折至AAEF,连接族并延长成交AE延长线于点尸，当=尸时，—=.

2CD

二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤）

26.（8分）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满，装修后，市场

调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，假设日

租金提高x兀.

（1）直接写出装修后日出租房间数y与尤的关系式；

（2）不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最

高？比装修前日租金的总收入增加多少元？

27.（10分）已知在菱形ABCD中，440=120。，点E为射线3C上的一个动点，AE与

边CD交于点G.

（1）如图1,连接对角线5。交?1E于点连接CF,若A〃=CG.a）,试求NCFE的

度数；

（2）如图2,点P为AE上一点，S.ZADF=ZAED,若菱形的边长为2,则当OE_LBC时,

求ACFE的面积；

（3）如图3,当点石在射线3C上运动时，试求匹的最小值.

AE

线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC,NC4B的平分线AE交抛物线G于点石.

(1)求抛物线C1的表达式；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点CI将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C，得到抛

物线C2,在射线AE上取点Q,连接CQ,将射线QC绕点。逆时针旋转120。交抛物线C?于

点尸，当AC4。为等腰三角形时，求点尸的横坐标；

(3)如图2,将抛物线G沿一定方向平移，使顶点。'落在射线AE上，平移后的抛物线C3

与线段CB相交于点M、N,线段CB与DF相交于点。，当点。恰好为线段的中点时,

求抛物线C3的顶点坐标.

图1图2

2020-2021学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷

（一诊）

答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）cos60。的值是（）

A.-B.—C.—D.A/3

223

【分析】根据特殊角的三角函数值求解.

解：cos60°=-.

2

故选：A.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

2.（3分）如图所示物体的左视图是（）

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

解：物体的左视图是：

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

3.（3分）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均

相同.若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是g,则黑球的个数为（）

A.3B.12C.18D.27

【分析】设黑球的个数为X个，根据概率公式列出方程，求出X的值即可得出答案.

解：设黑球的个数为X个，根据题意得：

7+9-3，

解得:x=18>

经检验x=18是方程的解，

答：黑球的个数为18；

故选：C.

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有〃种可能，而且这

些事件的可能性相同，其中事件A出现〃7种结果，那么事件A的概率尸（A）=-.

4.（3分）反比例函数>=」的图象位于（

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限

【分析】先根据反比例函数的比例系数上的值为3得到左>0,再根据反比例函数的性质进

行解答即可.

解：,反比例函数y=-中，左=3>0,

二.反比例函数y=3的图象在一、三象限.

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数〉=幺（左/0）的图象是双曲线；当

4>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限.

5.（3分）已知某斜坡的坡角为a,坡度为z.=5:12,则85々为（）

A.—B.—C.—D.—

1213135

【分析】根据坡度的概念结合图形得出AC:3C=5:12,据止匕设AC=5x,则8c=12x,由

勾股定理知钻=13x,再由余弦定义的概念求解即可.

解：如图，

B

由题意知AC:3c=5:12,

设AC=5x,贝l]3C=12x,

AB=yjAC2+BC2="(5x)2+(12x)2=⑶,

小BC12x12

/.cosa=cosZ-B=-----=-----=—

AB13x13

故选：C.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度和余弦

函数的定义及勾股定理.

6.（3分）已知一元二次方程f—丘—3=0的一根为2,则另一个根为（）

133

A.1B.-C.-D.--

222

【分析】根据根与系数的关系：玉％=£求得即可.

a

解：设方程的另一个根为％，则根据题意，得2%=-3,

解得％=一3,

所以这个方程的另一个根是-』，

2

故选：D.

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于£是解题的关键.

a

7.（3分）如图，AB是的直径，若44C=32。，则的度数为（）

A.58°B.68°C.34°D.64°

【分析】根据圆周角定理得到NA8=90。，利用互余得到NB的度数，然后根据圆周角定

理得到ZD的度数.

解：•.,4?是。0的直径，

..ZACB=90°,

.•.ZB=90o-ZE4C=90°-32o=58°,

,-.ZD=ZB=58°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦

是直径.

8.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE,

过点5作跖，AE交AE于点F,则所的长为（）

【分析】根据5后=工5弟向Be=3=LAE1R，先求出AE，再求出加'即可.

lMS/\BDtL2jGj\yAD'~-LJ2

解：如图，连接BE.

•.•四边形XBCD是矩形,

:.AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=90°,

在RtAADE中，AE=JAD?+DE?=行+俨=而,

'''^AABE=2S矩形ABCD=3=/•AE-BF,

,3a

..Dr-----.

5

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型.

9.（3分）如图，在口ABCD中，ZABC.NBCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、

F,BE与CF相交于点G,若AB=6,3c=10,CF=4,则应;的长为（）

AED

BC

A.4A/2B.8C.872D.10

【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得NABC+N3CD=180。，再根据角平分线的

性质可得NESC+NFCB=90。，可得3£_LCF；过A作AM//尸C,交BC于M,交BE于

O,证明AABE是等腰三角形，进而得到50=R9,再利用勾股定理计算出的长，进而

可得答案.

解：•・・四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD,

ZABC+ZBCD=180。，

・・・N/WC、N3CD的平分线BE、CF分别与4）相交于点石、F,

ZEBC+ZFCB=-ZABC+-ZDCB=90°,

22

:.EB工FC,

,\ZFGB=90°.

过A作AM//FC,交3c于M,交BE于O,如图所示：

­.•AM//FC,

.\ZAOB=ZFGB=90°,

・.・BE平分ZABC,

:.ZABE=ZEBC,

:ADIIBC,

,\ZAEB=ZCBE,

:.ZABE=ZAEB,

AB=AE=6,

\AO.LBE,

BO—EO9

在AAO£和AMO5中，

ZAEO=ZMBO

<EO=BO,

ZAOE=/MOB

NAOE=AMOB(ASA),

;.AO=MO,

-.•AFI/CM,AM//FC,

：.四边形AMCF是平行四边形,

,-.AM=FC=4,

:.AO^2,

EO=-JAE2-AO2=762-22=472,

BE=872.

【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

定和性质以及勾股定理；证明AO=MO,=是解决问题的关键.

10.(3分)如图二次函数y=a?+bx+c的图象经过点A(2,0),3(6,0),下列说法正确的是

)

C.c<0D.对称轴是直线龙=4

【分析】根据抛物线与x轴的交点即可判断A;由x=-2时，y>0,即可判断3；抛物线

与y轴的交点即可判断C,根据对称性求得对称轴即可判断D.

解：A、•.•抛物线与x轴有两个交点，

.'.Z?2-4ac>0,故错误；

B、当x=-2时，y=4a-2b+c>0,故错误；

C、抛物线交y轴的正半轴，则c>0,故错误；

；次函数y=o?+6x+c的图象经过点A（2,0）,B（6,0）,

.•.抛物线的对称轴为直线x=*=4,故正确；

2

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，

数形结合是解题的关键.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11.（4分）计算：sin450-cos60°=—―.

—2—

【分析】把45。的正弦值、60。的余弦值代入原式，计算即可.

解：sin450-cos60°

_V21

2

_A/2-1

—,

2

故叵土

2

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.（4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=-9的图象过点4（-3,%）,B（-5,y2）,

X

贝!!％—>—%（填〉、<或=）.

【分析】将点A,点5坐标代入解析式可求力,必，即可求解.

解：•.•反比例函数y=-»的图象过点A（-3，M）,8（-5,为），

x

5,

%=1，

故〉.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足图象解析式

是本题的关键.

13.（4分）小明的身高为1.7米，某一时刻小时的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵

树的影长为7米，则这棵树的高为11.9米.

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶

部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

解：设这棵树的高度为无沉，

据相同时刻的物高与影长成比例，

则可列比例为〃■=土，

17

解得，X=U.9.

故11.9.

【点评】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，利用在同一时刻的两个问题物体，影

子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答是关键.

14.（4分）“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题.“今有圆材，

埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达

是：如图所示，CD为OO的直径，弦AB_LCD,垂足为E,CE=1寸，=1尺，则直径

【分析】连接。4,设。4=厂，贝=CE=r-1,再根据垂径定理求出AE的长，在

RtAOAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论.

解：连接。4,设。1=r，则OE=厂一CE=r—l,

.AB^CD,AB=1尺，

二=5寸，

2

在RtAOAE中，

OA2=AE2+OE2,即/=5z+（厂一1）2,

解得r=13（寸）.

，CD=2r=26寸.

故26.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

三、解答题(本大题共6个小题，共54分)

15.(12分)(1)计算(G-2)°-2sin30。-岳+|1-G|；

(2)解方程：2X2+3X-5=0.

【分析】(1)根据零指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质计算,

得到答案；

(2)利用因式分解法解出一元二次方程.

解：(1)原式=l—2xg—3退+退一1=一2退一1；

(2)2f+3尤-5=0,

(x-l)(2x+5)=0,

贝。x—l=0或2x+5=0,

解得，玉=1,x?=——•

【点评】本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握零指数幕、二次根式的化简、

特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.

16.(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与相交于点O,4W=60。，AC=12,

求菱形对角线的长.

【分析】根据菱形性质和44。=60。可得A4BD是等边三角形，根据AC=12,利用勾股

定理即可求菱形对角线的长.

解：在菱形ABCD中,

■.■AC^12,

OA=OC=6,

\'ZBAD=6O°,AB=AD,

.•.AABD是等边三角形，

:.BD=AB=2OB,

-.BD±AC,

:.ZAOB=9Q°，

在RtAAOB中，根据勾股定理，得

AB2-BO2=AO2,

3BO2=36,

解得80=26（负值舍去），

BD=2.BO=40.

答：菱形对角线比＞的长为4班.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的

性质.

17.（8分）如图，线段AC、SD表示两建筑物的高，ACrCD,BDLCD,垂足分别为C、

D,从3点测得A点的仰角为30。，从3点测得C点的俯角为45。，已知8D=69米，求两

建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高.（结果保留根号）

□

□

□

□

□

□

□

C

【分析】作3E_LAC,知CE=B£>=69米，由NCBE=45。矢口CE=3E=CD=69米，根据

AE=8E-tanZA8E=23百米，得AC=AE+CE=69+23g（米），从而得出答案.

解：如图，过点3作比，AC于点E,

A

则虑=跳＞=69米，

在RtABCE中，•;NCBE=45。,

:.CE=BE=69米,

.•.CD-69米，

在RtAABE中，■.■ZABE=3Q°,tanZABE=—,

BE

.-.A£=BE-tanZAB£=69xtan30o=69x^=23^（米），

AC=AE+CE=69+23y/3（米），

答：两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23/）米.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生借助俯角关系构造直

角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

18.（8分）中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一

撮人就可以走了，和红绿灯无关”，针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人,

得出形成这种现象的四个基本原因：①马路红灯时间长，交通管理混乱占2%；②侥幸心态,

只图自己节省时间；③对行人闯红灯违规行为惩罚措施不够严厉占8%；④从众心理.该记

者将这次调查情况整理并绘制了如图尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题.

（1）该记者本次一共调查了100名行人;

（2）求图1中②所在扇形的圆心角度数，并补全图2；

（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率.

【分析】（1）用原因①的人数除以其对应的百分比即可；

（2）用360。乘以原因②人数所占比例，用总人数乘以原因③对应的百分比求出其人数，再

根据四种原因的人数之和等于总人数求出原因④的人数，从而补全图形；

（3）用原因④的人数除以被调查的总人数即可.

解：（1）该记者本次一共调查行人2+2%=100（名），

故100；

（2）图1中②所在扇形的圆心角度数为360。X至=198。，

100

原因③对应人数为100x8%=8（名），原因④对应人数为100-（2+55+8）=35（名），

（3）这名行人属于第④种情况的概率为亘=2.

10020

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小，也考查了概率公式的应用.

19.（10分）如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=&（左为常数且左片0）的图象

X

交于A（-2,a）,B两点,与x轴交于点C.

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）若点P在x轴上，且=1sAs求点夕的坐标.

【分析】（1）利用点人在》=-尤+5上求。，进而代入反比例函数y=&求鼠

X

（2）联立方程求出交点，设出点尸坐标表示三角形面积，求出尸点坐标.

解：（1）把点A（-2,a）代入y=x+5,得。=3,

A(-2,3)

把A(-2,3)代入反比例函数y=幺，

X

k-—6,

.•.反比例函数的表达式为y=--；

X

y=x+5r2fx=-3

(2)联立两个函数的表达式得6，解得或.

y=——[y=31y=2

I%

.•.点3的坐标为5(-3,2),

当y=x+5=0时，得x=-5,

.•.点C(-5,0),

设点P的坐标为(羽0),

_5

3AAe尸二万，

/.—x3-|x+5|=—x—x5x2

222?

班汨4010

角牛倚石=——,x?—,

点尸（一三，0）或（g，0）.

【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立

方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达.

20.（10分）如图1,在AABC中，AB=AC,QO是AABC的外接圆，过C作CD//AB,

8交。O于。，连接4）交BC于点E,延长DC至点/，使CF=AC,连接AF.

（1）求证：AF是OO的切线；

⑵求证：AB1-BE1=BEEC■,

（3）如图2,若点6是儿48的内心，BCBE=64,求3G的长.

图1图2

【分析】(1)连接。4,由NC4F=NCE4知NACD=NC4F+NCE4=2NC4F,结合

ZACB=ZBCD得ZACD=2ZACB,NC4F=NACB,据此可知AF/ABC,从而得OA_LAF,

从而得证；

(2)证明AABESACB4,列比例式可得结论；

(3)由(2)知据此知AB=8,连接AG,得Nfl4G=44D+ND4G,

ZBGA=ZGAC+ZACB,由点G为内心知N/MG=NG4C,结合

ZBAD+ZDAG=ZG4C+ZACB得ZBAG=NBGA,从而得出3G=AB=8.

解：（1）如图1,连接。4,

B

图1

・.・AB=AC,

AB=AC,ZACB=ZB,

:.OA±BC,

•・・C4=CF，

,\ZCAF=ZCFA,

­.CD//AB,

:.NBCD=/B,

:.ZACB=ZBCD,

,\ZACD=ZCAF-i-ZCFA=2ZCAF,

・.・ZACB=ZBCD,

.\ZACD=2ZACB,

:.ZCAF=ZACB,

-.AF//BC,

:.OA,LAF,

.•.AF为OO的切线；

(2)•・・ZBAD=ZBCD=ZACB,ZB=ZB,

.•.AABESACBA,

.ABBE

~BC~~AB"

AB2=BCBE=BE(BE+CE)=BE2+BECE,

:.AB2-BE2=BEEC；

(3)由(2)知：AB1=BCBE,

・.・BCBE=64,

AB=8,

如图2,连接AG,

图2

.-.ZBAG^ZBAD+ZDAG,ZBGA=Z.GAC+ZACB,

•.•点G为内心，

:.ZDAG=ZGAC,

又：440+/043=/64。+/4的ZBAD=ZACB,

:.ZBAG=ZBGA,

：.BG=AB=8.

【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行线的性质，垂径定理，三角形内心的

性质，圆心角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点.

一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）

21.（4分）已知二次函数y=f+x+a的图象与x轴交于0）8（%，0）两点，且

上+1y=3,则。的值为--1一.

4必

【分析】有韦达定理得%+%,=-1，石・羽=。，将式±+二=3化简代入即可.

%x2

解：丁=%2+兀+〃的图象与％轴交于，0）、B（X2,0）两点，

/.玉+/=-1，x1-x2=a,

112（%+工2）2—2XJ%2（—l）?—2a

2

玉2X2（玉/A（玉马）？"

/.a=-1或a=!；

3

=1—4a>0,

1

a<一，

4

a=-1,

故答案为-1.

【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的

关键.

22.（4分）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体,

从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为--

一8一

【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案.

解：由题意可得：小立方体一共有64个，恰有三个面涂有红色的有8个，

故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为且=1，

648

故L

8

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有红色小立方体的个数是解题

关键.

23.（4分）如图，已知0。的半径为6,R4是OO的一条切线，切点为A,连接尸。并延

长，交OO于点3,过点A作交于点C,交PB于点D.当々=30。时，弦AC

的长为_6否

【分析】由切线的性质，得出三角形外。是直角三角形，再根据垂径定理得出4)=8,

ZQ4D=ZP=30°,在直角三角形。4£>中，求出4),进而求出AC即可.

解：连接。4,

•.•E4与OO相切于点A,

:.OA±PA,

:.ZOAD+ZPAD=90°,

又•.•AC_LP3,

:.AD^CD,ZP+ZPAD^90°,

:.ZOAD=ZP=30°,

在RtAAOD中，ZOAD=30°,04=6,

A£>=OA-cos30°=3A/3=-AC,

2

AC=6A/3,

故6代.

【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，解直角三角形，掌握切线的性质，垂径定理和直

角三角形的边角关系是得出答案的前提.

24.(4分)如图，在平面直角坐标系中，M、N、。三点的坐标分别为(；，1),(3,1),(3,0),

点A为线段上的一个动点，连接AC,过点A作ABJ_AC交y轴于点3,当点A从阳

运动到N时，点3随之运动.设点3的坐标为(0,6),则。的最小值为

—4—

【分析】延长NM交y轴于尸点，则轴.连接QV.证明AE4Bs&VC4,得出

一二一,设a=%，则N4=RV—R4=3—%，设尸5=y,代入整理得至（］

NANC

丁=3%-%2=一（％一3）2+2,根据二次函数的性质以及工效Ik3,求出y的最大与最小值，进

243

而求出b的取值范围.

解：如图，延长交y轴于尸点，则MNLy轴.连接。V.

在AR4B与2WC4中，ZAPB=ZCMA=90°,ZPAB=ZNCA=900-ZCAN,

..APAB^ANCA,

,PBPA

一~NA~^C'

设以=无，则附=/W—必=3—冗，设PB=y,

••------——9

3-x1

391

22

.•.y=3.r-x=-(x--)+-(->3),

■,--l<o,-M3,

3

.•.尤=3时，》有最大值？，此时匕=i一2=一9,

2444

x=3时，y有最小值0,此时6=1,

."的取值范围是-9张必1.

4

的最小值是-9.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解

析式是解题的关键.

25.（4分）如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接将A4DE沿AE翻

折至AA£F，连接防并延长跳1交短延长线于点尸，当尸尸=受8F时，"=A/2-I.

2CD~~

D

一

【分析】如图，过点A作人M_LBP于M,过点、E作EN工BP于N.首先证明AAMP是等

腰直角三角形，设所=2〃，贝1」2尸=^5尸=缶，BM=MF=a,利用相似三角形的性

2

质求出FN:EN=1+也,再想办法求出RV（用a表示），即可解决问题.

解：如图，过点A作4M_LKP于M,过点石作印_L族于N.

•・•四边形ABCD是正方形，

:.AD=AB,ZBAD=90°,

由翻折的性质可知，AD=AF,ZDAE=ZEAF,

:.AB=AF,

・.・AM_LBF,

:.BM=FM,ZBAM=ZFAM,

ZPAM=ZPAF+ZFAM=-ZBAD=45°,

2

・・・NAMP=90。，

.\ZP=ZPAM=45°f

:.AM=MP，

设BF=2a,则PF=JBF=W,BM=MF=a,

2

AM=PM=FM+PF=a+y[ia,

\ZAMF=ZAFE=ZENF=90°,

/.ZAFM+ZEFN=90°,ZEFN+ZFEN=90°,

...ZAFM=ZFEN,

..AAMF^AFNE,

.AMFNa+y[ia।

**FM~EN~a~'

设EN=PN=x,则EN=（1+伪x,

/.（1+6）x+x=y/2a,

x=（y/2-l）a,

:.EN=（yf2-I）x,

,EF=EN=（&q],

"AF---a—一―’

-,CD=AD=AF,DE=EF,

，上31.

CD

故点-1.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的

关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤）

26.（8分）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满，装修后，市场

调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，假设日

租金提高x元.

（1）直接写出装修后日出租房间数y与x的关系式；

（2）不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最

高？比装修前日租金的总收入增加多少元？

【分析】（1）根据装修后，市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房

每天出租数会减少6间，可以得到装修后日出租房间数y与x的关系式；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到客房日租金的总收入与无的函数关系式，

然后根据二次函数的性质，可以求得旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金

的总收入最高，比装修前日租金的总收入增加多少元.

解：（1）由题意可得，

x3

y=120——x6=一一x+120,

105

即装修后日出租房间数y与x的关系式是y=-|x+120;

(2)设客房日租金的总收入是w元，

33

w=(160+x)(--x+120)=--(%-20)2+19440，

.•.当x=20时，.取得最大值，止匕时vv=19440,160+x=180,

，比装修前日租金的总收入增加：19440—160x120=19440—19200=240(元)，

答：旅馆将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，比装修前日租金

的总收入增加240元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数，利

用二次函数的性质解答.

27.(10分)已知在菱形ABCD中，ZB4D=120°,点E为射线BC上的一个动点，AE与

边CD交于点G.

(1)如图1,连接对角线5。交短于点连接CF,若A/2=CG.CD,试求NCFE的

度数；

(2)如图2,点P为AE上一点，S.ZADF=ZAED,若菱形的边长为2,则当时，

求ACFE的面积；

(3)如图3,当点E在射线3c上运动时，试求匹的最小值.

AE

【分析】(1)如图1,证明=,^AF=CF,再证明AFCGsADCF,根

据相似三角形的性质可得NCFE=NFDC=30。；

(2)如图2,过点F作儿W_L8C于N,交AD于根据直角三角形30。角的性质得：

CE=1,根据勾股定理计算DE和AE1的长，证明列比例式可得A尸和所的

长，证明AAfiVfsAERv,得/W的长，根据三角形的面积公式可得结论；

(3)如图3,过点E作EHLCD于H,过点A作㈤V_L3C于N,设菱形ABCD的边长为a,

CE=x,分别计算AS?和。炉，变形后可得当。一时，上丝有最小值.

AE

CG~AF9

，・四边形ABCD是菱形，

,.AB=BC,ZABD=NCBD,

.BF=BF,

•.AABF=ACBF(SAS),

\AF=CF,

CFCD

节-ZF'

.ZFCG=ZFCG,

•.AFCG^ADCF,

•.NCFE=NFDC,

.AB//CD,

\ZBAD+ZADC=180。，

-ZBAD=120°,

\ZADC=6Q°,

，・四边形ABCD是菱形，

•.ZFDC=-ZADC=30°,

2

\ZCFE=30°；

(2)如图2,过点尸作肱V_L5C于N,交AO于M,

.♦AD//BC,

.\MN±AD,

RtADCE中，ZDCE=180°-120°=60°,

M

D

B

图2

...NCDE=30。，

・・・CD=2,

.\CE=1,DE=[*-f=6,

RtAADE中，AE=dAD2+DE?=百+(回="

\-ZADF=ZAEDfZFAD=ZFAD,

:.ZAFD^ADE,

ADAF日口2AF

AEAD币2

4Z74