2023版 大一轮 数学 人教A版 新教材（京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙）第9节 离散型随机变量的均值与方差

第9节离散型随机变量的均值与方差

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量x的分布列为

・・・・・・

Xx\X2XiXn

・・・・♦・

Ppi〃2PiPn

⑴均值

则称E(X)=xim+尤2〃2~1卜—做为随机变量X的均值或数学期望,

数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它

综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的生均丞壬.

(2)方差

D(X)=(xi—£(X))2p\+(X2—E(X))2p2H-----F。八-E(X))2p”=g(x/—E(X))2/?I

为随机变量X的方差,有时也记为VariX),并称MD(X)为随机变量X的标准

差，记为(y(X).

2.均值与方差的性质

(UE(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+h)=a2D(X)(a,b为常数).

3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)=0D(X)=p(l-pl

(2)若X〜伏〃，p),则E(X)=也，D(X)=np(l-p\

•—常用结论与微点提醒一

1.若x,y相互独立，则E(xy)=E(x)・E(y).

2.均值与方差的关系：D(X)=E(X2)~E2(X).

17M

3.超几何分布的均值：若X服从参数为MM,〃的超几何分布，则E(X)=R=

np.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()

⑶随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差

或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回

事.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散

型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不

正确.

，教材衍化

2.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

X01234

pq0.40.10.20.2

若离散型随机变量丫满足y=2x+i,则下列结果正确的有()

A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4

C.£(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2

答案ACD

解析因为(7+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确；

又E(X)=0X0.1+lX0.4+2X0.1+3X02+4X0.2=2,

D(X)=(0-2)2X0.1+(l-2)2X0.4+(2-2)2X0.1+(3-2)2X0.2+(4-2)2X0.2=

1.8,故C正确；

因为Y=2X+1,所以E(r)=2E(X)+l=5,

O(y)=4O(X)=7.2,故D正确.故选ACD.

3.若随机变量X满足尸(X=c)=l,其中c为常数，则。(X)的值为.

答案0

解析VP(X=c)=l,/.E(X)=cXl=c,

.*.Z)(X)=(c-c)2Xl=0.

►•考题体验

4.(2021.武汉模拟)某射手射击所得环数4的分布列如下表:

078910

PX0.10.3y

已知j的数学期望反。=8.9,则y的值为()

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

答案C

解析由题中表格可知x+0.1+0.3+y=l,7^+8X0.1+9X0.3+10y=8.9,解

得y=0.4.故选C.

5.(2018•全国III卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的

支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=

2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

答案B

解析由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，

所以D(X)=10p(l—p)=2.4,所以p=0.6或p=0.4.

由尸(X=4)<P(X=6),得Cfo/74(1-p)6<C%〃6(i-py,

即(l—p)2<p2,所以p>0.5,所以p=0.6.

6.(2020.全国III卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为0,p2,

P3,0,且玄pi=l,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()

A.pi=p4=0.1,p2=p3=0.4

B.pi=p4=0.4,/72=/?3=0.1

C.pi=p4=0.2,/72=p3=0.3

D.pi=p4=0.3,/72=p3=0.2

答案B

解析X的可能取值为1,2,3,4,四种情形的数学期望E(X)=lXpi+2Xp2

+3Xp3+4Xp4都为2.5,

2122

方差D(X)=[l-E(X)]Xpi+[2-E(X)]Xp2+[3-E(X)]Xpi+[4-E(X)]Xp4,

标准差为、。(X).

A选项的方差D(X)=0.65；B选项的方差D(X)=1.85；C选项的方差Z)(X)=1.05；

D选项的方差。(X)=1.45.

可知选项B的情形对应样本的标准差最大.故选B.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一离散型随机变量的均值与方差师生共研

【例1】(2020.郑州二检)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，对全市范

围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统

计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).

(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩

在(62,90］内的概率.

(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：

50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.

从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.

参考数据：若Y〜NQi,，)，则尸(〃一c<YW。)=0.6827,P(^-2a<Y^+

2。)=0.9545,。(//一3。<丫或〃+3。)p0.9973.

解(1)因为这些小学生的普通话测试成绩，服从正态分布M69,49),所以〃=

69,0=7.

,0.6827+0.9973

所以P(62<7W90)=P(//—<7<7W"+3rr)^=0.84.

(2)因为总体平均分〃=69,所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，

可知X的所有可能取值为0,1,2,3,

C814C4C828C3C&12del

则尸(X=0)=^=豆，尸5=1)=京=不，P(X=2)=京=下，P(X=3)=后

1

=55"

14OR171

所以数学期望E(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=1,

JJJJJJJJ

方差£>(X)=(0—l)2x||+(l—l)2x||+(2—l)2x||+(3-1>><表=$

感悟升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能

值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.

⑵注意E(aX+b)=aE(X)+b,O(aX+加=a2D(X)的应用.

【训练1】2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：

在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外

完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要

将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表

演1个节目，摸到黑球不用表演节目.

(1)求。同学摸球三次后停止摸球的概率；

(2)记X为。同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

解(1)设同学摸球三次后停止摸球”为事件E，

A?11

则尸(£)=应=故。同学摸球三次后停止摸球的概率为:.

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

P（X=0）=a，P（X=D=储-=%，P（X=2）=储'

1A51

6P（X=4）=^="

所以随机变量X的分布列为

考点二二项分布的均值与方差师生共研

【例2】(2020•东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的

一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.

⑴求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在［6.5,7.5)(时)内的频率;

(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中

间值作代表)；

⑶以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和

在［4.5,6.5)(时)内的周数为X,求X的分布列以及数学期望.

解(1)依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在［6.5,7.5)(时)

内的频率为1—0.03—0.1—0.2—0.19—0.09—0.04=0.35.

(2)所求平均数为x=4X0.03+5X0.1+6X0.2+7X0.35+8X0.19+9X0.09+

10X0.04=7(时).

(3)依题意，X〜8(4,甫.

怨=。)=制=恩？

P(X=D=C1X各阖3=墨,

稣=2)=&X(需X闱之=勰,

37_189

X10-2500,

P(X=4)=阖〜岛.

故X的分布列为

X01234

24011029132318981

P

1000025005000250010000

240L,1029,1323+3,端+Q温6

故E(X0X1X2X

)=u10000十2500十/5000005

=

(X)=4Xm5)-

感悟升华二项分布的均值与方差.

(1)如果乂~5(〃，〃)，则用公式£>(X)=〃p(l—p)求解，可大大减少计算

量.

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从

二项分布，这时，可以综合应用E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=〃p求出E(aX

+份，同样还可求出£>(aX+/?).

【训练2】一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则。(X)=.

答案1.96

解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p=0.02,n=100,则。(X)=

np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

考点三均值与方差在决策问题中的应用师生共研

【例3】(2021.重庆联考)某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放

学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习

室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高

一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下

2X2列联表:

非优良优良总计

未设立自习室251540

设立自习室103040

总计354580

(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有

效？

(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该

班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为匕求X与丫的均

值并比较大小，请解释所得结论的实际含义.

下面的临界值表供参考：

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

人“八j〃(ad-be)2_,

(参考公式：弋=(“+〃)(,,+,/)(“+c)(b+d)'其中〃=“+b+c+a)

解(1)零假设为法：设立自习室对提高学生成绩无效,

80(25X30—15X10)2

一%11.43>7.879=XO.OO5

40X40X35X45

根据小概率值a=0.005的12独立性检验，我们推断“0不成立，所以能在犯错的

概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.

（2）X的所有可能取值为0,1,2,

贝U"=。）=||=卷，

a5c卜25

P(X=1)=

C?o一52'

尸«=2）=鲁=专，

X012

5257

P135252

所以印0=0*看+1x||+2XW

丫的所有可能取值为o,1,2,

则尸（丫=。）=骞专，

「『2）一客一2

Y012

3529

P521352

所以E（y）=0X专+1X卷+2*||=/

即E（X）＜E（r）,其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习

室对提高学生成绩有效.

感悟升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变

量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于

方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

【训练3］某投资公司在2022年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,

现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也

72

可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为楙和1

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能

损失30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为:，:和直.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解若按“项目一”投资，设获利为Xi万元，必的所有可能取值为300,-150.

则Xi的分布列为

Xi300-150

72

P99

72

，E(Xi)=300X§+(—150)X§=200(万元).

若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500,-300,0.则

X2的分布列为：

Xi500-3000

11

P315

3]1

二E(%2)=500X-+(-300)Xg+0X石=200(万元).

7?

D(Xi)=(300-200)2X§+(—150—200)2X§=35000,

311

0(X2)=(500-200)2X-+(-300-200)2义y+(0—200)2X记=140000.

所以E(Xi)=E(X2),D(XI)<D(X2),

这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X123

331

P5ToTo

则X的数学期望风X)=()

35

A，2B.2C，2D.3

答案A

解析由数学期望公式可得

3313

E(X)=1X-+2X—+3X-JQ=2，

2.随机变量X的分布列如下表，且£(%)=2,则O(2X—3)=()

X02a

11

P6P3

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为；?=］一、W，

ro3Z

所以£(X)=0x1+2x|+ax|=2,

解得。=3,

所以D(X)=(O—2)2xt+(2—2)2x3+(3—2)2xg=l,所以O(2X—3)=22。(％)=4,

故选C.

3.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和〃(nWN*)个黑球.现从中有放回

的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X,若0(田=1,则E(X)

=()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析由题意，X〜3(4,p),•••D(X)=4p(l-p)=l,

.,.p=T，E(X)=4p=4xg=2.

4.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4,从

中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)=()

A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6

答案B

解析易知随机变量X的取值为0,1,2,

由古典概型的概率计算公式得P(X=O)=萋=0.6,P(X=1)=詈=0.3,P(X

=2)=表=0.1.

所以E(X)=0X0.6+lX0.3+2X0.1=0.5,故选B.

5.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，

每次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的

次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差。(X)=()

23

A.2B.1C?D・a

答案c

21

解析每次取球时，取到红球的概率为紧黑球的概率为t所以取出红球的概率

服从二项分布，即X〜8(3,|),所以二(X)=3x|x0一|)=|,故选C.

6.(多选题)(2021.青岛质检)设随机变量的分布列为PC=6=3(A=1，2,

KI1

5),EQO©分别为随机变量。的均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(O<<f<3.5)=|B.E(3<f+1)=7

C.O©=2D.0(3。+1)=6

答案ABC

解析因为随机变量4的分布列为「(。=幻=母■(Z=l,2,5),由分布列的性质

可知，P(c=1)4-P(<f=2)+P(^=5)=^+1+|=1,解得a=l,P(0<<f<3.5)=

P(0=l)+P(0=2)=点，A选项正确；

E(^)=ix1+2x|+5x1=2,即有£(3^+l)=3E(J+l=3X2+l=7,B选项正

确；

O©=gx(l—2)2+；X(2—2)2+\x(5—2)2=2,C选项正确；

。(3。+1)=9*。©=18,D选项不正确.

二'填空题

7.已知随机变量4的分布列为

q123

P0.5Xy

若E《)=蔡,则。(。=

55

答案64

解析由分布列性质，得x+y=0.5.

1511卜=土

又£■©="得2x+3尸号，可得j3

b=8-

c22

O©=(1—8X打(2—Sx|+|^3-y)x|=||.

8.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如

果失败，一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施

结果：

投资成功投资失败

192例8例

则估计该公司一年后可获收益的均值是元.

答案4760

解析由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96,获利一25000元的概率为

0.04,故一年后收益的均值是6000X0.96+(-25000)X0.04=4760(7G).

9.(2020.浙江卷)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随

机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数

为(5则尸(。=0)=，E《)=.

答案|1

解析4=0表示停止取球时没有取到黄球，所以Pe=0)=(+(xg=g.

、21211121

随机变量。的所有可能取值为0,1,2,则P(4=1)=ZXQ+ZXQX5+£XQX5=

12111212112111

3)P^=2)=4X3X2+4X3X2+4X3X2+4><3X2=?

所以£,(C)=Ox1+lx1+2x1=l.

三'解答题

10.(2021.长沙模拟)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方

图如图所示，成绩分组区间为[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,

130),[130,140),[140,150],其中a,b,c成等差数列且c=2a.物理成绩统计

如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)

分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

频数6920105

(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；

(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；

⑶若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已

知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X

为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.

解(1)由a+Z?+2c=0.052,a+c=2b,c=2a,解得«=0.008,Z?=0.012,c=

0.016,

故数学成绩的平均分为x=85X0.04+95X0.12+105X0.16+115X0.2+

125X0.24+135X0.16+145X0.08=117.8(分).

(2)由题表知，物理成绩的中位数约为75分.

(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的同学有5人，因为至

少有一个“优”的同学总数为6人，故两科均为“优”的人数为3,故X的取值

为0,1,2,3.

1C1C49

p(x=o)=a/，P(X=1)=B=赤

C支49Cl1

P(X=2)=p-j,P(X=3)=/药

故X的分布列为

X0123

1991

p20202020

1991

E(X)=OXTT+1XZT+2X—+3XZT7=1.5.

11.(2020•安徽江南十校质量检测谋企业打算处理一批产品，这些产品每箱100

件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或

者20%,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,

废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正

品的价格期望作为决策依据.

(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；

(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.

①若此箱出现的废品率为20%,记抽到的废品数为X,求X的分布列和数学期望；

②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买.

解(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100X(1—

0.2)X100X0.5+100X(1-0.1)X100X0.5=8500,

•••8500>8400,...在不开箱检验的情况下，可以购买.

(2)①X的可能取值为O1,2,

P(X=0)=◎X0.2°X0.82=0.64,

P(X=l)=CiX0.2'X0.8l=0.32,

P(X=2)=C3X0.22X0.8°=0.04,

.•.X的分布列为

X012

P0.640.320.04

E(X)=0X0.64+1X0.32+2X0.04=0.4.

②设事件4发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品,

则P(4)=CiX0.2X0.8X0.5+CiX0.1X0.9X0.5=0.25,

一箱产品中，设正品的价格期望为〃元，

则77=8000,9000,

设事件B：抽取废品率为20%的一箱，

则尸(〃=8000)=P(Bi|4)

PCABOCiX0.2X0.8X0.5

=。(A)=025EM

设事件&:抽取废品率为10%的一箱，

则P(〃=9000)=P(&|A)

P(4及)CiX0.1X0.9X0.5

=P(A)=025=036，

，E(tj)=8000X0.64+9000X0.36=8360,

V8360<8400,

•••已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买.

B级能力提升

12.(多选题X2021.济南模拟)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，

特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂

提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套

餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可

能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第〃天选择米饭套

餐的概率为P”，则以下论述正确的是()

A.小明同学第二天一定选择面食套餐

B.“3=0.68

C.p〃=0.2p〃i+0.8(1—p”1)(〃22,〃£N)

D.前几天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为得一符一|■丫

Z1。1O\J7

答案BCD

解析在A中，第1天小明选择了米坂套餐，则小明第二天有80%的可能选择

面食套餐，故A错误；

在B中，；第1天小明选择了米板套餐，.•.「3=0.8X0.8+0.2X0.2=0.68,故B

正确；

在C中，•.•小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类

型的套餐，假如第1天小明选择了米坂套餐，第〃天选择米板套餐的概率为P”,

.•.P"=0.2p“—1+0.8(1—p”-D(〃22,〃GN),故C正确；

在D中，当〃=1时，前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为

25,2525(3)1

15=Txl+i6-i6xr5j-

当〃=2时，前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为

252525(3、2

x

15+15X0.2+10X0.8=-2r2+Tlo7—1TO7X\—3TJ'.

当〃=3时，前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为

252525(3)3

15+15X0.2+10X0.8+15X0.68+10X0.32=V2X3+-71oT-717oX\.

由此猜想前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为年25〃+2黄5一2艺5，一3之、〃，故D

2lo1O\J)

正确.

13.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为X,则数

学期望E(X)=,方差。(㈤的最大值为.

答案P；

解析记事件A发生的次数X可能的值为0,1.

数学期望E(X)=0X(l-p)+lXp=p,

方差D(X)=(0-p)2X(1-p)+(1-p)2Xp

=p(l