广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高一下学期期中教学质量监测数学试题

2023-2024学年度第二学期期中教学质量监测高一级数学科试题温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A． B． C．8 D．3.在△ABC中，已知，则角A等于（）A．150° B．120° C．60° D．30°4.已知，，则“”是“向量与共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5.下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（）A． B．C． D．6.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区，假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（）（参考数据：取，）A．10 B．9 C．8 D．77.正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A． B． C． D．8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程（）恰有4个不相等的实数根，则实数m的值是（）A． B． C．0 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为 B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限C．z的共轭复数 D．10.在平面直角坐标系中，已知点，，，则（）A．B．△AOB是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或11.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则△ABC是锐角三角形C．若，则△ABC是等腰三角形D．若，，则△ABC面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为.13.已知，则的最小值是.14.已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在△ABC中，，，，D是边BC上一点，，设，.（1）试用，表示；（2）求的值.16.（本题满分15分）已知向量，，设函数（1）求的最小正周期；（2）将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数的单调增区间.17.（本题满分15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.（1）求A；（2）若，求的取值范围.18.（本题满分17分）已知函数.（1）用定义法证明函数在上单调递增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集。19.（本题满分17分）已知函数，（）.（1）若的最小值为，求实数a的值；（2）当时，若，，都有成立，求实数m的取值范围.

2023-2024学年度第二学期期中教学质量监测高一级数学科试题参考答案选择题题号1234567891011答案BDCAAACDBDABDAD三、填空题12．3∶1∶2 13．6 14．详解：1.【详解】因为，因此，.故选：B2.【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，；所以原图形的面积为．故选：D3.【详解】因为，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故选：C．4.【详解】若向量与同向共线，由，，可得；若向量与反向共线，由，，可得；所以由“向量与共线”不能推出“”；若，，，则，所以，所以，因为向量与夹角为，所以，即“向量与共线；所以由“”能推出“向量与共线”；因此，“”是“向量与共线”的充分而不必要条件.故选：A．5.【详解】A．因为，则，由，得，，所以单调递增，故正确；B．，则，由，得，，所以不单调，故错误；C．，其图象如图所示：，由图象知：，由，得，，因为不单调，故错误；D．，其图象如图所示：，由图象知：，由，得，，因为不单调，故错误；故选：A6.【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x年该种植区的脐橙产量为，由题意得，得到，又因为所以，故至少需要经过的年数为10.故选：A7.【详解】由题意，面积最小的截面是以AB为直径的截面，将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设，则正方体棱长为，故，可求得，进而截面面积的最小值为．故选：C8．【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：作，图像如下图所示，关于x的方程（），解得或，由于与，图像有一个公共点，则图像与图像有三个公共点，如图所示，，同理，时，，所以实数m的值是.故选：D9.【详解】，则z的虚部为2，A错误；复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B正确；z的共轭复数，C错误；，D正确.故选：BD．10.【详解】因为，所以，A正确因为，，所以，所以，即△OAB为直角三角形，B正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量为，C错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，故选：ABD．11.【详解】对于选项A，已知，则，则，即，即选项A正确；对于选项B，由正弦定理得：，则，即A为锐角，则△ABC不一定是锐角三角形，即选项B错误；对于选项C，已知若，则，即，即，则，展开整理得，又，，则或，则△ABC直角三角形或等腰三角形，即选项C不正确；对于选项D，已知，，则，即，即，当且仅当时取等号，即，则△ABC面积的最大值为，即选项D正确．故选：AD．12.【详解】∵，，∴故答案为：3∶1∶2.13.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值是6.故答案为：6.14.【详解】函数的定义域为，，故函数为偶函数，且当时，，因为函数、均为上的减函数，故函数在上为减函数，由得，则，即，即，解得且.故不等式成立的实数t的取值范围是.故答案为：.四、解答题15.【小问1详解】∵D是边BC上一点，，∴，又∵，，得，∴．【小问2详解】∵，，，∴，16.【小问1详解】解：由向量，，可得所以函数的最小正周期为.【小问2详解】解：由（1）知所以令，，所以，.故的单调增区间为，.17.【小问1详解】由结合正弦定理可得，因为，所以，所以，即因为，所以，因为，所以；【小问2详解】由正弦定理可得，，所以，因为，所以，所以18.【小问1详解】证明：任取设，，且，则，因为，所以，，所以，所以，所以，故在上单调递增.【小问2详解】因为函数在定义域上为奇函数，则，所以．所以，即，所以，由得：，