2022-2023学年云南省曲靖市麒麟区民族中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省曲靖市麒麟区民族中学高二（下）期末数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下面是离散型随机变量的是（）

A.电灯泡的使用寿命X

B.小明射击1次，击中目标的环数X

C.测量一批电阻两端的电压，在10V〜20y之间的电压值X

D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X

2.某校食堂餐后有三种水果可供学生挑选，每名学生只能挑选其中一种，甲、乙、丙三人

每人任意挑选一种水果，则不同的选择有（）

A.3种B.6种C.9种D.27种

3.已知又是等差数列｛叫｝的前兀项和，且。2+。5+。8=30，则59=（）

A.30B.60C.90D.180

4.书架上有10本书随机排成一排，其中有2本数学书，语文和英语书共8本，从中随机取出

一本书，设取出数学书为事件4取出语文书为事件B,随机事件C与B对立.若P（4+8）=0.5,

则P（C）=（）

A.0.7B.0.8C.0.3D.0.5

5.已知函数f（%）=2s讥3%+$3>0）且满足/（当一%）=/（%-》则3的最小值为（）

A.,B.；C.1D.2

6.已知a=0.1,b=lnl.1,c=—,则a,b,c的大小关系是（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

7.已知正项数列｛即｝的前n项和为Sn，满足2Sn=即（即+1），则。2023=（）

A.2022B.2023C.2024D,2025

8.克罗狄斯・托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密

定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该

定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.己知四边形

ABCD是圆。的内接四边形，且4C=口BD，^-ADC=2/BAD.若-CD+BC-AD=47-3.

则圆。的半径为（）

A.4B.2C.<3D.2c

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X〜N(2,4),则下

列结论正确的是()

A.该正态分布的均值为2B.该正态分布的标准差为4

1

C.P(X>2)D.P(X>3)=P(X<1)

10.在等比数列中，ai+a2=i(a3+a4),则{&J的公比可能为()

A.-1B.-2C.2D.4

11.甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，

先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用A2,%分别表示甲袋

取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是()

A.A2,4两两互斥B.P(BjA1)=l

C.P(B)=1D.4与B是相互独立事件

12.观察图象，下列结论错误的有()

B.若图中为广(x)图象，则/(x)有两个极值点

C.若图中为y=(x-2)/(x)图象，则f(x)在(0,2)上单调递增

D.若图中为y=(x+2)f(x)图象，则/(x)<0的解集为卜|一2WxW2}

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，则其中女生甲当选为组长的

概率为.

14.曲线y=(x2+x)/nx+2在点(1,2)处的切线方程为.

15.(X-l)2(x+1)5的展开式中/的系数为.

16.一批小麦种子的发芽率是0.7,每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，否则需要补种,

则每穴至少种粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%.(仞3x0.48)

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,cKbcosAsinC+asinBcosC=

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，b=3,求a+c的取值范围.

18.(本小题12.0分)

若数歹我；｝是等差数列，则称数列｛a｝为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是

ann

a和c的调和中项.

⑴求软II的调和中项；

=

(2)已知调和数列｛an｝,%=6,a42,求｛an｝的通项公式.

19.(本小题12.0分)

如图，在棱长为3的正方体力BCD—AiBiGOi中，点E是棱4位上的一点，且4E=2EB「点

F是棱久A上的一点，且&尸=2FD1.

(1)求异面直线ZDi与C尸所成角的余弦值；

⑵求直线BD到平面CEF的距离.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆E的中心在原点，周长为8的AABC的顶点，4(-，与,0)为椭圆E的左焦点，顶点8,

C在E上，且边BC过E的右焦点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N,点P(m,2)(meR,m彳0),若直线PM,PN与椭圆E的

另一个交点分别为点S,T,证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

21.(本小题12.0分)

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，

为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线

调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],

(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布

直方图.

族率

W

0.05

O.(M

0.03

0.02

0.01

0246K1012141618II平均阅读时间(小时)

(1)求a的值；

(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均

阅读时间在(8,10],(10,12]两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人

中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(10,12]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=^+lnx+a-2.

(1)讨论函数"x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个零点X2＞且与＜%2，曲线y=/(x)在这两个零点处的切线的交点的

横坐标为m,证明：m＜a.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：对于4电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；

对于8,小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0,1,2,10,故X为离散型随

机变量，故8符合题意；

对于C,测量一批电阻两端的电压，在10〜/〜20〜V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X

的所有取值，

故X不是离散型随机变量，故C不符题意；

对于O,一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，

故X不是离散型随机变量，故。不符题意.

故选：B.

变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.

本题考查随机事件，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：餐后有三种水果可供学生挑选，每名学生只能挑选其中一种，甲、乙、丙三人每人

任意挑选一种水果，则不同的选择有33=27.

故选：D.

甲、乙、丙三人每人任意挑选一种水果，每人有三种选择，结合分步乘法计数原理，求解即可.

本题考查简单的计数原理，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：等差数列｛即｝中，=3诙=30,

解得=10,

所以9（3

59=巴£=9as=9x10=90.

故选：C.

根据等差数列项的性质求出。5,再利用中间项求S,

本题考查了等差数列的性质与前几项和计算问题，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由题意得：

事件4的概率为P(A)=卷=0.2,

•.,事件4与事件B互斥且P(4+B)=P(A)+P(B)=0.5,

P(B)=0.5-0.2=0.3,

•••随机事件C与B对立，

•••P(C)=1-0.3=0.7.

故选：A.

根据题意，结合互斥事件和对立事件的概率公式，能求出结果.

本题考查互斥事件和对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由已知可得函数/。)=25讥(3%+刍(3>0)且满足/(年一；0=/。一总，

J3b

即+X)，

所以f(x)关于久=，对称，

所以o>=4k+|,又3>0,

所以k=0时，3取最小值为|.

故选：A.

由S=47T/?2=12兀可得函数/(x)的图象关于x=*对称，由正弦型函数的对称性列方程求3的最小

值.

本题考查正弦函数的图象，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：©=5=署=端，

设/(x)=ln(l+x)-^(x>-1),

14v2

则f(%)=---------=7>0，

'1+x(2+X)2-(1-+-X-)-(-2-+-X)2

故/(X)在(一1,+8)上为增函数，

则f(O.l)即)1.1一詈>0,

所以仇1.1>奈故b>c；

设g(x)=Inx—x+l(x>0),则g'(x)=[-1=

当0cx<1时，g'(x)>0；当％>1时，gXx)<0,

所以函数g(无)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

则当x=1时，g(x)取最大值，

所以g(%)<g(i)=0,BPZnx<%—1,x=1时等号成立,

所以仇1.1V1.1-1=0.1,即bva,

又c=^<卷=61=0

所以a>b>c.

故选：D.

通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.

本题考查导数的综合运用，考查实数的大小比较，考查运算求解能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：2Sn=谥+而①，2Sn-i=a"+an-i(n22)②，

由①-②得2an=W-W-1+册一

W忌-1=+^n-1•

•・•an>0,an-an_i=1.

当九=1时，2sl=Q：+Qi，・,・的=1,

数列｛an｝是首项为1,公差为1的等差数列，

•••a2023=1+(2023—1)x1=2023.

故选：B.

由题意得2SnT=W_1+即_15>2),结合an>0,%=1,可得数列｛a,J是首项为1,公差为1的

等差数列，进而利用通项公式求解，即可得出答案.

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由托勒密定理，得4c=+=

因为4C=CBD，所以BD=2.

设圆。的半径为R,由正弦定理，得一%=—^=2R.

sinZi4DCs\nz.BAD

又AC=CBD，所以sinz■力DC=CsinNBAD.

因为4ADC=2^,BAD,所以2sin48AOcosNBA。=CsinNBAO，

因为0<ABAD<n,所以sin/BAD>0,所以COSNBAC=?，

所以sin/BAD=、1-cosZiBAD=则2R=,=4,故R=2.

2s\nZ.BAD

故选：B.

由托勒密定理求出BD,设圆。的半径为R,由正弦定理可得==整俞=2R，即可得到

smz/lDCs\nz.BAD

sin^ADC=Csin4BAD,再根据N4OC=2484。及二倍角公式求出coszBA。，即可求出sin4BAD,

从而得解.

本题主要考查了圆的性质，正弦定理的应用，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

由正态分布的性质逐个分析判断即可.

本题主要考查正态分布及其应用，属于基础题.

【解答】

解：因为X〜N(2,4),

所以正态分布的均值为2,标准差为2,所以4正确，B错误，

因为正态分布的均值为2,

所以由正态曲线的性质可得P(X>2)=5P(X>3)=P(X<1),所以CO正确，

故选ACD.

10.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，设等比数列｛an｝的公比为q，

右口1+g=W(。3+。4)'即的+g=+(。1+。2)'

当。1+。2=。时，9=一1，符合题意，

当a〔+a2Ho时，必有彳=1,解可得q=±2,

综合可得：q=-1或q=±2.

故选：ABC.

根据题意，设等比数列｛an｝的公比为q，由等比数列的通项公式可得由+。2=：(%+。2)，分析

可得答案.

本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：对于力，由题意知41，A2,4不能同时发生，二4，^2，4两两互斥，故4正确，

3321

--X-=-

对于B,由题意知P(4)8868

••・P(B|4)=竟?，故B正确,

33321221

4

--X---X-=

8868J86

12

•••P(B)=P(4B)+P(&B)+P(&B)=-+>+<=捺-C错误,

对于D,•••「(必乃WPQ42)P(8)，二4与2不是相互独立事件，二。错误.

故选：AB.

由互斥事件的定义判断4由条件概率的定义判断B,由全概率公式的定义判断C,由独立事件的

定义判断£>.

本题考查互斥事件、条件概率、独立事件，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：选项4若图为八为图象，则在x=-2两边单调性一致，不是极值，故A错误；

选项B：若图为「(乃图象，x6(—8,-2),f'(x)<0,函数单调递减；xe(-2,0),fCx)>0,

函数单调递增；XG(0,2),f(x)<0,函数单调递减；XG(2)+00),f(x)>0,函数单调递增；

故函数有-2,0,2三个极值点，选项3错误；

选项C：若图为y=(久—2)［。)图象，则x-2<0时，单调性相反，即xe(―8,-2),/。)>0,

函数单调递增：x€(-2,0),f(x)<0,函数单调递减；xe(0,2),f(x)>0,函数单调递增；

当x6(2,+8),单调性一致，尸(乃>0,函数单调递增；故C正确；

选项D：若图为y=(%+2)/(x)图象,x+2<0,图像正负相反,x+2>0时图像正负一■致,f(x)<

0的解集为{x|0Wx<2},故£>错误；

故答案为：ABD.

选项A：若图为图象，f(乃在x=-2左右单调性一致，不是极值；选项B：若图为(。)图象，

根据导数与0的大小判断单调性，判断极值；

选项C：若图为y=(x—2)/'(x)图象，根据图像的正负判断y=f'(x)的正负，判断单调性；选项

D：若图为丫=。+2)/。)图象，根据图像的正负判断y=/(x)的正负，解出/(x)W0的解集.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

13.【答案】|

【解析】解：所有的选法有5种，而女生当选为组长的选法有3种，故女生当选为组长的概率等于

3

59

故答案为：|.

所有的选法有5种，而女生当选为组长的选法有3种，由此求得女生当选为组长的概率.

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题.

14.【答案】y=2x

【解析】解：曲线y=(%2+x)/nx+2,可得y，=(2%4-l)Znx+(%2+%)•：=(2x+l)Znx+x+1,

y'\x=i-2,所以k=2,

切线方程为：y—2=2(%—1),即y=2x.

故答案为：y=2x.

先对原函数求导，再令％=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.

本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程.

15.【答案】-5

【解析】解：(x—l)2(x+I)5=(x2—2x+l)(x+I)5=x2(x+l)5—2x(%+l)5+(x+l)5,

因为(x+1户展开式通项为图+i=C[x5-r,

所以(x+l)5展开式中/,X3,P的系数分别为废,釐,废，

故(x-l)2(x+1)5的展开式中铲的系数为1X。+(-2)x鬣+C)=-5.

故答案为：—5.

展开(X—1)2,再求出(X+1)5展开式中/,/，/的系数，即可得答案.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

16.【答案】3

【解析】解：记事件4为“种一粒种子，发芽”，

则P(4)=0.7,p(A)=1-0.7=0.3-

因为每穴利力粒相当于做了般次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，

则P(B)=C°-0.70-0.3n=0.3n>

所以P(B)=1-P(B)=1-0.3n>

根据题意得P(8)>97%,

即1-0.3">0.97,

所以0.371<0.03,

两边同时取以10为底的对数，得汨g0.3<国0.03,

即几(仞3-1)<lg3-2,

解得”瘠，

因为Jg3-2_0.48-2X2.92,

句3-10.48-1

且neN*,所以n的最小正整数值为3.

故答案为：3.

记事件4为“种一粒种子，发芽”，每穴种n粒相当于做了建次独立重复试验，记事件B为“每穴至

少有一粒种子发芽”，求出P(4)、P(B),根据P(B)>97%,求出n的最小正整数值.

本题考查了n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)2\48C中，^bcosAsinC+asinBcosC=

利用正弦定理可得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC=

因为sinBH0,

所以cosAsinC+sinAcosC=sin(4+C)=sinB=

又B6(0,71),

所以或等

(2)若△4BC为锐角三角形，b=3,

由正弦定理得急=肃=备=2g

~2~

所以a+c=2y/~3(sinA+sinC)»

因为A+C=等

所以a+c=2yT^[slnA+sing—4)]=2V-3x(|sin-4+?cosA)=6sin(A+凯

又△ABC为锐角三角形，则0<4<*且0<C<*

又0=等—4,则所以？<4+*<]，

3o/363

所以孕<sin(4+》<1.

所以3q<a+cW6,

所以a+c的取值范围是(3，？,6].

【解析】(1)由正弦定理，即可求出cosB以及B的值；

(2)利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出a+c的取值范围.

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：设细1的调和中项为b,依题意得：3、k1依次成等差数列,

3b

所以:=乎=2,即b=J；

b22

(2)依题意，｛；｝是等差数列，设其公差为d,

an

3d=

11,«、」1,,«、12n+l

所rri以o以=^+(zn_l)d=d+(n—l)§=F-

故斯=磊

【解析】(1)根据题意得到3、£、1成等差数列，从而得到方程，求出b=；,得到答案;

(2)根据题意得到｛；｝是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到｛即｝的

an

通项公式.

本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则4(3,0,0),。1(0,0,3),C(0,3,0),F(1A3),E(3,2,3),

砧=(-3,0,3),#=(1,一3,3)，

斯•存_-3+9_£38

则cos<AD[,CF>=

|西||函-3/^xO9-

••・异面直线4劣与CF所成角的余弦值为誉;

(2)连接&Di，则BD〃BiD"/EF,可得BD〃平面CEF,

直线BD到平面CEF的距离等于。到平面CEF的距离，又而=(3,-1,3)，

设平面CEF的一个法向量为元=(x,y,z),

n-CE=3x-y+3z=0„„«

由__,，取z=1,可得记=

.n•CF=%—3y+3z=0

又而=(0,-3,0)，

9

瓦函_4_9E

.•・直线。到平面的距离为

BCEFE34•

2>n

【解析】(1)以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线4劣与CF所

成角的余弦值；

(2)把问题转化为求D到平面CEF的距离，再由空间向量求解.

本题考查空间角与空间距离等求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：⑴由题意知，椭圆E的焦点在x轴上,

所以设椭圆方程为冬+

5=l(a>b>0),焦距为2c(c>0),

所以△ABC周长为4Q=8,即Q=2,a2=4,

因为左焦点4(一/豆,0),所以cc2=3,

所以82=a2-c2=1,

所以椭圆E的标准方程为3+y2=1;

(2)证明：由题意知，M(0,l),N(0,-l),直线PS,PT,ST斜率均存在,

所以直线PS：y='+1,与椭圆方程联立得(tn?+4)x2+8mx=0,4=64m2>0对mWR,m手

0恒成立,

mil.-8m|i—8mm,i—8m1,.m2—4

则与+"“=而’B即&=而’则%=菽石*云+1=藤百,

24m36-m2

同理%丁=yT=f

m2+36,^+36

rn^—436—

_144fd_(12-7712)(12+7712)_12-77心

一8血24m16m34-192m16m(12+m2)16m'

xS^xT

m2+4m^+36

所以直线"方程为一=专手(段途)+寓=睛、+最

所以直线S7过定点，定点坐标为(0,》.

【解析】(1)根据椭圆定义直接求解即可；

(2)求出S,T的坐标，写出直线57方程即可求出定点坐标.

本题主要考查了椭圆性质，直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+

0.01)=1,

解得a=0.10.

(2)由频率分布直方图得：

这1000名学生中日平均阅读时间在(8,10］,(10,12］两组内的学生人数之比为0.15：0.1=3：2,

若采用分层抽样的方法抽取了10人，

则从日平均阅读时间在(8,10］内的学生中抽取,x10=6(人),

在日平均阅读时间在(10,12］内的学生中抽取4人，

现从这10人中随机拍取3人，则X的可能取值为0,1,2,3,

「5=。)=1=言/

吵7=管=崭4

P-2)=蜜=粉=磊

P(X=3)=旨=卷=亲

故X的分布列为：

X0123

1131

P

621030

故E（X）=0XH1XH2X^+3X*.

【解析】(1)根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，即可求解.

(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义可得，两个区间分别抽取的人数，现从这10人中随机拍取

3人，贝IJX的可能取值为0,1,2,3,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即