2018全国卷Ⅱ高考理科数学真题(含答案)

2018全国卷II高考理科数学真题及答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

,l+2i

-l—2i一

A.----iB.--+-iC,----iD.--+-i

55555555

2.已知集合人={(》，y)/+/W3,xeZ,yeZ},则A中元素的个数为

A.9B.8C.5D.4

3.函数/(x)=U二的图像大致为

4.已知向量。，方满足1。1=1,ab=-l,则a・(2a-》)=

A.4B.3C.2D.0

22

5.双曲线斗-与=1(“>0,6>0)的离心率为百,则其渐近线方程为

A.y=土壶xB.y=+43x

6.在△ABC中，

A.4近B.730

7.为计算s=i—+][…+>击，设计了右侧的程序框图，

N=N+

则在空白框中应填入

A.i=i+1

B.z=/+2

C.Z=Z+3

D.i=i+4

8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每

个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随

机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A.—B.—C.—D.—

12141518

9.在长方体ABCD-AgCQi中,AB=BC=1,AA1,则异面直线与。片所成角

的余弦值为

A.-B.@C.好D.—

5652

10.若/0)=8$工-$也*在［-。,《)是减函数，贝！ja的最大值是

“兀C兀c3兀n

A.-B.-C.—D.兀

424

ii.已知〃无)是定义域为(-«，+8)的奇函数，满足/a-x)=/(i+x).若/⑴=2,则

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

22

12.已知瓦，尸2是椭圆c3+与=1(。>6>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点尸在

ab

过A且斜率为四的直线上，△尸和为等腰三角形，/单y=120。，则C的离心率为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线>=21n（x+l）在点（0,0）处的切线方程为.

x+2y-5>0,

14.若羽V满足约束条件<%_2>+320,贝|2=%+'的最大值为.

x-5<0,

15.已知sina+cos4=1,cosa+sin4=0，贝[]sin（a+夕）=.

7

16.已知圆锥的顶点为S，母线SA,58所成角的余弦值为石，SA与圆锥底面所成角为45°,

O

若的面积为5岳,则该圆锥的侧面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

记S,为等差数列｛%｝的前"项和，已知4=-7,S3=-15.

（1）求｛。/的通项公式；

（2）求S”，并求S”的最小值.

18.（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额丫（单位：亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了）'与时间变量，的两个线性回

归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1，2,…，17）建立模型

①：9=-30.4+13取；根据2010年至2016年的数据（时间变量f的值依次为1,2,…，7）

建立模型②：5=99+173.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

19.（12分）

设抛物线C：V=4x的焦点为F，过/且斜率为以左>0）的直线/与C交于A,3两点，

|AB|=8.

(1)求/的方程

(2)求过点A,3且与C的准线相切的圆的方程.

20.(12分)

如图,在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2也,PA^PB=PC^AC^4,。为AC的中

点.

(1)证明：PO_L平面ABC;

(2)若点M在棱3c上,且二面角知-如-。为30°,求PC与平面所成角的正

弦值.

21.(12分)

已知函数/(无).

(1)若。=1,证明：当X'。时，/(%)>1；

(2)若/(%)在(0,+8)只有一个零点，求。.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

[x=2cos。，

在直角坐标系xOv中，曲线C的参数方程为4•A(。为参数)，直线/的参数

[y=4sm”

方程为

x=1+tcosa

(，为参数).

y=2+£sina

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.

23.［选修4-5:不等式选讲］(10分)

设函数/(尤)=5-1尤+a|Tx-2|.

(1)当时，求不等式/(xRO的解集;

(2)若/⑺41,求。的取值范围.

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

1.D2,A3.B4.B5.A6.A

7.B8.C9.C10.A11.C12.D

二、填空题

13.y^2x14.915,--16.40缶

2

三、解答题

17.解：

(1)设｛4｝的公差为d,由题意得3%+3d=-15.

由q=—7得流2.

所以｛4｝的通项公式为=2〃-9.

(2)由(1)得S”=“2-8”=(〃-4)--16.

所以当77=4时，取得最小值，最小值为-16.

18.解：

(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

$=—30.4+13.5x19=226.1(亿元).

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

3=99+17.5x9=256.5(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

y=-30.4+135上下这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很

好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额

有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010

年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势利用2010年至2016年的数据

建立的线性模型$=99+17.5/可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的

变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到

的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说

明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.解：

(1)由题意得尸(1,0),/的方程为y=k(x—1)(左>0).

设A&,%),BO2,必)，

由尸一"(X—1),得左—Q42+4)x+左2=0.

[y2=4x

2k2+4

A=16人之+16>0，故%1+%2---J--

k

4k2+4

所以|A5|=|A厂|+|3/|=(再+1)+(%+1)=[^.

k

+4

由题设知「^=8，解得左=—1(舍去)，k=l.

K

因此/的方程为y=x—1.

(2)由(1)得相的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),

即y=-尤+5.

设所求圆的圆心坐标为(%,%)，则

%=—Xo+5,ro11

X。—3,XQ—11,

(y-x+1)2解得°。或°°

9yp0

(.Y0+l)-=^—--+16.1%=2Vo=-6-

、乙

因此所求圆的方程为(x—3)2+(y-2)2=16或(x—11)2+(y+6)2=144.

20.解：

(1)因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OPLAC,且OP=2下.

连结08.因为AB=3C=二一AC,所以△ABC为等腰直角三角形，

2

且OBLAC,OB=-AC=2.

2

由Op2+O§2=pg2知

由知POL平面ABC.

uim

(2)如图，以。为坐标原点，。8的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-孙z.

UL1U

由已知得取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).

ULILI

设〃(。,2-。,0)(0<a«2)，则AM=(〃,4一〃,0).

设平面B4A/的法向量为〃=(x,y,z).

UUUUUL1：2V+2、C7=0r-r-

由AP.刁:打二0得177,可取〃=(6(。_4),石。,_0,

〃%+(4-〃)y=0

/黑\2瓜a-4)

所以cos(OB,n)=一［.

'/243(a-4)2+3/+a?

/uun、J3

由已知可得1。05(05,〃)|=2-

所以/2百|"41=且解得a=T(舍去),4

a=­

243("4)2+3/+/23

所以〃=(一手，手,—g

UUUA/Umn=显

又PC=。2,-26)，所以cos(PC,〃

~4

所以PC与平面由所成角的正弦值为多

21.解:

(1)当0=1时，/(%)21等价于(％2+1)b-1(0.

设函数g(x)=(y+l)ef-1,则g，(x)=-(f-2》+1)b=-(x-1)2「.

当x。1时，g'(%)<0,所以g(x)在(0,+co)单调递减.

而g(0)=0,故当*0时，g(x)<0,gp/(x)>l.

(2)设函数/i(x)=l—奴.

/(x)在(0,+co)只有一个零点当且仅当h{x}在(0,+co)只有一个零点.

(i)当a«0时,h(x)>0,h(x)没有零点;

(五)当。>0时，h\x)=ax(x-2)e~x.

当xe(0,2)时，h'(x)<0;当％^(2,+00)时，h\x)>Q.

所以丸(x)在(0,2)单调递减，在(2,+s)单调递增.

故h(2)=1-丁是h(x)在［0,+co)的最小值.

e

2

①若〃(2)＞。，即。(土e，h(x)在(0,+◎没有零点;

4

2

②若力(2)=0,即。=上e,丸(%)在(0,+8)只有一个零点；

4

2

③若丸(2)＜0，即4＞一e，由于/。)=1,所以入(x)在(0,2)有一个零点，

4

由(1)知当x>