2020年甘肃省天水市中考数学试卷 （解析版）

2020年甘肃省天水市中考数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.下列四个实数中，是负数的是（）

A.-（-3）B.（-2）2C.|-4|D.

2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表

示为（）

A.3.41X10sB.3.41X106C.341X103D.0.341X106

3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，

与“伏”字所在面相对面上的汉字是（）

A.文B.<C.弘D.化

4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39,42,44,40,42,43,40,42.该组数据的

众数、中位数分别为（）

A.40,42B.42,43C.42,42D.42,41

5.如图所示，PA.尸5分别与。0相切于A、8两点，点C为。。上一点，连接AC、BC,

若NP=70°,则NAC8的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D,65°

6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

7.若函数了=。必+加汁<;（aHO）的图象如图所示，则函数y=ar+方和y=£在同一平面直角

坐标系中的图象大致是（）

8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆5E测量建筑物的高度，已知标杆5E高1.5m,

测得A8=1.2/n,BC=12.8m,则建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.17.5mB.17ntC.16.5/nD.18m

9,若关于x的不等式3x+a这2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

A.-7<a<-4B.-7WaW-4C.-74V-4D.-7<a4-4

10.观察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列

的一组数：21°°,2101,2102,2'",22。。，若2i°°=S,用含S的式子表示这组数据的

和是（）

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.只要求填写最后结果）

11.分解因式：m3n-mn=.

12.一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程7-8x+12=0的根，则该三角形

的周长为.

13.已知函数7=运2,则自变量X的取值范围是

x-3

14.已知a+2。=-^,3a+4/>=里"，则a+b的值为

33_

15.如图所示，NAOB是放置在正方形网格中的一个角，则sinNAOB的值是

16.如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），

则这个圆锥的底面半径是.

17.如图，将正方形OEPG放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点E的坐标为（2,3）,

则点尸的坐标为.

18.如图，在边长为6的正方形A3CZ）内作NEAF=45。，AE交8c于点E,4F交

于点尸，连接EF,将尸绕点4顺时针旋转90°得到△A8G.若。F=3,则8E的

三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19.(1)计算：4sin60°-|A/3-21+2020°-^124-(1)

(2)先化简，再求值:1a-l.a-1,其中

a~la2+2a+la+1

20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某

个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、

整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.

满意

请结合图中的信息，解决下列问题：

(1)此次调查中接受调查的人数为人；

(2)请你补全条形统计图；

(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度；

(4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已

知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一

男一女”的概率.

21.如图所示，一次函数(，”手0)的图象与反比例函数(A=#0)的图象交

X

于第二、四象限的点A(-2,a)和点、B(b,-1),过4点作x轴的垂线，垂足为点

C,ZiAOC的面积为4.

(1)分别求出a和》的值；

(2)结合图象直接写出，"x+“＞上'中x的取值范围；

x

(3)在y轴上取点P,使P3-尸4取得最大值时，求出点尸的坐标.

四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所

示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得

灯塔尸在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达8处，此时测得灯塔尸在北偏东

45°方向上.

（1）求N4PB的度数；

（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

（参考数据：&=1.414,百=1.732）

23.如图，在△A8C中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于点、D,点、。在AB上,以点

。为圆心，04为半径的圆恰好经过点O,分别交AC、A3于点E、F.

（1）试判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若80=2愿，AB=6,求阴影部分的面积（结果保留TT）.

如图（1）,在等腰三角形ABC中，ZACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比

为.

理解运用

(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2百，则它的面积为;

(2)如图(2),在四边形中，EF=EG=EH,在边FG,G/7上分别取中点M,

N,连接MN.若NbGH=120°,E尸=20,求线段MN的长.

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为.(用含a的式子表示)

C

图(1)图(2)

25.天水市某商店准备购进4、5两种商品，4种商品每件的进价比B种商品每件的进价

多20元，用2000元购进4种商品和用1200元购进8种商品的数量相同.商店将A种

商品每件的售价定为80元，3种商品每件的售价定为45元.

(1)A种商品每件的进价和5种商品每件的进价各是多少元？

(2)商店计划用不超过1560元的资金购进4、8两种商品共40件，其中A种商品的数

量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠,“(10V”?

<20)元，8种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销

售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

26.如图所示，抛物线了=0^+加什,(a#:0)与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,且

点A的坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=l.点。是

抛物线上一个动点，设点。的横坐标为m(l</n<4),连接AC,BC,DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当的面积等于△40C的面积的金■时，求机的值；

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(本大题共1()小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的选项选出来)

1.下列四个实数中，是负数的是()

A.-(-3)B.(-2)2C.|-4|D.一灰

【分析】根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得.

解：A.-(-3)=3,是正数，不符合题意；

B.(-2)2=4,是正数，不符合题意；

C.|-4|=4,是正数，不符合题意；

D.-灰是负数，符合题意；

故选：D.

2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表

示为()

A.3.41X105B.3.41X106C.341X103D.0.341X106

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中1WI0V1O,"为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同.当原数绝对值＞10时，”是正数；当原数的绝对值VI时，”是负数.

解：341000=3.41X105,

故选：A.

3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，

与“伏”字所在面相对面上的汉字是()

A.文B.羲C.弘D.化

【分析】根据正方体的展开图的特点，得出相对的面，进而得出答案.

解：根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘

与文”相对，“扬与羲”相对，

故选：D.

4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39,42,44,40,42,43,40,42.该组数据的

众数、中位数分别为（）

A.40,42B.42,43C.42,42D,42,41

【分析】先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得.

解：将这组数据重新排列为39,40,40,42,42,42,43,44,

所以这组数据的众数为42,中位数为丝;共=42,

故选：C.

5.如图所示，PA.尸3分别与相切于A、B两点，点C为。。上一点，连接AC、BC,

若NP=70°,则NAC8的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】连接04、OB,如图，根据切线的性质得。4-LPA,OB1.PB,则利用四边形内

角和计算出NA05=UO°,然后根据圆周角定理得到NAC5的度数.

解：连接04、OB,如图，

\,尸A、尸8分别与。0相切于4、B两点、,

J.OAA.PA,OBA.PB,

：.ZOAP=ZOBP=90a,

：.ZAOB+ZP=180°,

VZP=70°,

AZA6>B=110°,

/.ZACB=—ZAOB=55°.

2

故选：B.

6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

［分析］根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

3、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

7.若函数7=4好+"+<:（。手0）的图象如图所示，则函数y=ax+b和y=£■在同一平面直角

【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知对称轴在y轴的右侧可知5V0,再

由函数图象交y轴的正坐标可知c>0,利用排除法即可得出正确答案.

解：•由函数图象交y轴的正坐标可知c>0,

...反比例函数,=工的图象必在一、三象限，故C、。错误；

X

:据二次函数的图象开口向上可知。>0,对称轴在y轴的右侧，Z><0,

.•.函数？="*+6的图象经过一三四象限，故A错误，B正确.

故选：B.

8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m,

测得AB=L2»i,BC=12.8m,则建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m

【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题.

解：'：EB±AC,DCA.AC,

：.EB//DC,

.,.△ABE<»AACD,

.ABBE

,•而F，

BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,

：.AC=AB+BC=14m,

.1.2_1.5

•・H=DC，

解得，DC=17.5,

即建筑物CD的高是17.5m,

故选:A.

9.若关于x的不等式3x+a这2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

A.-7<a<-4B.-74W-4C.-7WaV-4D.-7<aW-4

【分析】先解不等式得出xW空，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2,

据此得出2W当■V3,解之可得答案.

3

解：・.・3x+〃W2,

.•.3xW2-a9

则丫在芋，

:不等式只有2个正整数解，

不等式的正整数解为1、2,

则2W2^V3,

3

解得：-7VaW-4,

故选：D.

10.观察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列

的一组数：2i°°,2101,2血，…，2"9,22。。，若少。。=5,用含S的式子表示这组数据的

和是()

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-IS-2

【分析】根据已知条件和21°°=S,将按一定规律排列的一组数：21°°,2'01,2102,…，

2199,22。。，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和.

解：T2WS,

.♦.2|00+2|01+2|02+—+2199+2200

=S+2S+22S+-+2"S+2UM,S

=S(1+2+22+-+2"+2100)

=S(1+2I00-2+21,M,)

=S(2S-1)

=2S2-S.

故选：A.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.只要求填写最后结果)

11.分解因式：m3n-mn=nm(雁-1)(>n+l).

【分析】先提出公因式析明再利用平方差公式即可解答.

解：m^n-mn=mn(.m2-1)—mn.(.m-1)(/n+1),

故答案为：inn(.in-1")(m+1).

12.一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根，则该三角形

的周长为13.

【分析】先利用因式分解法解方程*2-8X+12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三

边的长，则该三角形的周长可求.

解：Vx2-8x+12=0,

二(x-2)(x-6)=0,

,*.xi=2,X2=6,

•.•三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根，2+2V5,2+5>6,

三角形的第三边长是6,

,该三角形的周长为：2+5+6=13.

故答案为:13.

13.已知函数y=2/运，则自变量x的取值范围是上》-2且工手3.

x-3

【分析】根据被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范围.

解：根据题意得：x+220且x-3手0,

解得：工2-2且工#=3.

故答案为：工》-2且工手3.

14.已知。+2/>=也*,3a+4Z>=-^-,则a+b的值为1.

33-------

【分析】用方程3a+4占=芈•减去。+2〃=当，即可得出2a+26=2,进而得出a+b=l.

OO

解：a+2b=,3a+4b=

②-①得2a+2b=2f

解得a+b=l.

故答案为：1.

15.如图所示，NAOB是放置在正方形网格中的一个角，则sinNAOB的值是

【分析】如图，连接AB.证明△Q45是等腰直角三角形即可解决问题.

解：如图，连接A3.

\'OA=AB=y]~^,0B=2娓,

：.OB2=OA2+AB2,

：.ZOAB=90°,

二△408是等腰直角三角形，

，N408=45°,

如

:.sinZA0B=——,

2

故答案为返.

2

16.如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），

则这个圆锥的底面半径是—.

-3-

【分析】根据半径为8,圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解

即可.

解：设圆锥的底面半径为r,

上期喜徨

由题意得，-1-2-0—71——X8=2,nr,

loU

解得，r=*

故答案为：—.

3

17.如图，将正方形OE/G放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点E的坐标为（2,3）,

则点尸的坐标为（-1,5）

【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求

得点尸的坐标.

解：如图，过点E作x轴的垂线垂足为//.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,

连接GE、尸。交于点0'.

V四边形0EFG是正方形,

：.0G=E0,NGOM=NOEH,ZOGM=ZEOH,

在△0GM与△E0H中，

，ZOGM=ZEOH

"OG=EO

,ZGOM=ZOEH

:AOGM沿AEOH(ASA)

0M=EH=3,

：.G(-3,2).

,点户与点O关于点O'对称,

点尸的坐标为(-1,5).

故答案是：(-1,5).

18.如图，在边长为6的正方形A5Q9内作NEAF=45°,AE交3c于点E,AF交Q9

于点尸，连接EF,将△4。尸绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若。产=3,则5E的

长为2.

D

【分析】根据旋转的性质可知，△40尸义△ABG,然后即可得到。尸=8G,NZMf=N

BAG,然后根据题目中的条件，可以得到△EAGg尸，再根据。尸=3,48=6和勾

股定理，可以得到OE的长，本题得以解决.

解：由题意可得，

△ADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

VZDAB=90°,ZEAF=45°,

AZDAF+ZEAB=45°,

：.ZBAG+ZEAB=45°,

；.NEAF=ZEAG,

在4G和尸中，

'AG=AF

«ZEAG=ZEAF,

,AE=AE

/.△EAG^AEAF(SAS),

：.GE=FE,

设8E=x,则G£=8G+8E=3+x,CE=6-x,

J.EF=3+x,

'：CD=6,DF=3,

:.CF=3,

VZC=90°,

(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，x=2,

即CE=2,

故答案为：2.

D

三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）

中

19.(1)计算：4sin60°-173-21+2020°-71^-

（2）先化简，再求值:

学W+*其中5

【分析】（1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数蒸、化简二次根式、计算

负整数指数幕，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将“的值代入计算可得.

解：（1）原式=4X苧-（2-百）+1-2扬4

=2愿-2+扬1-2历4

=3+百；

aT..a+1

(2)原式="

a-l(a+1产a-1

_____

a-1a+1

a+1a-1

(a+1)(a-1)(a+1)(a-1)

2

(a+1)(a-1)

2

=21，

a-1

当"=时，

2

原式=而可

_2

3-1

2_

=2

=1.

20.为了解天水市民对全市创速全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某

个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、

整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.

不满意

满意程度

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为50人:

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为144度:

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已

知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一

男一女”的概率.

【分析】（D由非常满意的有18人，占36%,即可求得此次调查中接受调查的人数；

（2）用总人数减去其他满意程度的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；

（3）用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为

“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1））..,非常满意的有18人，占36%,

...此次调查中接受调查的人数：18・36%=50（人）；

故答案为：50;

（2）此次调查中结果为满意的人数为：50-4-8-18=20（人）；

on

(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°XWB=144°;

50

故答案为：144°;

(4)画树状图得:

•.,共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，

，选择回访的市民为“一男一女”的概率为：—.

123

21.如图所示，一次函数y=mx+n(m#=0)的图象与反比例函数y=—(k*0)的图象交

X

于第二、四象限的点A(-2,a)和点6(d-1),过A点作x轴的垂线，垂足为点

C,ZUOC的面积为4・

(1)分别求出〃和〃的值；

(2)结合图象直接写出，〃x+”>K中x的取值范围；

x

(3)在y轴上取点P,使尸5-PA取得最大值时，求出点尸的坐标.

【分析】(1)根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定々的值，进

而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、5的坐标，求出“、》的值；

(2)根据图象直接写出mx+">K的解集；

x

(3)求出点A(-2,4)关于y轴的对称点4'(2,4),根据题意直线4'8与y轴

的交点即为所求的点P,求出直线4'8的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可.

解：(1)•••△AOC的面积为4,

.•.刎=4,

解得，k=-8,或4=8(不符合题意舍去)，

...反比例函数的关系式为y=-呈，

X

把点A(-2,。)和点、B(b,-1)代入y=一旦得，

X

。=4,b=8;

答：a=4,b=8;

(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为xV-2或0V

x

x<8;

(3);点A(-2,4)关于y轴的对称点(2,4),

又5(8,-1),则直线A'〃与y轴的交点即为所求的点P,

设直线A，B的关系式为y=cx+d,

l七f2c+d=4

则1n有《,

[8c+d=_l

直线A'8的关系式为7=一2:+工工，

63

.,.直线7=-三+士-与y轴的交点坐标为(0,2工)，

633

即点尸的坐标为(0,与).

四、解答题(本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程)

22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所

示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在4处测得

灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达8处，此时测得灯塔尸在北偏东

45°方向上.

(1)求NAP8的度数；

(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

(参考数据：、历%1.414,后”.732)

【分析】⑴由题意得，NPAB=30°,ZAPB=135°由三角形内角和定理即可得出

答案；

(2)作尸于则△P5”是等腰直角三角形，BH=PH,设海里,

求出43=20海里，在RtZkAP”中，由三角函数定义得出方程，解方程即可.

解：(1)由题意得，ZPAB=900-60°=30°,ZAPB=900+45°=135°,

：.ZAPB=180°-ZPAB-ZAPB=180°-30°-135°=15°;

(2)作PH_LA5于"，如图：

则4PBH是等腰直角三角形，

：.BH=PH,

设8H=尸”=x海里，

由题意得：A8=40X*=20(海里)，

在RtZkAP”中，tanNPA8=tan30°=里=返，

AH3

即―~—=2^1.

r20+x3,

解得：x=10j》10=27.32>25,且符合题意，

海监船继续向正东方向航行安全.

23.如图，在△ABC中，NC=90°,AD平分NBAC交BC于点、D,春。在AB上,以点

。为圆心，04为半径的圆恰好经过点，分别交4C、A3于点E、F.

(1)试判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若50=2百，48=6,求阴影部分的面积（结果保留n）.

【分析】（1）连接。。，求出0Z）〃AC,求出0O_L8C,根据切线的判定得出即可；

（2）根据勾股定理求出0D=2,求出0B=4,得出N5=30°,再分别求出△005和

扇形。。厂的面积即可.

【解答】（1）证明：连接0,如图：

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

平分NC45,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.AC//OD,

AZODB=ZC=90",

即BC±OD,

又为。。的半径，

直线3c是。0的切线；

（2）解：设0A=0〃=r,则。B=6-r,

在RtZkOOB中，由勾股定理得：OD1+BI）1=OB2,

”+（2百）2=（6-r）2,

解得：r=2,

；.0B=4,

22=22=2

：•OD=V0B-BD74-（273）'

：.OD=^OB,

AZB=30°,

,NO03=18()°-ZB-ZODB=6Q",

阴影部分的面积S=S^ODB~SJ"§X2-.6。三52_=2，§-■―.

2T3603

如图（1）,在等腰三角形A8C中，ZACB=m）°,则底边AB与腰AC的长度之比为

理解运用

（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2料，则它的面积为

（2）如图（2）,在四边形EFGH中，EF=EG=EH,在边尸G,GH上分别取中点M,

N,连接MN.若NfG"=120°,EF=20,求线段MN的长.

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sina:l.（用含a的式子表示）

【分析】性质探究：如图1中，过点C作COJLA8于Z）.解直角三角形求出A8（用AC

表示）即可解决问题.

理解运用：①利用性质探究中的结论，设6=（78=,",则AB=扬?，构建方程求出机

即可解决问题.

②如图2中，连接尸”.求出尸”，利用三角形中位线定理解决问题即可.

类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可.

解：性质探究：如图1中，过点C作CD_LA5于。.

图⑴

,:CA=CB,ZACB=120°,CD±AB,

NA=N8=30°,AD=BD,

：.AB=2AD=2AC-cos30°=A/^4C,

：.AB:AC=M：1.

故答案为愿：1.

理解运用：（1）设C4=C5=机，则45=百%

由题意2m+6n=4+2代

:・m=2,

：.AC=CB=2,AB=20

：.AD=DB=-/j>CD=AC-sin30°=1,

:.SAA8C=AB・CD=M.

故答案为愿.

（2）如图2中，连接/

图（2）

VZFGH=120°,EF=EG=EH,

：.ZEFG=ZEGF,NEHG=NEGH,

:.NEFG+2EHG=NEGF+ZEGH=ZFGH=120°,

VZFEH+ZEFG+ZEHG+ZFGH=36Q°,

AZFEH=360°-120°-120°=120°,

♦：EF=EH,

••・△E尸〃是顶角为120°的等腰三角形，

工FH=0PF=2OM，

*：FM=MG.GN=GH,

，MN=/"=10愿.

类比拓展：如图1中，过点C作C0JLA5于O.

图(1)

YCA=CB,ZACB=2a,CD±AB,

AZA=ZB=30",AD=BD,ZACD=ZBCD=a

：.AB=2AD=2AC*sina

：.AB:AC=2sina:1.

故答案为2sina:1.

25.天水市某商店准备购进A、5两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价

多20元，用2000元购进4种商品和用1200元购进8种商品的数量相同.商店将4种

商品每件的售价定为80元，3种商品每件的售价定为45元.

(1)A种商品每件的进价和5种商品每件的进价各是多少元？

(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、8两种商品共40件，其中4种商品的数

量不低于8种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠，"(10V"?

<20)元，5种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销

售这40件商品获得总利泗最大的进货方案.

【分析】(1)设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200

元购进8种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；

(2)设购买A种商品。件，根据用不超过1560元的资金购进A、8两种商品共40件，

A种商品的数量不低于8种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；

(3)设销售A、8两种商品共获利y元，根据y=A商品的利润+8商品的利润，根据机

的值及一次函数的增减性可得结论.

解：(1)设4种商品每件的进价是x元，则5种商品每件的进价是(x-20)元，

由题意得：^^-=1200,

xx-20

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意,

50-20=30,

答：A种商品每件的进价是50元，5种商品每件的进价是30元；

(2)设购买A种商品a件，则购买6商品(40-a)件，

'50a+30(40-a)<156C

由题意得：\.1、，

a>^-(40-a)

解得当〈a<18,

,：a为正整数，

.,.<1=14、15、16、17、18,

...商店共有5种进货方案；

(3)设销售A、8两种商品共获利y元，

由题意得：y=(80-50-in)a+(45-30)(40-a)=(15-/n)a+600,

①当10V/»V15时，15-胆>0,y随。的增大而增大，

，当a=18时，获利最大，即买18件A商品，22件8商品，

②当m=15时，15-m=0,

y与a的值无关，即(2)问中所有进货方案获利相同，

③当15V，"V20时，15-mVO,y随。的增大而减小，

...当a=14时，获利最大，即买14件A商品，26件5商品.

26.如图所示，抛物线y=ax2+8x+c(a#：0)与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,且

点A的坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=l.点。是

抛物线上一个动点，设点。的横坐标为m(l<m<4),连接AC,BC,DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△8C。的面积等于△AOC的面积的工•时，求机的值；

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可;

（2）过点。作。E_Lx轴于E,交8c于G,过点C作交E£＞的延长线于死

求出点5的坐标为（4,0）,由待定系数法求出直线8c的函数表达式为丫=一手+6,

则点。的坐标为（m,--1-/n2+-^n+6），点G的坐标为（m,-去〃+6）,求出SABCD

9Q

=—-/w^+6/w=—,解方程即可；

22

（3）求出点。的坐标为（3,—）,分三种情况，①当OB为对角线时，证出ON〃x

4

轴，则点。与点N关于直线x=l对称，得出N（-l,2殳）求出8Af=4,即可得出答

4

案；

②当OM为对角线时，由①得N（-l,—）,DN=4,由平行四边形的性质得出ON

4

=BM=4,进而得出答案;

___1R____

③当ON为对角