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文档简介
2020年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题(共10小题).
1.下列四个实数中,是负数的是()
A.-(-3)B.(-2)2C.|-4|D.
2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元,将数341000用科学记数法表
示为()
A.3.41X10sB.3.41X106C.341X103D.0.341X106
3.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方体中,
与“伏”字所在面相对面上的汉字是()
A.文B.<C.弘D.化
4.某小组8名学生的中考体育分数如下:39,42,44,40,42,43,40,42.该组数据的
众数、中位数分别为()
A.40,42B.42,43C.42,42D.42,41
5.如图所示,PA.尸5分别与。0相切于A、8两点,点C为。。上一点,连接AC、BC,
若NP=70°,则NAC8的度数为()
A.50°B.55°C.60°D,65°
6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
7.若函数了=。必+加汁<;(aHO)的图象如图所示,则函数y=ar+方和y=£在同一平面直角
坐标系中的图象大致是()
8.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆5E测量建筑物的高度,已知标杆5E高1.5m,
测得A8=1.2/n,BC=12.8m,则建筑物CD的高是()
□
□
□
A.17.5mB.17ntC.16.5/nD.18m
9,若关于x的不等式3x+a这2只有2个正整数解,则a的取值范围为()
A.-7<a<-4B.-7WaW-4C.-74V-4D.-7<a4-4
10.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列
的一组数:21°°,2101,2102,2'",22。。,若2i°°=S,用含S的式子表示这组数据的
和是()
A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.只要求填写最后结果)
11.分解因式:m3n-mn=.
12.一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程7-8x+12=0的根,则该三角形
的周长为.
13.已知函数7=运2,则自变量X的取值范围是
x-3
14.已知a+2。=-^,3a+4/>=里",则a+b的值为
33_
15.如图所示,NAOB是放置在正方形网格中的一个角,则sinNAOB的值是
16.如图所示,若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),
则这个圆锥的底面半径是.
17.如图,将正方形OEPG放在平面直角坐标系中,。是坐标原点,点E的坐标为(2,3),
则点尸的坐标为.
18.如图,在边长为6的正方形A3CZ)内作NEAF=45。,AE交8c于点E,4F交
于点尸,连接EF,将尸绕点4顺时针旋转90°得到△A8G.若。F=3,则8E的
三、解答题(本大题共3小题,共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程)
19.(1)计算:4sin60°-|A/3-21+2020°-^124-(1)
(2)先化简,再求值:1a-l.a-1,其中
a~la2+2a+la+1
20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度,某中学数学兴趣小组在某
个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意,一般,满意,非常满意四类,回收、
整理好全部问卷后,得到下列不完整的统计图.
满意
请结合图中的信息,解决下列问题:
(1)此次调查中接受调查的人数为人;
(2)请你补全条形统计图;
(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度;
(4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访,已
知这4位市民中有2位男性,2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一
男一女”的概率.
21.如图所示,一次函数(,”手0)的图象与反比例函数(A=#0)的图象交
X
于第二、四象限的点A(-2,a)和点、B(b,-1),过4点作x轴的垂线,垂足为点
C,ZiAOC的面积为4.
(1)分别求出a和》的值;
(2)结合图象直接写出,"x+“>上'中x的取值范围;
x
(3)在y轴上取点P,使P3-尸4取得最大值时,求出点尸的坐标.
四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程)
22.为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所
示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在A处测得
灯塔尸在北偏东60°方向上,继续航行30分钟后到达8处,此时测得灯塔尸在北偏东
45°方向上.
(1)求N4PB的度数;
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?
(参考数据:&=1.414,百=1.732)
23.如图,在△A8C中,ZC=90°,AD平分NBAC交BC于点、D,点、。在AB上,以点
。为圆心,04为半径的圆恰好经过点O,分别交AC、A3于点E、F.
(1)试判断直线BC与。0的位置关系,并说明理由;
(2)若80=2愿,AB=6,求阴影部分的面积(结果保留TT).
如图(1),在等腰三角形ABC中,ZACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比
为.
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2百,则它的面积为;
(2)如图(2),在四边形中,EF=EG=EH,在边FG,G/7上分别取中点M,
N,连接MN.若NbGH=120°,E尸=20,求线段MN的长.
类比拓展
顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为.(用含a的式子表示)
C
图(1)图(2)
25.天水市某商店准备购进4、5两种商品,4种商品每件的进价比B种商品每件的进价
多20元,用2000元购进4种商品和用1200元购进8种商品的数量相同.商店将A种
商品每件的售价定为80元,3种商品每件的售价定为45元.
(1)A种商品每件的进价和5种商品每件的进价各是多少元?
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进4、8两种商品共40件,其中A种商品的数
量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?
(3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠,“(10V”?
<20)元,8种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销
售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
26.如图所示,抛物线了=0^+加什,(a#:0)与x轴交于A、8两点,与y轴交于点C,且
点A的坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=l.点。是
抛物线上一个动点,设点。的横坐标为m(l</n<4),连接AC,BC,DC,DB.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当的面积等于△40C的面积的金■时,求机的值;
4
(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否
存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共1()小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是正确的,请把正确的选项选出来)
1.下列四个实数中,是负数的是()
A.-(-3)B.(-2)2C.|-4|D.一灰
【分析】根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得.
解:A.-(-3)=3,是正数,不符合题意;
B.(-2)2=4,是正数,不符合题意;
C.|-4|=4,是正数,不符合题意;
D.-灰是负数,符合题意;
故选:D.
2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元,将数341000用科学记数法表
示为()
A.3.41X105B.3.41X106C.341X103D.0.341X106
【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式,其中1WI0V1O,"为整数.确定n
的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数
相同.当原数绝对值>10时,”是正数;当原数的绝对值VI时,”是负数.
解:341000=3.41X105,
故选:A.
3.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方体中,
与“伏”字所在面相对面上的汉字是()
A.文B.羲C.弘D.化
【分析】根据正方体的展开图的特点,得出相对的面,进而得出答案.
解:根据正方体表面展开图可知,“相间、Z端是对面”,因此“伏与化”相对,“弘
与文”相对,“扬与羲”相对,
故选:D.
4.某小组8名学生的中考体育分数如下:39,42,44,40,42,43,40,42.该组数据的
众数、中位数分别为()
A.40,42B.42,43C.42,42D,42,41
【分析】先将数据按照从小到大重新排列,再根据众数和中位数的定义求解可得.
解:将这组数据重新排列为39,40,40,42,42,42,43,44,
所以这组数据的众数为42,中位数为丝;共=42,
故选:C.
5.如图所示,PA.尸3分别与相切于A、B两点,点C为。。上一点,连接AC、BC,
若NP=70°,则NAC8的度数为()
A.50°B.55°C.60°D.65°
【分析】连接04、OB,如图,根据切线的性质得。4-LPA,OB1.PB,则利用四边形内
角和计算出NA05=UO°,然后根据圆周角定理得到NAC5的度数.
解:连接04、OB,如图,
\,尸A、尸8分别与。0相切于4、B两点、,
J.OAA.PA,OBA.PB,
:.ZOAP=ZOBP=90a,
:.ZAOB+ZP=180°,
VZP=70°,
AZA6>B=110°,
/.ZACB=—ZAOB=55°.
2
故选:B.
6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
[分析]根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
解:4、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
3、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不合题意;
C、是中心对称图形但不是轴对称图形,故本选项符合题意;
是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:C.
7.若函数7=4好+"+<:(。手0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=£■在同一平面直角
【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知对称轴在y轴的右侧可知5V0,再
由函数图象交y轴的正坐标可知c>0,利用排除法即可得出正确答案.
解:•由函数图象交y轴的正坐标可知c>0,
...反比例函数,=工的图象必在一、三象限,故C、。错误;
X
:据二次函数的图象开口向上可知。>0,对称轴在y轴的右侧,Z><0,
.•.函数?="*+6的图象经过一三四象限,故A错误,B正确.
故选:B.
8.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,
测得AB=L2»i,BC=12.8m,则建筑物CD的高是()
□
□
□
A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m
【分析】根据题意和图形,利用三角形相似,可以计算出的长,从而可以解答本题.
解:':EB±AC,DCA.AC,
:.EB//DC,
.,.△ABE<»AACD,
.ABBE
,•而F,
BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,
:.AC=AB+BC=14m,
.1.2_1.5
•・H=DC,
解得,DC=17.5,
即建筑物CD的高是17.5m,
故选:A.
9.若关于x的不等式3x+a这2只有2个正整数解,则a的取值范围为()
A.-7<a<-4B.-74W-4C.-7WaV-4D.-7<aW-4
【分析】先解不等式得出xW空,根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2,
据此得出2W当■V3,解之可得答案.
3
解:・.・3x+〃W2,
.•.3xW2-a9
则丫在芋,
:不等式只有2个正整数解,
不等式的正整数解为1、2,
则2W2^V3,
3
解得:-7VaW-4,
故选:D.
10.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列
的一组数:2i°°,2101,2血,…,2"9,22。。,若少。。=5,用含S的式子表示这组数据的
和是()
A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-IS-2
【分析】根据已知条件和21°°=S,将按一定规律排列的一组数:21°°,2'01,2102,…,
2199,22。。,求和,即可用含S的式子表示这组数据的和.
解:T2WS,
.♦.2|00+2|01+2|02+—+2199+2200
=S+2S+22S+-+2"S+2UM,S
=S(1+2+22+-+2"+2100)
=S(1+2I00-2+21,M,)
=S(2S-1)
=2S2-S.
故选:A.
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.只要求填写最后结果)
11.分解因式:m3n-mn=nm(雁-1)(>n+l).
【分析】先提出公因式析明再利用平方差公式即可解答.
解:m^n-mn=mn(.m2-1)—mn.(.m-1)(/n+1),
故答案为:inn(.in-1")(m+1).
12.一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,则该三角形
的周长为13.
【分析】先利用因式分解法解方程*2-8X+12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三
边的长,则该三角形的周长可求.
解:Vx2-8x+12=0,
二(x-2)(x-6)=0,
,*.xi=2,X2=6,
•.•三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,2+2V5,2+5>6,
三角形的第三边长是6,
,该三角形的周长为:2+5+6=13.
故答案为:13.
13.已知函数y=2/运,则自变量x的取值范围是上》-2且工手3.
x-3
【分析】根据被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范围.
解:根据题意得:x+220且x-3手0,
解得:工2-2且工#=3.
故答案为:工》-2且工手3.
14.已知。+2/>=也*,3a+4Z>=-^-,则a+b的值为1.
33-------
【分析】用方程3a+4占=芈•减去。+2〃=当,即可得出2a+26=2,进而得出a+b=l.
OO
解:a+2b=,3a+4b=
②-①得2a+2b=2f
解得a+b=l.
故答案为:1.
15.如图所示,NAOB是放置在正方形网格中的一个角,则sinNAOB的值是
【分析】如图,连接AB.证明△Q45是等腰直角三角形即可解决问题.
解:如图,连接A3.
\'OA=AB=y]~^,0B=2娓,
:.OB2=OA2+AB2,
:.ZOAB=90°,
二△408是等腰直角三角形,
,N408=45°,
如
:.sinZA0B=——,
2
故答案为返.
2
16.如图所示,若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),
则这个圆锥的底面半径是—.
-3-
【分析】根据半径为8,圆心角为120°的扇形弧长,等于圆锥的底面周长,列方程求解
即可.
解:设圆锥的底面半径为r,
上期喜徨
由题意得,-1-2-0—71——X8=2,nr,
loU
解得,r=*
故答案为:—.
3
17.如图,将正方形OE/G放在平面直角坐标系中,。是坐标原点,点E的坐标为(2,3),
则点尸的坐标为(-1,5)
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求
得点尸的坐标.
解:如图,过点E作x轴的垂线垂足为//.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,
连接GE、尸。交于点0'.
V四边形0EFG是正方形,
:.0G=E0,NGOM=NOEH,ZOGM=ZEOH,
在△0GM与△E0H中,
,ZOGM=ZEOH
"OG=EO
,ZGOM=ZOEH
:AOGM沿AEOH(ASA)
0M=EH=3,
:.G(-3,2).
,点户与点O关于点O'对称,
点尸的坐标为(-1,5).
故答案是:(-1,5).
18.如图,在边长为6的正方形A5Q9内作NEAF=45°,AE交3c于点E,AF交Q9
于点尸,连接EF,将△4。尸绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若。产=3,则5E的
长为2.
D
【分析】根据旋转的性质可知,△40尸义△ABG,然后即可得到。尸=8G,NZMf=N
BAG,然后根据题目中的条件,可以得到△EAGg尸,再根据。尸=3,48=6和勾
股定理,可以得到OE的长,本题得以解决.
解:由题意可得,
△ADF^AABG,
:.DF=BG,ZDAF=ZBAG,
VZDAB=90°,ZEAF=45°,
AZDAF+ZEAB=45°,
:.ZBAG+ZEAB=45°,
;.NEAF=ZEAG,
在4G和尸中,
'AG=AF
«ZEAG=ZEAF,
,AE=AE
/.△EAG^AEAF(SAS),
:.GE=FE,
设8E=x,则G£=8G+8E=3+x,CE=6-x,
J.EF=3+x,
':CD=6,DF=3,
:.CF=3,
VZC=90°,
(6-x)2+32=(3+x)2,
解得,x=2,
即CE=2,
故答案为:2.
D
三、解答题(本大题共3小题,共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程)
中
19.(1)计算:4sin60°-173-21+2020°-71^-
(2)先化简,再求值:
学W+*其中5
【分析】(1)先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数蒸、化简二次根式、计算
负整数指数幕,再计算乘法、去括号,最后计算加减可得;
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将“的值代入计算可得.
解:(1)原式=4X苧-(2-百)+1-2扬4
=2愿-2+扬1-2历4
=3+百;
aT..a+1
(2)原式="
a-l(a+1产a-1
_____
a-1a+1
a+1a-1
(a+1)(a-1)(a+1)(a-1)
2
(a+1)(a-1)
2
=21,
a-1
当"=时,
2
原式=而可
_2
3-1
2_
=2
=1.
20.为了解天水市民对全市创速全国文明城市工作的满意程度,某中学数学兴趣小组在某
个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意,一般,满意,非常满意四类,回收、
整理好全部问卷后,得到下列不完整的统计图.
不满意
满意程度
请结合图中的信息,解决下列问题:
(1)此次调查中接受调查的人数为50人:
(2)请你补全条形统计图;
(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为144度:
(4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访,已
知这4位市民中有2位男性,2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一
男一女”的概率.
【分析】(D由非常满意的有18人,占36%,即可求得此次调查中接受调查的人数;
(2)用总人数减去其他满意程度的人数,求出满意的人数,从而补全统计图;
(3)用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案;
(4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为
“一男一女”的情况,再利用概率公式即可求得答案.
解:(1))..,非常满意的有18人,占36%,
...此次调查中接受调查的人数:18・36%=50(人);
故答案为:50;
(2)此次调查中结果为满意的人数为:50-4-8-18=20(人);
on
(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为:360°XWB=144°;
50
故答案为:144°;
(4)画树状图得:
•.,共有12种等可能的结果,选择回访市民为“一男一女”的有8种情况,
,选择回访的市民为“一男一女”的概率为:—.
123
21.如图所示,一次函数y=mx+n(m#=0)的图象与反比例函数y=—(k*0)的图象交
X
于第二、四象限的点A(-2,a)和点6(d-1),过A点作x轴的垂线,垂足为点
C,ZUOC的面积为4・
(1)分别求出〃和〃的值;
(2)结合图象直接写出,〃x+”>K中x的取值范围;
x
(3)在y轴上取点P,使尸5-PA取得最大值时,求出点尸的坐标.
【分析】(1)根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置,可以确定々的值,进
而确定反比例函数的关系式,代入可求出点A、5的坐标,求出“、》的值;
(2)根据图象直接写出mx+">K的解集;
x
(3)求出点A(-2,4)关于y轴的对称点4'(2,4),根据题意直线4'8与y轴
的交点即为所求的点P,求出直线4'8的关系式,进而求出与y轴的交点坐标即可.
解:(1)•••△AOC的面积为4,
.•.刎=4,
解得,k=-8,或4=8(不符合题意舍去),
...反比例函数的关系式为y=-呈,
X
把点A(-2,。)和点、B(b,-1)代入y=一旦得,
X
。=4,b=8;
答:a=4,b=8;
(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知,不等式的解集为xV-2或0V
x
x<8;
(3);点A(-2,4)关于y轴的对称点(2,4),
又5(8,-1),则直线A'〃与y轴的交点即为所求的点P,
设直线A,B的关系式为y=cx+d,
l七f2c+d=4
则1n有《,
[8c+d=_l
直线A'8的关系式为7=一2:+工工,
63
.,.直线7=-三+士-与y轴的交点坐标为(0,2工),
633
即点尸的坐标为(0,与).
四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程)
22.为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所
示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在4处测得
灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行30分钟后到达8处,此时测得灯塔尸在北偏东
45°方向上.
(1)求NAP8的度数;
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?
(参考数据:、历%1.414,后”.732)
【分析】⑴由题意得,NPAB=30°,ZAPB=135°由三角形内角和定理即可得出
答案;
(2)作尸于则△P5”是等腰直角三角形,BH=PH,设海里,
求出43=20海里,在RtZkAP”中,由三角函数定义得出方程,解方程即可.
解:(1)由题意得,ZPAB=900-60°=30°,ZAPB=900+45°=135°,
:.ZAPB=180°-ZPAB-ZAPB=180°-30°-135°=15°;
(2)作PH_LA5于",如图:
则4PBH是等腰直角三角形,
:.BH=PH,
设8H=尸”=x海里,
由题意得:A8=40X*=20(海里),
在RtZkAP”中,tanNPA8=tan30°=里=返,
AH3
即―~—=2^1.
r20+x3,
解得:x=10j》10=27.32>25,且符合题意,
海监船继续向正东方向航行安全.
23.如图,在△ABC中,NC=90°,AD平分NBAC交BC于点、D,春。在AB上,以点
。为圆心,04为半径的圆恰好经过点,分别交4C、A3于点E、F.
(1)试判断直线BC与。0的位置关系,并说明理由;
(2)若50=2百,48=6,求阴影部分的面积(结果保留n).
【分析】(1)连接。。,求出0Z)〃AC,求出0O_L8C,根据切线的判定得出即可;
(2)根据勾股定理求出0D=2,求出0B=4,得出N5=30°,再分别求出△005和
扇形。。厂的面积即可.
【解答】(1)证明:连接0,如图:
":OA=OD,
:.ZOAD=ZODA,
平分NC45,
:.ZOAD=ZCAD,
:.ZCAD=ZODA,
:.AC//OD,
AZODB=ZC=90",
即BC±OD,
又为。。的半径,
直线3c是。0的切线;
(2)解:设0A=0〃=r,则。B=6-r,
在RtZkOOB中,由勾股定理得:OD1+BI)1=OB2,
”+(2百)2=(6-r)2,
解得:r=2,
;.0B=4,
22=22=2
:•OD=V0B-BD74-(273)'
:.OD=^OB,
AZB=30°,
,NO03=18()°-ZB-ZODB=6Q",
阴影部分的面积S=S^ODB~SJ"§X2-.6。三52_=2,§-■―.
2T3603
如图(1),在等腰三角形A8C中,ZACB=m)°,则底边AB与腰AC的长度之比为
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2料,则它的面积为
(2)如图(2),在四边形EFGH中,EF=EG=EH,在边尸G,GH上分别取中点M,
N,连接MN.若NfG"=120°,EF=20,求线段MN的长.
类比拓展
顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sina:l.(用含a的式子表示)
【分析】性质探究:如图1中,过点C作COJLA8于Z).解直角三角形求出A8(用AC
表示)即可解决问题.
理解运用:①利用性质探究中的结论,设6=(78=,",则AB=扬?,构建方程求出机
即可解决问题.
②如图2中,连接尸”.求出尸”,利用三角形中位线定理解决问题即可.
类比拓展:利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可.
解:性质探究:如图1中,过点C作CD_LA5于。.
图⑴
,:CA=CB,ZACB=120°,CD±AB,
NA=N8=30°,AD=BD,
:.AB=2AD=2AC-cos30°=A/^4C,
:.AB:AC=M:1.
故答案为愿:1.
理解运用:(1)设C4=C5=机,则45=百%
由题意2m+6n=4+2代
:・m=2,
:.AC=CB=2,AB=20
:.AD=DB=-/j>CD=AC-sin30°=1,
:.SAA8C=AB・CD=M.
故答案为愿.
(2)如图2中,连接/
图(2)
VZFGH=120°,EF=EG=EH,
:.ZEFG=ZEGF,NEHG=NEGH,
:.NEFG+2EHG=NEGF+ZEGH=ZFGH=120°,
VZFEH+ZEFG+ZEHG+ZFGH=36Q°,
AZFEH=360°-120°-120°=120°,
♦:EF=EH,
••・△E尸〃是顶角为120°的等腰三角形,
工FH=0PF=2OM,
*:FM=MG.GN=GH,
,MN=/"=10愿.
类比拓展:如图1中,过点C作C0JLA5于O.
图(1)
YCA=CB,ZACB=2a,CD±AB,
AZA=ZB=30",AD=BD,ZACD=ZBCD=a
:.AB=2AD=2AC*sina
:.AB:AC=2sina:1.
故答案为2sina:1.
25.天水市某商店准备购进A、5两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价
多20元,用2000元购进4种商品和用1200元购进8种商品的数量相同.商店将4种
商品每件的售价定为80元,3种商品每件的售价定为45元.
(1)A种商品每件的进价和5种商品每件的进价各是多少元?
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、8两种商品共40件,其中4种商品的数
量不低于8种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?
(3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠,"(10V"?
<20)元,5种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销
售这40件商品获得总利泗最大的进货方案.
【分析】(1)设A种商品每件的进价是x元,根据用2000元购进A种商品和用1200
元购进8种商品的数量相同,列分式方程,解出可得结论;
(2)设购买A种商品。件,根据用不超过1560元的资金购进A、8两种商品共40件,
A种商品的数量不低于8种商品数量的一半,列不等式组,解出取正整数可得结论;
(3)设销售A、8两种商品共获利y元,根据y=A商品的利润+8商品的利润,根据机
的值及一次函数的增减性可得结论.
解:(1)设4种商品每件的进价是x元,则5种商品每件的进价是(x-20)元,
由题意得:^^-=1200,
xx-20
解得:x=50,
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,
50-20=30,
答:A种商品每件的进价是50元,5种商品每件的进价是30元;
(2)设购买A种商品a件,则购买6商品(40-a)件,
'50a+30(40-a)<156C
由题意得:\.1、,
a>^-(40-a)
解得当〈a<18,
,:a为正整数,
.,.<1=14、15、16、17、18,
...商店共有5种进货方案;
(3)设销售A、8两种商品共获利y元,
由题意得:y=(80-50-in)a+(45-30)(40-a)=(15-/n)a+600,
①当10V/»V15时,15-胆>0,y随。的增大而增大,
,当a=18时,获利最大,即买18件A商品,22件8商品,
②当m=15时,15-m=0,
y与a的值无关,即(2)问中所有进货方案获利相同,
③当15V,"V20时,15-mVO,y随。的增大而减小,
...当a=14时,获利最大,即买14件A商品,26件5商品.
26.如图所示,抛物线y=ax2+8x+c(a#:0)与x轴交于A、8两点,与y轴交于点C,且
点A的坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=l.点。是
抛物线上一个动点,设点。的横坐标为m(l<m<4),连接AC,BC,DC,DB.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当△8C。的面积等于△AOC的面积的工•时,求机的值;
4
(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否
存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由题意得出方程组,解方程组即可;
(2)过点。作。E_Lx轴于E,交8c于G,过点C作交E£>的延长线于死
求出点5的坐标为(4,0),由待定系数法求出直线8c的函数表达式为丫=一手+6,
则点。的坐标为(m,--1-/n2+-^n+6),点G的坐标为(m,-去〃+6),求出SABCD
9Q
=—-/w^+6/w=—,解方程即可;
22
(3)求出点。的坐标为(3,—),分三种情况,①当OB为对角线时,证出ON〃x
4
轴,则点。与点N关于直线x=l对称,得出N(-l,2殳)求出8Af=4,即可得出答
4
案;
②当OM为对角线时,由①得N(-l,—),DN=4,由平行四边形的性质得出ON
4
=BM=4,进而得出答案;
___1R____
③当ON为对角
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