2020年新高考数题型详解：4 .1 导数计算

4.1导数计算

思维导图

原由数导困散

二为常数）f(x)=0

/(x)=cu^'1

儿*)=sinx，(*)=COSX

4*)=cosXf(x)=-sinJT

e/(JT)=，*lna(a>0)

f(x)=J

一般地，对于两个函数y=f(u)和u二g(x),如果通过变量u,

y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和

u二g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)

u=g(x)的导数间的关系为yx，=yj%'

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积

e切线的斜率

(1)求导求斜率为切点的横坐标

已知切点q-.

-----------(2)点斜式：/一中二

过某点求曲线的切线方程

切

(1)判断点是否在曲线上

线

方(该点为切点口按类型一求解

e

程(1)设切点%为)

求

未知⑵求导

法

J切点在曲线，

(2)该点不是切点

(3)列斜率.

|(4)点斜式，，-比=/收)(*-*0)

不在曲线二＞该点不是切点n按上面方法求解

题型讲解

题型一利用运算法则求导

【例1-1](2019•海南高三月考)下列求导运算正确的是。

A.(In2)'=0B.(cosx)'=sinx

C.{e~xy=D.(6),=_#6

【答案】A

【解析】由题意,常数的导数为0,可得(In2)'=。是正确的,所以A是正确的；

根据导数的运算公式，可得(cos%)'=—sin(％-)，=-所以B、C、D是错误的，故选

A.

【例1-2](2019•西藏高二期末(文))求下列函数的导数.

(1)=x2sinx；(2)y=ln%+—；(3)y=2x3-3x2+5x-4.

x

【答案】(1)y'=2xsinx+x2cosx(2)yf=---r(3)yr=6x2-6x+5

XX

【解析】(1)y=x2sinxy'=2xsinx+x2cosx

(2)y=ln%+—y'=-----

XXX

(3)y=2x3-3x2+5x-4xy'=6x2-6x+5

【举一反三】

1.(2019•陕西高二期末(文))求下列函数的导数:

(I)y=2x2+lnx+cosx；

(II)y=x3ex.

【答案】(I)4xH----sinx•(II)(3%2+%3)e，

JC

【解析】(I)由导数的计算公式，可得y'=(2%2)+(lnx)'+(cosx)'=4x+——sinx.

(II)由导数的乘法法则,可得V=卜3)'e.v+彳3(e*)'=(3必+式产

2.(2017•全国高二课时练习)求下列函数的导数.

23

(l)p=f—3f-5x+6；(2)p=3/+xcosx；(3)y=—+—

XX

/八[1X5+VX+5ZHX

(4)y=lg;(5)y=----J------.

xX

【答案】(1)V=(/)，一(3/)，一(5%y+8=4%3—6%—5；

(2)yr=(3x2)'+(xcosx]cosx—xsinx

(3)yt=ixG[0,—

x

,12

(4)y=----+—

xlnlOx

,,35_

(5)/=3x——x——+^r-2cos2^r-3sinx

22

【解析】(1)y'=(x4)'-(3x2)'-(5x)'+6'=4x3-6x-5；

(2)y'=(3x2)'+(xcQsx)'=6x+cosx—xsinx；

2349

(3)/=(=)，+(不)，=2(/2)，+3(/3)'=-4/3—9/4=一

XXX

12

(4)/=(1gX)'—(T-2)'H---.

xlnlOx3'

⑸+当

2%2

3+—‘35,x2cosx-2xsinx

・・p=3x2——x——+

22x4

35

=3/——x——+^-2cos入一2才—3sinx.

22

题型二复合函数求导

【例2】（2019•江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数

(1)y=12%+1；(2)j?=sin2x.

(3)y=cos(3x—2)；(4)y=23叫

1

【答案】（1）；(2)sin2x.(3)-3sin(3%-2)；(4)3x23x+1ln2.

A/2X+1

【解析】(1)/=(72771),=

V'2j2x+lJ2x+1

(2)/=2sinx(sinx)=2sinxcosx=sin2x.

(3)=-sin(3x-2)x3=-3sin(3x-2).

(4)/=3x23x+1ln2.

【思路总结】

I1.求复合函数的导数的步骤

（分■号）~I选择中间变量，写出构成它的内、外层函算）

［分别［导）~I分别求各层函数对相应变量的导数］

（相］）~（把上述■求导的结果相乘］

［变量回代）~I把中间变量回代］

I2.求复合函数的导数的注意点：

①分解的函数通常为基本初等函数；

②求导时分清是对哪个变量求导；

③计算结果尽量简洁.

【举一反三】

1.（2019•青海高二月考（理））求下列函数的导数:

(1)y=(2x+l)",“GN

e'+l

(4)y=2xsin(2x+5).

,1,—2e'x

【答案】⑴V=2〃(2x+1)；(2)1=j]+2；(3).；(4)

y-2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

【解析】⑴力=〃(2升]尸(2升])，=2"2升]厂1；

(4)y，=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

2.求下列函数的导数.

(1)y=x2sinx；(2)y=lnx+-；(3)y=sin^2x+-1-^；(4)y=ln(2x—5).

][2

【答案】(l)y'=2xsinx+x2cosx；(2)y'=------；(3)y'=2cos(2x+—)；(4)y'=------

xx32x-5

【解析】(l)y,—(x2),•sinx+x2•(sinx)'=2xsinx+x2cosx.

(2)yz=(lux+-)1=(lux)'+(-)=---

XXX

(3)设u=2x~l--，贝Uy=sinu,贝ljy，=(sinu)'•uz=cos

•・y'=2cos

⑷令u=2x—5,则y=lnu,

j22

则y'=(lnu”・u'=-------------------BPyz=---------

2x-52x-52x-5

题型三求切线方程

【例3】(2019•安徽高二期末(文))已知函数/(x)=d-

⑴求曲线y=/(x)在点(1,0)处的切线方程；

(2)求过点(1,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程.

【答案】(1)y=2x—2；(2)y=2x—2或丁=—,》+工.

44

【解析】(1)由/'(x)=3f—1,/'(1)=2,

则曲线y=/(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x—2.

(2)设切点的坐标为(飞，x；-玉))，

则所求切线方程为y-(X；-%)=(3君-l)(x-x0)

代入点(1,0)的坐标得+尤0=(3,—1)(1—拓)，

解得=1或％0=——

当X。=—1时，所求直线方程为y=—[x+4

244

由(1)知过点(1,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程为y=2x—2或丁=—+

故答案为y=2x_2或y=_]x+g。

44

【思路总结】

I求曲线在某点处的切线方程的步骤

I求斜率H求出曲线在点(XoJ(xo))处切线的斜率/'(即升

I,,

I写方程斜式匕/•(与)于'a」》-与)写出切线方程|

I工

I变形式一将点斜式变为一般式|

I过点(孙㈤的曲线y=『(x)的切线方程的求法步骤

|(1)设切点(刘，/1(画)).

।(2)建立方程f(刘)=―一、荀).

Xi—Xo

I(3)解方程得(荀)，X<3,Jo,从而写出切线方程.

【举一反三】

1.(2019•安徽合肥一中高二期中(文))已知函数/(%)=丁+犬—16

(1)求曲线y=f(x)在点(1,-14)处的切线的方程；

(2)直线/为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线/的方程及切点坐标.

【答案】(1)y=4x—18:(2)y=13x；切点坐标(―2,-26),

【解析】(1)可判定点(L—14)在曲线y=/(在上

,//(X)=3X2+1.

工/3在点(L—14)处的切线的斜率为左=/(1)=4,

.••切线的方程为>+14=4(%-1),即y=4x-18.

(2)设切点坐标为(七,%)，则

直线/的斜率为/''(%)=3¥+l,y0=XQ+x0-16,

.♦.直线/的方程为y=(3片+1)(%-X0)+XQ+X0-16.

又•；直线I过坐标点(0,0),0=(3%+1)(―/)+片+/T6,

整理得，片=一8,.•.5=—2,

/.%=(—2)3+(-2)—16=—26,得切点坐标(-2,-26),

左=3x(-2y+l=13,...直线/的方程为y=13x.

2.(2019•河北安平中学高二月考)曲线丁=5讥%+d在点(0,1)处的切线斜率是()

A.2B.-2

C.1D.-1

【答案】A

【解析】依题意y=cosx+ex,当x=0时，cos0+e°=2.故选：A.

3.(2019•重庆高三(理))已知函数/(x)=，3—2x,则曲线y=/(x)在点(L/(D)处的切线的倾斜角

是()

717127r37r

A.——B.——C.---D.—

6434

【答案】D

【解析】根据题意,函数/(%)=gf-2%,设切线的斜率为上其倾斜角是0,

函数=一2%,贝！Jr(x)=/一2,则有左二r(1)=一1,贝！Jtan，=—1,

又由0,,6＜万，则。=?，故选：D.

4

4.(2019嘿龙江牡丹江一中高二期中(理))过点尸(2,-6)作曲线/(x)=三-3x的切线,则切线方程为(

A.3x+y=0或24%一y-54=0B.3x-y=0或24尤一y-54=0

C.3x+y=0或24x-y+54=0D.24%一y-54=0

【答案】A

【解析】设切点为(以序-3m),/(%)=尤3—3x的导数为八%)=31一3,

可得切线斜率k=3货-3,

由点斜式方程可得切线方程为y-序+3m=(3^-3)(x-加，

代入点尸(2,-6)可得-6-石+3m=(3勿2-3)(2-加,

解得勿=0或777=3,

当m=0时,切线方程为3x+y=0,

当m=3时，切线方程为24x-y-54=0,故选：A.

题型四利用导数求值

【例4】⑴(2019贵州高三月考(文))已知函数“X)的导函数为了'(X),且〃x)=21nx—犬+2/'(2卜,

则/（2）=（

A.2B.3C.4D.5

(2)(2019•昌吉市第九中学高二月考)设函数/O)=ax+3x12,若f'(1)=3,贝b等于()

A.1B.—1C.3D.—3

【答案】(1)B(2)D

2

【解析】(1)/(x)=21nx-x2+2/,(2)x,——2x+2/'(2)

令x=2,/'⑵=1-4+2/'⑵，解得/'⑵=3.故选：B

(2)•・•/(%)=ax+3%2,//(%)=a+6%,•••/z(1)=a+6=3,解得Q=-3,故选：D,

【举一反三】

1.(2019•四川高三(文))设函数八％)的导函数为/'(x),若〃尤)=e[nx+L—1,则r⑴=()

A.c—3B.c—2C.c—1D.。

【答案】C

111

【解析】由题得r(x)=e1nx+J—所以r⑴=£—w=e—1.故选：C

xx11

2.(2019•福建省南安市侨光中学高三月考(理))已知/(x)=e2°i9+xlnx/J/”)=()

201920192019

A.1B.e+lC.e-lD.e

【答案】A

【解析】/(x)=e2°i9+xlnx，/'(x)=lnx+l;./'(l)=lnl+l=l故选：A

3.(2019•江西高二期末(理))已知函数/(尤)的图像在点(2,/(2))处的切线方程是尤-2y+l=0,若

=则/«2)=()

X

1115

A.—B.----C.—D.一

2288

【答案】C

【解析】函数八％)的图像在点(2,/(2))处的切线方程是尤-2y+l=。

13

0/(2)=5于⑵=3

XX

1--

〃⑵n1

故答案选c

题型五综合运用

【例5】（2019•江苏启东中学高二期中）曲线y=e*+x+2在点（0,3）处的切线与坐标轴围成的三角形的

面积为.

9

【答案】-

4

【解析】依题意得V=e+l,

因此曲线y=e'+x+2在点（0,3）处的切线的斜率等于2,

相应的切线方程是y-3=2（x-0）,

当x=0时,y=3

3

即y—0时,x=---,

2

J切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：

139

S——x3X_二一.

224

9

故答案为：—.

4

【举一反三】

1.曲线尸汜在点（0,—1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（）

X.I1

111

--C-

A.842D.1

【答案】B

9

【解析】因为/=—二一,所以V片。=2,所以曲线在点（0,—1）处的切线方程为p+l=2x,即p=2x—

1,与两坐标轴的交点坐标分别为（0,—1）,（；,0）,所以与两坐标轴围成的三角形的面积5=1x|-l|x|=

1

A

2.(2019•湖北高二期末(文))设函数/(x)=«x-巳，曲线y=/(x)在点(2"(2))处的切线方程为

X

3x-2y-4=0.

(1)求〃尤)的解析式;

(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线V=%所围成的三角形的面积为定值,并求

此定值.

2

【答案】(1)/(%)=%——；(2)证明见解析，4.

x

【解析】⑴将点(2,/⑵)的坐标代入直线3x—2y—4=0的方程得"2)=1,

hh3

Q/(x)=ax——，则f'[x)=a+—,直线3%_2y_4=0的斜率为一,

XX/

/'（"+鸿I

〃二］ZX2

于是《,，解得6=2'故/⑺一/

"2）=2。-厂1

2

(2)设点尸(如%)为曲线y=/(x)上任意一点，由⑴知/(x)=x-一,

X

X

2?

所以，曲线y=/(x)在点尸的切线方程为y-x0-----=1+—(%-^0),

\尤0JI尤0J

1+1

即尸

X07

4(4、

令％=。，得＞=—-，从而得出切线与y轴的交点坐标为o,——

%Vxo)

y=x

联立《4，解得y=%=2%,

x----

Ix0）%

从而切线与直线y=x的交点坐标为(2%,2%).

所以，曲线y=/(x)在点尸处的切线与直线x=0、y=x所围成的三角形的面积为s=；・—3・|2%|=4

1%

故曲线y=/(%)上任一点处的切线与直线x=0,y=%所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.

强化练习

1.(2019•全国高三(文))已知下列四个命题，其中正确的个数有()

①(2工)'=x-2x~l，②(sin2x)'=cos2x，③(log。x)=axIna(a〉0,且awl),@(In2)=

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】①(2*)'=2、•Inx,所以①错误；

②(sin2x)'=2cos2x,所以②错误；

③(logaX)'=-----(a>0,且awl)，所以③错误；

xln«

④(In2)'=0,所以④错误.

故选：A

2.(2019•陕西高二期末(文))函数y=(2x+iy的导数为()

A.y'=2x+lB.y'=2(2x+l)C.y'=3(2x+l)D.y'=4(2x+l)

【答案】D

【解析】因为丁=(2%+1)2=4f+4%+1,

则函数的导函数y'=(4—+4x+l)=8x+4=4(2x+l),

故选：D.

3.(2019•浙江高二期末)函数/(x)=x2+lnx+sinx+l的导函数是()

c1c1

A.2x-\--I-COSX+1B.2%-----l-cosx

XX

C1C1

C.2x-\----cosxD.2x-\---l-cosx

XX

【答案】D

【解析】由/(%)=/+山%+sinx+l,得/(%)=2%H---bcos犬故选：D.

x

4.(2019•抚顺市第十中学高二期中(理))下列求导运算正确的是()

f

A.fXH—]=1+—7B.(log2x)=--~~—

VX)xxin2

C.(3x)'=31og3eD.(%2cosx)'--2xsinx

【答案】B

【解析】因为(x+工)=1一-1,故A错；因为(log2X)'=^—,故B正确；

x)%2%山2

因为(3*)'=3*In3,故C错；因为(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,故D错.

5.(2019•湖北高二期末(文))下列求导运算正确的是()

A.(x2)'-xB.(石)'=­；=

2y1x

,八，X八、，In2

C.伫)'=/D.(log2x)'=——

x

【答案】B

【解析】对A,因为(fy=2x,故A错；对B,(6)'=力=，故B正确；

x

对&("£)'=—"工，故C错；对D,(log,x)'=-----，故D错.

xln2

所以本题选B.

[6.(2019•昌吉市第九中学高二月考)曲线y=£+3x在点4(2,10)处的切线方程是()

A.7x-y-4=0B.10x-y-15=0

C.x-y+l=0D.x+y-l=0

【答案】B

【解析】Qy=_?+3x,贝|]淤=2%+3,当x=2时，y'=2x2+3=7,

因此，所求切线方程为y—10=7(x—2),即7x—y—4=。，故选：A.

7.(2019•山东高三期中)已知函数/(%)=r的图象在x=l处的切线与函数g(x)=J的图象相切，则实

数。=()

A.五B.正C.显D.eC

22

【答案】B

【解析】由〃x)=*,得r(x)=2x,则/'⑴=2,

又/⑴=1,所以函数/（尤）=£的图象在％=1处的切线为y-l=2（x-l）,即y=2x-1.

x

设y=2x—1与函数g（%）=土e-的图象相切于点（%,%）,

g'(/)=——=2,

由，（％）=可得《a

ex°

g(%o)~—=2%0-1.

故选：B.

8.（2019•河南高三（理））设曲线y=Q（x—1）—Inx在点（1,0）处的切线方程为y=3x—3,则〃=（）

【答案】D

【解析】因为/=〃—一，且在点（1,。）处的切线的斜率为3,所以a—1=3,即a=4.

故选：D

1_1_1nX1

9.（2019•甘肃临夏中学高三（文））函数/（x）=——的图像在工=上处的切线方程是（）.

xe

A.ex-y-l^OB.ex+y-l^OC.e~x+y-e=OD.e2x-y-e=O

【答案】D

1+lnx

【解析】Q/（%）=------,

所以切线斜率左=/

只有选项D中直线斜率为e2,故选D.

10.（2019•江西高三月考（文））已知直线＞=一X+机是曲线丁=必-31nx的一条切线，则加的值为（）

A.0B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】设切点为（为,先）

因为切线丁=一%+加，

3

所以=---=T,

玉）

3

解得%=1,毛=—5（舍去）

代入曲线y=必-31nx得为=1,

所以切点为（LD

代入切线方程可得1=—1+加，解得机=2.

故选B.

11.（2019•山东高考模拟（理））函数/（%）=-2x+lnx的图像在％=1处的切线方程为（）

A.2x+y-l=0B.2x-y+l—0C.x-y+l=OD.x+y+1=0

【答案】D

【解析】/（x）=-2x+Inx（x>0）

.-.f\x）=-2+-

X

函数/（%）=-2%+111无在％=1处的斜率为-1

又切点坐标为（L-2）

切线方程为x+y+i=0

故选D

12.（2019•辽宁高二期末（理））已知过点尸（1,1）且与曲线丁=三相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

V—1X?—1

【解析】若直线与曲线切于点（Xo，yo）（XoWO）,则k=&L：=，：=x；+Xo+l,

2

又：y'=3x2,，y]x=Xo=3X()2,，2x0-x0-1=0,WWx0=1,x0=-1-,

过点P(l,l)与曲线C:y=x3相切的直线方程为3x—y—2=0或3x—4y+l=0,

故选：c.

13.(2019•河南高三期中(文))已知函数/(尤)的导函数为了'(%),/(x)=%2+2矿(2),则不等式

/(%)<0的解集为.

【答案】(0,8)

【解析】对函数y=/(x)求导，得/'(x)=2x+2/'(2),则/'(2)=4+2/'(2),解得/'(2)=T.

f(x)=x2-8x,解不等式/(x)<0,即d-8%<0,解得0<x<8.

因止匕,不等式/(%)<0的解集为(0,8),

故答案为：(0,8).

14(2019•全国高三月考(理))已知函数/。)=三+2/⑴x—3,则/'(2)=.

【答案】6

【解析】由/(x)=d+2fr(l)x-3,得/'(x)=3x2+2r(1),

令x=l,得广⑴=3+2/'⑴，

解得/'(D=—3.

所以尸(©=3%2—6.

所以/'(2)=6.

故答案为：6

15(2019•河北高三开学考试(理))已知函数Ax)的导函数为/''(X),且满足/(x)=2^'(l)+lnx,则

/(1)=.

【答案】—2.

【解析】求导得：f(x)=2/⑴+,，令X=1,得f⑴=2/⑴+上解得：/«)=—1

X1

・・・/(%)=-2x+ln%,「./(1)=—2+0=—2,故答案为：-2.

16.(2019•甘肃高三月考(文))已知/(%)=必+2矿(―g]则r(―；)=

【答案】|

3

【解析】/'(x)=2x+2/1—£|,令x=—

则/卜：=一六2"-1,故•填；

17.(2019・贵州高二期末(理))已知函数/(%)的导函数为/'(x),且/(司=2靖(e)-Inx,则/''(e)=

【答案】

e

【解析】由题意，函数/("=2靖(e)—Inx,则7•'(x)=2/'(e)—L

所以r(e)=2/'(e)—,解得r(e)=j.

18.(2019•广东高二期末(理))若/(x)=sin2x+cos2x,则/']]=

【答案】1-73

【解析】由求导运算法则得：/(x)=2cos2x-2sin2x,

所以/[5]=2xcos12xV1—2xsin12x2]=l-\/3.

故答案为1-6.

19.(2019•湖南高二期末(理))已知函数/(x)=e2。则过原点且与曲线y=/(x)相切的直线方程为

【答案】2ex-y=0

【解析】设切点坐标为«，)，Q/(x)=e*2\:.f\x)^2e2x,/'⑺=2e%

则曲线y=/(x)在点，,e"处的切线方程为y—e"=2e"(x-r),

由于该直线过原点,则—e”=-2te2'，得/=’,

2

因此,则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2ex,故答案为：2ex—y=0。

20.已知函数/(x)=/'(O)ln(2x+l)—x+g则/'(0)=.

【答案】1

9

【解析】由题得#(》)=20)?5节-1,

令x=O得/㈣=/(0)?丁1=2/^0)-1,

所以0)=1,故答案为1。

21(2019•湖南师大附中高三月考(文))曲线y=x+cosx在点(0,1)处的切线方程为.

【答案】x-y+l=。

【解析】•••点(0,1)在曲线上，又由题意，y'=l—sinx,.•.斜率彳=y［p=l—0=1,.•.所求方程为：

y—l=X—0,即y=x+l.

故答案为：x-y+l=0.

22(2019•河北高三月考(文))若/(x)=gx3-g/'⑴x2+x+g,则曲线在点(1,/。))处的

切线方程是.

【答案】3x-3y+l=O

1，1，1

［解析］/(x)=-x3-4*6-/(l)%29+^+-,

:.f\x)=x2-f'(l)尤+1,则/'⑴=1-/(1)+1,即八1)=1.

1114

f(x)=—x3—X1+x-\—,则/⑴——.

3223

4

•••曲线y=/(x)在点⑴)处的切线方程是y—耳=lx(x-l),

即3x—3y+l=0.故答案为：3x—3y+1=0.

23.(2019•江苏省黄桥中学高三月考(理))函数/(x)=2cosx在点尸(三，百)处的切线的倾斜角是

6

._.,3兀

【答案】—

4

【解析】因为/(x)=2cosx,所以/'(X)=-2sinx,

JT1

则/0)=-2x；=-l,

62

设直线的倾斜角为仇则ee[0,乃），

又tan0=—1,

所以e=3T7r，

4

3IT

故答案为：—.

4

24.（2019•内蒙古高三月考（文））已知曲线/（x）=V—%,则过点P（—1,0）,且与曲线相切的直线方程为

[答案]y=2x+2或y

44

【解析】设切点为。（如焉—%）,

因为/"）=31—1,

所以Q为切点的切线方程为：y-（年一/）=（3焉一1）（x-/），

代入点尸坐标有：-（第一%）=（3尤;-1）（-1-%）,

解得：毛=-1或%=（.

当飞=-1时,切线方程为：y=2x+2；

当飞=一时,切线方程为：y=--X--.

244

故答案为：,=2%+2或,=—x—.

44

25.（2019•重庆高三（理））已知直线>=质与曲线y=ln2x相切，则实数左的值为.

【答案—

e

【解析】设切点坐标为P（a,ln2。）,曲线y=ln2x,「.y'=L.•.k=y]%=a=L①

Xa

又二•切点P（。，ln2〃）在切线y=kx上，.二In2a=k"，②，由①②,解得"=1",

22

代入①得k=—,・,•实数k的值为一.

ee

……2

故答案为：一

e

26.（2019•河北高三月考（理））已知曲线y=d-x在点（九0，阳）处的切线平行于直线2%-k2=0,则

【答案】-1

【解析】y=%3一%的导数为歹=3f—1,

即在点(％，为)处的切线斜率为左=3焉—1,

由切线平行于直线2x-y-2=Q,

则左=2,即3%^-1=2,

解得无0=1或-L

若无。=1,则切点为(1,0),满足直线2x—y—2=0,不合题意.

若毛=—1,则切点为(-1,0),不满足直线2x—y—2=0,符合题意.

故答案为：—1.

27.(2019•河南高三月考(文))己知函数/(x)="(a>0且awl),若曲线y=/(x)在点(0"(0))处

的切线与直线y=x+i垂直,则。的值为.

【答案】」

e

【解析】因为函数〃司="(。>0且。/1),所以/(x)=a-a,

所以尸(0)=。°Ina=Ina,

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线的斜率为Ina,

依题意可得lna=—1,所以a=ei

e

故答案为：-.

e

28.(2019•天津高考模拟(文))已知函数/(x)=e*+ax的图象在点(OJ(O))处的切线与曲线y=-Inx

相切，贝.

【答案】-2.

【解析】函数f(x)=e*+ax,函数的导数/(x)=e+a,f'(0)=l+a,f(。)=1,

,切线方程为y=(l+a)x+1,

又y=-lnx的导函数/=一^■，令切点坐标为(t,-lnt),

x

j—im—1

则有——=1+。=-------，解得廿1,

tt

a=-2

故答案为：-2.

29.(2019•原平市范亭中学高二月考(理))已知曲线求:

(1)曲线在点P(1,D处的切线方程

(2)曲线过点P(3,5)的切线方程

【答案】(1)2x-y-1=0；(2)2x-y-1=0或10x-y-25=0.

【解析】(1)y=必的导数为y=2x,

所以曲线在点尸(U)处的切线的斜率为k=2,

则曲线在点P(1,D处的切线方程为y-l=2(x-l),

即为2x—y—1=0.

⑵设切点为(a,〃)，所以左=f'(a)=2a,

所以切线方程为y-5=2a(x—3),

所以—5—2a(a—3)—2a—6a,

所以6。+5=0,

所以。=1或。=5,

所以切线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.

30.(2019•福建高二期中(理))已知曲线C:y=f—x+2.

(1)求曲线C在点(1,2)处的切线方程，

(2)求过点(2,3)