《事件的相互独立性》教学设计、导学案、同步练习

《10.2事件的相互独立性》教学设计

【教材分析】

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二(人教A版)第十章《10.2事件的相互独

立性》，本节课主要事在己学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互

独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑

推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解两个事件相互独立的概念.1.数学建模：相互独立事件的判定

B.能进行一些与事件独立有关的概念的计2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系

算.3.数学运算：相互独立事件概率的计算

C.通过对实例的分析，会进行简单的应4.数据抽象：相互独立事件的概念

用.

【教学重点】：理解两个事件相互独立的概念

【教学难点】：事件独立有关的概念的计算

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、探究新知

前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概

率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？

我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发

生的概率一定与事件A,B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的

呢？由知识回顾，提出问题，

下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。类比思考。发展学生数

思考1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A="第一枚硬币正面朝上”，学抽象、直观想象和逻

B="第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率辑推理的核心素养。

吗？

分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

用1表示硬币“正面朝上”，用。表示硬币“反面朝上”，

则样本空间为Q={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本

点.

WA={(1,1),(l,0)},B={(l,0),(0,0)},

所以AB={(l,0)}.

由古典概型概率计算公式,得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.

于是P(AB)=P(A)P(B).

积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.

分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的

抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率

思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其

他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设人="第一次摸到球

的标号小于3"，B="第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会

影响事件B发生的概率吗？

分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球

的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.

分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

样本空间Q={(m,n)|m,nW{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.

WA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

AB={(1,1),(1,2),(2,1),⑵2)},

所以尸(A)=P(B)=LP(AB)=,

24

于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的

乘积.

相互独立事件的定义：

设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即

P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.

显然：(1)必然事件O及不可能事件。与任何事件A相互独立.

(2)若事件A与B相互独立，则以下三对事件也相互独立：

①A与B；②Z与及③彳与瓦

例如证①

QA=AW^A(B+B)=AB+AB

\P(A)=P(AB)+P(AB)

P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(豆)

而且AB与A京互斥，所以

通过具体问题的事件分

1.判断下列事件是否为相互独立事件.

析，归纳出相互独立事

①篮球比赛的“罚球两次”中，

件的概念。发展学生数

事件A：第一次罚球，球进了.

学抽象、逻辑推理的核

事件B：第二次罚球，球进了.

心素养。

②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.

③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.

是;是;不是

2.下列事件中，A,6是相互独立事件的是()

A.一枚硬币掷两次，4=｛第一次为正面｝,8=｛第二次为反面｝

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，4=｛第一次摸到白球｝,

%｛第二次摸到白球｝

C.掷一枚骰子，4=｛出现点数为奇数｝,Q｛出现点数为偶数｝

D.4=｛人能活到20岁｝,6=｛人能活到50岁｝

答案：A

解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先

后影响，故A是独立事件；

B中是不放回地摸球，显然A事件与8事件不相互独立；

对于C,A,5应为互斥事件，不相互独立；

D是条件概率，事件8受事件/的影响.

3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A="出现偶数点"，B="出现3点或

6点”，则事件[与6的关系是()

A.互斥B.相互独立

C.既相互互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

答案:B

解析:因为/={2,4,6},8={3,6},4C炉{6},

所以KA)mP(Aff)W=所以4与6相互独立.

23623

注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：

两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；

两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没

有影响。

相互独立事件的判断方法

1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)

2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。

例L一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差

通过实例分析，让学生

异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A="第一次摸出球的标

掌握相互独立事件的判

号小于3"，事件B="第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事

定及概率计算，提升推

件B是否相互独立？

理论证能力，提高学生

解:因为样本空间Q={(m,n)|m,nE[1,2,3,4},且m#n},共有本个样本

的数学抽象、数学建模

点A=((1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},

及逻辑推理的核心素

B={(L2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

养。

AB={(1,2),(2,1)}

所以此时P(AB)WP(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.

P(A)=P(B)=A=1,P(AB)=1

1226

例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,

乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：

(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶;

(4)至少有一人中靶.

解：设4="甲中靶"，3="乙中靶"，则“甲脱靶"，5="乙

脱靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以4与6相互独立,4与后，

了与8,不与五都相互独立

由己知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.1.

(1)AB="两人都中靶”，由事件独立性的定义

得P(AB)=P(A)-P(B)=0.8x().9=0.72

(2)“恰好有一人中靶”=A7UM，且A石与血互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

=P(A)P⑻+P(孙P(B)

=0.8x0.1+0.2x0.9=0.26

(3)事件“两人都脱靶”=而,

所以P(而)=尸(孙P(邛

=(l-0.8)x(l-0.9)=0.02

(4)方法1：事件“至少有一人中靶”豆UM，且46,A豆与

M两两互斥，

所以P(ABUA力UM)=P(AB)+P(A^)+P(M)

=P(AB)+P(A5UM)=0.72+0.26=0.98

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为

1-P(AB)=1-0.02=0.98

例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜

一个成语，已知甲每轮猜对的概率为0.75,乙每轮猜对的概率为2/3.在

每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响，求“星

队”在两轮活动中猜对3个成语的概率

分析:两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、

事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，

解：设A,A分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B,B分别表示

1212

乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得

31339

P(A)=2X-X-=-,P(A)=(-)2=-

21424

P(^)=2x-xr-,P(B2)=(-)--

设A="两轮活动'星队'猜对3个成语"，则A=ABUAB,且AB与AB

122I1221

互斥，A与B,A与B分别相互独立，

1221

所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

1221122I

34945

=—x—H---X—=一

8916912

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是

例4.甲，乙两人同时向敌人炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击

中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.

解：依题设定｛甲击中敌机｝，炉｛乙击中敌机),小｛敌机被击中｝

pliJC=AUB.P(A)=0.6,P⑻=0.5

由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，

所以4与8独立，进而

A与否独立.

QC=AUB=AB,\P(C)=1-P(C)

=1-P(A)P(B)=1-[1-P(A)][1-P(B)]

=1-(1-0.6)(!-0.5)=0.8

三、达标检测

1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为;和两通过练习巩固本节所学

34

知识，通过学生解决问

个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的

题，发展学生的数学抽

概率为()

象、逻辑推理、数学运

A.-B.-C.-D.i

21246算、数学建模的核心素

答案:B

养。

解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品，故所求概率

为2x(11二)短=三x2+%x。=三+二=三，故选B.

J3\4/\3/434341212121

2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其

中恰有1人击中目标的概率是()

A.0.49B.0.42C.0.7

D.0.91

解析:记甲击中目标为事件4乙击中目标为事件8,且48相互独立.则恰

有1人击中目标为通或彳8,所以只有1人击中目标的概率

P=P{AB)+P(AB)-0.7X0.3X).3X0.7-0.42.

答案:B

3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二

道工序的次品率为6,则产品的正品率为()

A.1~a-bB.l-abC.(ba)(1-6)

D.1-(1-a)(1-6)

答案:c

解析:设力表示“第一道工序的产品为正品”，6表示“第二道工序的产

品为正品”，

且P(A&=P(A)P(B)=(l-a)(l-/)).

4.已知A,8相互独立,且P(A)4,P出则P(疝)-________.

43

答案号

解析:根据题意得,尸(而)于(⑷p⑥寸(⑷(M⑶)qx(1q)得

5.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙

两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概

率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__________.

答案:0.98

解析:至少有一个准时响的概率为

1-(1-0.90)X(1-0.80)=1-0.10X0.20-0.98.

6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为

0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中

至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？

略解：三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为

1-P(A^C)=l-0.5x0.55x0.6=0.835

>0.8=P(D)

所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.

7.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。

奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。

如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：

(D都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；

(3)至少有一次抽到某一指定号码；

解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖

抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就

是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独

立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

P(AB)=P(A)P(B)=0.05?0.050.0025

(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”

可以用(A历U(,B)表示。由于事件4豆与初

互斥，根据概率加法公式和相互独立事件

的定义，所求的概率为

P(AB)+P(AB)=P(A)?P(B)+P(A)P(B)

=0.05?(10.05)+(1-0.05)?0.050.095

(3)“两次抽奖恰至少有一次抽到某一指定号码”

可以用(AB)U(布)U(M)表示。由于事件AB,

A石和初两量互斥，根据概率加法公式和相互

独立事件的定义，所求的概率为

P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.0025+0.095=0.0975

四、小结

⑴列表比较通过总结，让学生进一

步巩固本节所学内容，

互斥事件相互独立事件

提高概括能力。

定义不可能同时发生的两事件A是否发生对事件B发生

个事件的概率没有影响

概率产(4+向=尸(力+尸(而P(AB)=P(A)P(B)

公式

(2)解决概率问题关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事

件.

判断两个事件是否相互独立的方法：

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

(2)定义法：如果事件48同时发生的概率等于事件月发生的概率与事

件6发生的概率的积，则事件46为相互独立事件.

五、课时练

【教学反思】

本节主要引导学生理解两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个

事件发生的概率没有影响，从而掌握相互独立事件的概念计算。教学中要注重学生的主体地

位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推

理、数学建模的核心素养。

«10.2事件的相互独立性》导学案

【学习目标】

1.理解两个事件相互独立的概念.

2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算.

3.通过对实例的分析，会进行简单的应用.

【教学重点】：理解两个事件相互独立的概念

【教学难点】：事件独立有关的概念的计算

【知识梳理】

一、温故知新

①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？

②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？

③若A与A为对立事件，则P(A)与P(A)关系如何？

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;如果两个互斥事件有一个不发生时另一个必

发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.

P(A+B)=P(A)+(B)

P(A)+P(A)=1由性质5可得,对于任意事件A,因为①UAcQ所以0<P(A)W1.

性质1对任意的事件4都有尸(⑷三0

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

性质2

即尸(O)=1，P(0)=Q

如果事件力与事祥B互斥，那么

性质3

如果事件/与事件8互为对立事件，那么

性质4

P(B)+P(m=l,P(B)=1-P(.GP5尸1-P(B}

性质5如果月CB,那么P(/)WP(B)

设48是一个随机试验中的两个事件，则有

性质6

P(A^B^P(A}+P(BYP(AC\B]

古典概型

(1)试验中所有可能出现的样本点只有有限个；

(2)每个样本点出现的可能性相等.

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Q包含n个样本点，事件A包含其中的k个

样本点，则定义事件A的概率

P(A)J*

nn(Q)

其中，n(A)和n(C)分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

【学习过程】

一、探究新知

前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对

于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？

我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与

事件A,B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？

下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。

思考1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A="第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币

反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有

放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A="第一次摸到球的标号小于3"，B="第二次摸到

球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？

相互独立事件的定义：

设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即

P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.

显然：(1)必然事件。及不可能事件。与任何事件A相互独立.

(2)若事件A与B相互独立，则以下三对事件也相互独立：

①A与B；②Z与3：③X与瓦

例如证①

QA=AMA(B+B)=AB+AB

\P(A)=P(AB)+P(A片)

:.P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)

而且AB与A百互斥,所以

1.判断下列事件是否为相互独立事件.

①篮球比赛的“罚球两次”中，

事件A：第一次罚球，球进了.

事件B：第二次罚球，球进了.

②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.

③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.

2.下列事件中，A,6是相互独立事件的是（）

A.一枚硬币掷两次，4=｛第一次为正面｝,6=｛第二次为反面｝

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，月=｛第一次摸到白球｝,6=｛第二次摸

到白球｝

C.掷一枚骰子，/=｛出现点数为奇数｝,4｛出现点数为偶数｝

D.4=｛人能活到20岁｝,5=｛人能活到50岁｝

3.抛掷一枚均匀的骰子一次，记事件4=”出现偶数点”，户”出现3点或6点”，则事件

力与6的关系是（）

A.互斥

B.相互独立

C.既相互互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：

两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；

两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

相互独立事件的判断方法

1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)

2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。

例L一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放

回方式从中任意摸球两次，设事件A="第一次摸出球的标号小于3”，事件B="第二次摸

出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,

乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：

(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶.

例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，已知

甲每轮猜对的概率为0.75,乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不

影响,各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率

例4.甲，乙两人同时向敌人炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为

0.5,求敌机被击中的概率.

【达标检测】

1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为|和*两个零件是否加工

为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()

A-B.—C.iD.i

21246

2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中

目标的概率是()

A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91

3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率

为a则产品的正品率为()

A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-A)D.1-(1-a)(1-A)

4.已知46相互独立,且夕(/)二,尸(而乏,则以痛)二

43

5.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒

自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一

个准时响的概率是.

6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,

老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出

的概率比较，谁大？

7.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个

兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是

0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；

(3)至少有一次抽到某一指定号码；

【课堂小结】

(1)列表比较

互斥事件相互独立事件

定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响

概率P(A+^=P(A)+P(功P(AB)=P(A)P(B)

公式

(2)解决概率问题关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.

判断两个事件是否相互独立的方法：

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

(2)定义法：如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件8发生的概

率的积，则事件力，夕为相互独立事件.

参考答案：

知识梳理

学习过程

思考1：分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，

则样本空间为。={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.

ffiA={(1,1),(1,O)},B={(1)O),(0,0)},

所以AB={(l,0)}.

由古典概型概率计算公式,得P(由=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.

于是P(AB)=P(A)P(B).

积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.

分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不

受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率

思考2:分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果

互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.

分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？

样本空间Q={(m,n)|m,ne{1,2,3,4)}包含16个等可能的样本点.

而人={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),⑵4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)),

所以P(A)=P(B)=；,P(AB)=；

于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.

1.是;是;不是

2.答案：A

解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A

是独立事件；

B中是不放回地摸球，显然A事件与8事件不相互独立；

对于C,A,8应为互斥事件，不相互独立；

D是条件概率，事件8受事件/的影响.

3.答案:B

解析：因为A=[2,4,6},庐{3,6},4n炉⑹，所以404,P{B)之P(AB)W=所以/

23623

与8相互独立.

例1.解：因为样本空间C={(m,n)[m,nC{1,2,3,4},且m#n},共有12个样本点

A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,D,(2,3),(2,4)},

B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

AB={(1,2),(2,1)}

所以此时P(AB)WP(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.

P(A)=P(B)=N=”(AB)=!

122o

例2.解：设从=“甲中靶"，B=“乙中靶"，则了=“甲脱靶"，5=“乙脱靶”，由

于两个人射击的结果互不影响,所以1与6相互独立,1与万，.与氏X与R都相互独立

由已知可得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A)=0.2,P⑻=0.1.

(1)AB=”两人都中靶”，由事件独立性的定义

得P(AB)=。⑷•尸⑶=0.8x0.9=0.72

(2)“恰好有一人中靶"=A5UM，且A5与初互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

P(A^U^8)=P(A^)+P(M)

=P(A)P⑻+P⑷P(3)

=0.8x0.1+0.2x0.9=0.26

(3)事件“两人都脱靶”=^瓦

所以P(而)=/(孙P便)

=(l-0.8)x(l-0.9)=0.02

(4)方法1：事件“至少有一人中靶”=ABUAZuM，且力氏A豆与初两两互斥，

所以P(ABUA5UM)

=P(AB)+P(A5)+P(M)

=P(AB)+P(A5UM)

=0.72+0.26=0.98

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为

1-P(AB)=1-0.02=0.98

例3分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲

猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，

解：设A,A分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B,B分别表示乙两轮猜对1

1212

个，2个成语的事件，根据独立性假定，得

尸(A)=2x汨=|,P(4)=6*

21424

P(B1)=2X-X-=-,P(B2)=(-)^-

设A="两轮活动'星队'猜对3个成语"，则A=ABUAB,且AB与AB互斥，A与B,A

1221122I122

与B分别相互独立，

1

所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

12211221

34945

=—X——I---X—=一

8916912

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是

例4.解：依题设片｛甲击中敌机｝，庐｛乙击中敌机),俏｛敌机被击中｝

MiJC=AUB.P(A)=0.6,P(8)=0.5

由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，

所以4与8独立，进而

A与君独立.

QC=AVB=AB

\P(C)=1-P(C)

=1-P(X)P(与)=1-[1-P(A)]L1-P(B)]

=1-(1-0.6)(l-0.5)=0.8

达标检测

1.答案:B

解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品，故所求概率为：乂(1《

^=-x-+-x-=-+-=故选B.

3/43434121212’

2.解析:记甲击中目标为事件4乙击中目标为事件B,且A,6相互独立.则恰有1人击中

目标为疝或了8,所以只有1人击中目标的概率P=P(桶+P(Am-0.7X0.3m.3X0.7-0.42.

答案:B

3.答案:C

解析:设力表示“第一道工序的产品为正品”，6表示“第二道工序的产品为正品”，

且产(初乎(冷P(而=(1-a)(1-6).

4.答案喧

解析:根据题意得,尸(痛)=尸(心=尸(4)(1㈤)=X(1三.

5.答案:0.98

解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)X(l-0.80)=1-0.10X0.20-0.98.

6.略解：三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为

1-P(A-fiC)=l-0.5x0.55x0.6=0.835

>0.8=尸(0)

所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.

7.解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一

指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果

互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

P(AB)=P(A)P(B)=0.05?0.050.0025

(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”

可以用(而)U(M)表示。由于事件A豆与初

互斥，根据概率加法公式和相互独立事件

的定义，所求的概率为

P(AB)+P(AB)=P(A)?P(B)+P(A)P(B)

=0.05?(10.05)+(1-0.05)?0.050.095

（3）“两次抽奖恰至少有一次抽到某一指定号码”

可以用（AB）U（A5）U（M）表示。由于事件A3,

A豆和初两量互斥，根据概率加法公式和相互

独立事件的定义，所求的概率为

P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.0025+0.095=0.0975

《10.2事件的相互独立性》同步练习

一、选择题

1.下列事件46是独立事件的是（）

A.一枚硬币掷两次,4="第一次为正面向上"，8="第二次为反面向上”

B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,4="第一次摸到白球"，B="第二次摸

到白球”

C.掷一枚骰子,4="出现点数为奇数"，B="出现点数为偶数”

D.A="人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”

2.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立，则甲未

通过而乙通过的概率为

A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16

3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率

23

分别为一和一，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖

34

的概率为（）

3255

A.-B.-C.-D.—

43712

4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为（）

3231

A.-B.-C.-D.一

4352

5.（多选题）下列各对事件中，不是相互独立事件的有（）

A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”

B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”

C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”

D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目

标”

6.(多选题)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐

中随机取出1个球放入乙罐，分别以A，4表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，

再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是

()

23

A.P(B)=—B.事件B与事件A相互独立

C.事件B与事件&相互独立D.A，4互斥

二、填空题

7.甲射手击中靶心的概率为工，乙射手击中靶心的概率为甲、乙两人各射击一次，

32

那么甲、乙不全击中靶心的概率为

8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制(当一队赢得二场胜利时，该队获胜，

决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场取胜的

概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率

是—.

9.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两

个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个

问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于,

80

10.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为二，则此射

O1

手的命中率是______.

三、解答题

11.假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝,8=｛—

个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A与8的独立性.

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩.

12.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合

格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人

432

在理论考试中“合格”的概率依次为一，一，一，在实际操作考试中“合格”的概率依次

543

125

为二,所有考试是否合格相互之间没有影响・

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能

性最大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

«10.2事件的相互独立性》同步练习答案解析

一、选择题

1.下列事件46是独立事件的是()

A.一枚硬币掷两次,4="第一次为正面向上"，B="第二次为反面向上”

B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,4="第一次摸到白球"，B="第二次摸

到白球”

C.掷一枚骰子,4="出现点数为奇数”，/“出现点数为偶数”

D.A=u人能活到20岁”，B="人能活到50岁”

【答案】A

【解析】对于A选项，A8两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，

A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，

A6是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50

岁，故A8不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.

2.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立，则甲未

通过而乙通过的概率为

A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16

【答案】B

【解析】甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3x0.4=0.12.选

B.

3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率

23

分别为和一，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖

34

的概率为()

3255

A.-B.-C.—D.—

43712

【答案】D

23

【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是P(A)=4，P(8)==,不获一等奖的概率是

34

_2131

P(A)=1--=-,P(B)=l-4=-(则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：

3344

_____13215

P(AB+AB)=P(A8)+P(AB)=尸(A)P(B)+尸(A)P(B)=彳+§x工=三。

4.甲、乙两队进行排球决