3月大数据模拟卷01（山东、海南专用）（解析版）高中数学

3月大数据精选模拟卷01（山东'海南专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.己知集合4={-2,0},8={X|X2—2%=0},则以下结论正确的是（）

A.A=BB.AcB={。}C,A<JB=AD.A^B

【答案】B

【详解】

由题得5={0,2}.所以ARB，AnB={0},AUBHA.A不是3的子集,

故选：B

2.设复数z满足=i>则z

D.1+z

【答案】B

【详解】

=i得1+z=i(l-z)

z--i

故选：B

3.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据实验数据，人在接种某种病毒疫

苗后，有8（）%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）

512256-1131

A.B.C.D.

625625625625

【答案】A

【详解】

由题得最多1人被感染的概率为C°A4+。：（3白=25,：¥二空.

555625625

故选：A

I

4.若3、坂是两个单位向量，其夹角是。，贝是“卜―q>r’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

由题意,一目=[(々一尔-2a-b+b=，2-2cos。,

________I(冗

J2-2cos6>1»则cos。<万，€I—,，

■jTrrIjrIjrjrjr

因此一<6<一时，满足。.但不时不一定满足一<。<一.

32131332

应为充分不必要条件.

5.设函数/(x)=c，+/Manx+c・♦加+2/+1,如果42)=10,则/(—2)的值是()

A.-10B.8C.-8D.-7

【答案】B

【详解】

令8(力=加+Z?.tanx+c,•加，则g(-x)=_g(x),

所以/(x)=g(x)+2x2+l,由"2)=10可知，/(2)=g(2)+2x4+l=10,即g(2)=l,

/(-2)=g(-2)+9=-g⑵+9=-1+9=8,

故选：B.

6.己知数列｛4｝的前〃项和是S“，且S“=24-1,若%.0,2021),则称项。“为"和谐项”，则数列｛4｝

的所有“和谐项”的和为()

A.1022B.1023C,2046D,2047

【答案】D

【详解】

当〃之2时,an=S„-S"_[=2a,1一(2%—1)=2a,24T，：•4=2%,

又q=S|=2q-l,%=1,...{4}是等比数列，公比为2,首项为1,

所以4=2"，由a,=2"T<2021得即〃W11,

2

1-2"

二所求和为S==2047.

1-2

故选：D.

7.已知双曲线『：一^二―=的焦点到渐近线的距离等于!，则。=()

cos20sin26»V2)2

兀c兀〃兀c万

A.—B.-C.-D.—

34612

【答案】C

【详解】

双曲线「：一^--三=1(0＜6〈工］的焦点坐标为(±1,0)

cos0sm~0\2J

22

由二------「=0，又0＜。＜2，可得双曲线的渐近线方程为：cosay土sin6-x=0

cos2dsin262

|±sin6\1兀

则焦点到渐近线的距离为-/।।=sin8=二，由0＜夕〈一

Vcos2^+sin2^22

TT

所以e=上

6

故选：C

8.“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正

方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个

面为正方形的“阿基米德多面体''.若该多面体的棱长为0,则其体积为()

40721720

A.B.5C.—D.——

333

【答案】D

【详解】

将该多面体放入正方体中，如图所示：由于多面体的棱长为应，则正方体的棱长为2,

该多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得,

3

所以该多面体的体积为23-8x；x(gxlxl)xl="

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知b>ceR.若则()

A.ac2>be1B.a2<ab<b1C.----<\/abD.—>—

a+bab

【答案】AC

【详解】

对TA选项，Qc2>0,a>h>0,:.ac2>he2，A选项正确；

对于B选项，\-a>b>0,:.a2>ab»ah>b2即B选项错误；

对于C选项，因为。>/?>(),由基本不等式可得〃>2>/茄=7亍，.2。」<,C选项正确；

yjaba+b

对于D选项，\,ci>b>0—>—,可得一<一,D选项错误.

ahabab

故选：AC.

TF

10.已知函数/(x)=sin(mx+。)(其中0>0,0<。<乃)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为一,

2

(高=1,下列结论正确的是()

A./(x)=sin^2x+—J

B.将函数y=/(x)的图象向右平移弓个单位后得到函数丁=$山2%的图象

4

C.当xe(0，U时，〃x)有且只有一个零点

rr

D./(x)在0,-上单调递增

O

【答案】ACD

【详解】

由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为可得T=不，

2乃7C

因为口＞0,则7=—=冗、解得W=2,即sin(2x—+e)=l,

w6

TT77TT

解得一+9=—+2Z%,%£Z,因为所以°二一，

326

即函数/(x)的解析式f(x)=sin(2x+,所以A正确；

对于B中，函数/(x)的图象向右平移6个单位，得到g(x)=sin[2(x-?)+V

7T

=sin(2x-一)的图象，所以B不正确；

6

对于C中，由xe(o,g],所以2x+^e(三,卫)，当彳=包时，函数/(卫)=0,

I2)6661212

所以C正确：

对于D中，当xw0,f时，2x+Jed],根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递

增，所以D正确.

11.2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期

的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)

作出如下判断，则判断正确的是()

5

单位：套

300

250

200

150

100

50

10月10月10月10月10月10月10月日期

102B3H4日5H6日70

一认购—<—成交

A.日成交量的中位数是16

B.日成交量超过平均成交量的只有1天

C.10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率

D.日认购量的方差大于日成交量的方差

【答案】BD

【详解】

由拆线图日成交量的中位数是26,A错：

10月711认购量量的增长率为y=-«1.464,成交量的增长率为%=—38--«3.368,显然

223+105+91+107+100+112+276

日认购量的均值为«144.857,

由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确.

12.已知函数/(x)对VxeR,满足/(x)=-/(6-x),/(x+l)=/(-x+l),若

/(。)=一〃202()),。«5,9］且/(%)在［5,9］上为单调函数，则下列结论正确的是()

A./(3)=0B.。=8

c.7(x)是周期为4的周期函数D.y=.f(x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】AB

【详解】

/(x)=-/(6-x),

/(x)+/(6-x)=0,即y=/(x)的图象关于点(3,0)对称,

6

令x=3得，/(3)=_/(3),

故/(3)=0,A正确；

/(x+l)=/(-x+l),

/(x+l)=/(l-x),即y=/(x)的图象关于直线x=l对称，

/(x+1)=/(_*+1)=+1)］=_/(5+x),

即〃x+4)=-/(x),

”x+8)=-/(x+4)=/(x),

/(x)是周期为8的周期函数，

/(2020)=/(252X8+4)=/(4)=-/(8),(因为一〃x+4)=〃x))

v/(a)=—"2020),

%)=/(8),

v«e［5,9］,且f(x)在［5,9］上为单调函数，

”。)=/(8),

故a=8,故B正确.

假设是周期为4的周期函数，

则〃x+4)=/(x),又〃x+4)=_〃x),

・••/(x)=-/(x),即/(x)=0,

与“/(x)在［5,9］上为单调函数”矛盾，故假设不成立，C错误；

・•・"3)=0,

.・.”7)=-"3)=0,

假设y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，

则/(x)+/(2_x)=0,令x=l,得+=即/(1)=0，

则〃5)=—/(1)=0,即/(5)=〃7),

7

与“广(X)在［5,9］上为单调函数”矛盾，故假设不成立，D错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数/(x)=，(x+l)的图象在点(0,1)处的切线为y=ox+6,若方程=加有两个不等实根,

则实数加的取值范围是.

【答案】(0,1)

【详解】

由/(%)=/(》+1)可得./(月=6*(%+1)+/=6*(%+2),

在点(0,1)处的切线斜率为k=/'(O)=2°=2,所以0=2,

将点(()4)代入y=以+8可得力=1,

所以方程|优一4=m即|2'一1|=加有两个不等实根，

等价于丁=|2'-"与y=相图象有两个不同的交点，

作丁=|2*-1］的图象如图所示：

由图知：若y=|2、-1|与y=机图象有两个不同的交点则0＜相＜1吗，

故答案为：(。,1)

14.已知向量2=(1,3),5=(-2/)，5=(3,2).若向量方与向量防共线，则实数4=

【答案】1

【详解】

已知向量M=(1,3),5=(-2,1),c=(3,2),

8

所以的+5=(—2女+3,Z+2),

因为向量M与向量扬+d共线，

所以k+2=3x(3—2k),

解得左=1,

故答案为：1

15.已知抛物线C：V=8x的焦点为为。上一点，以尸为圆心，E4为半径的圆交。的准线于民。

两点，若三点共线，则|AF|=.

【答案】8

【详解】

设BD中点、为N,

因为A,E,8三点共线，则45为圆的直径，即NA05=9O°

所以4DLBD，

由抛物线的定义可得|4)|=|A目，

由丁=8%,则p=4,

FN为RMADB的中位线，

所以怛M=g|A£>|=〃=4,解得|明=8,

所以|AF|=8.

16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示,

其中扇形OAB的半径为10,NPBA=NQAB=60,AQ=QP=PB,若按此方案设计，工艺制造厂发现,

9

当OP最长时，该奖杯比较美观，此时NAO3=

【详解】

作OMJ_QP交QP十M,交AB于C，且OC_LAB，设NAOC=6，

则AB=20sin。，OC=10cos6»,

设AQ=QP=8P=x,作。ELA8交AB于E，「产_1回交48于尸，

因为NP8A=NQAB=60°,所以AE=,CM=PF=-x.

-22

EF=QP=x,所以AB=2x,所以45=20sin6=2x,即x=10sin。，

巧

OM=OC+CM=10cos^+—x=10cos^+5V3sin6>,

2

所以op2=OM2+Mp2=(1Ocose+5Gsin+(5sin6>)2

=100cos2^+75sin2^+100>/3sin(9cos^+25sin20=100+50^sin20)

因为sin284—1,1],所以当sin26=l即。=5时OP?最大，

71

也就是OP最长时NA08=-.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

10

17.在①函数y=/(x)的图象关于直线x=?对称，②函数y=的图象关于点P《,0卜寸称，③函

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题:已知函数/(x)=sin69xcoscp+cosa)xsm(p\/>0,|夕|<一最小正周期为)，

且__________________________，判断函数/(X)在上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时

16

的x值；若不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【详解】

解：/(x)=sincoxcos(p+coscoxsin(p=sin(«yx+。),

由已知函数/(x)的周期T=*=》，

CD

求得0=2,

所以/(%)=sin(2x+(p),

TTTT

若选①，则有2x；+°=)br+m(%eZ),

TT

解得<p=k兀——(kGZ),

6

又因为|同<5，所以，％=0,e=-£,

26

所以/(x)=sin(2x-^],

所以当，=5,即x=q时，函数/'(x)取得最大值，最大值为1.

1T

若选②，则有2x—+0=Z»(2£Z),

6

n

解得<p=k/reZ),

11

又因为|同＜5,所以左=0,0=—A，

所以/(x)=sin(2x—g),

八九•/八万、

当X七(7T句时t，-x-汽。,2旬，

所以当r=5,即尤=工时，函数/(X)取得最大值，最大值为1.

27r7T1\TT

若选③，则有2x—+e=2Qr--(A:GZ),解得°=2%乃-----(keZ),

326

又因为|同〈工，所以攵=1,e=g,

26

显然，函数/(X)在该区间上没有最大值.

18.已知等差数列｛%｝的前n项和为S,,,且满足O,=8,S5=2%.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

n+1

(2)若数列也｝满足bn=4cosnn+2,求数列｛4｝的前2n项和T2„.

【详解】

解:(1)设｛为｝公差为4,依题意得

5x4

5〃ix-^-d=2(4+64)

%+2d=8

CL=2,

解得〈二C

d=3

所以=Q+(〃—l)d=2+3(〃-1)=3〃-1.

n+[

(2)2=ancosn7r+2=(-ifan+2叫

T2n=(%—4)+(。4—/)•,・+(%?—%一i)+(2?+2^+.・・+2~'")

12

22(1-22H')

3X«H---------------

1-2

=3/7+22,,+2-4.

19.如图，在四棱锥产一ABC。中，底面ABCD是菱形，ZBAD=60%PB=PD，F为PC上一点,过

A尸作与平行的平面A£FG,分别交PD，PB于点、E，G.

(1)证明：EG_L平面P4C；

(2)若E为PC的中点，PA=PC=2百，直线24与平面A8CO所成角为60。.求平面24。与平面

所成锐二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接BD，交AC于点。，连接PO.

：80〃平面AERG,平面P8OD平面A£R7=EG,BDu平面PBD，：.EG//BD.

；底面A8C0是菱形，•••ACLBD，且。为AC，BD中点,

又PB=PD，：.PO：LBD，又ACDPO=O，AC,POu平面PAC,

，平面PAC,EG_L平面PAC.

(2)'：PA^PC.：.PO±AC，由(1)知PO_L8D,ACHBD=O,AC,u平面ABC。,

13

•••PO±平面ABCD，,ZPAO=60°.

・；84=2百，，OP=3,OA=OC=6又“4D=60。，Z6MD=3O°,.'-OB=OD=\.

以。为原点，OAOD,O尸所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4（6,0,0）,B（0,-l,0）,C（-V3,o,o）,£＞（0,1,0）,P（0,0,3）,

/.FAP=（-A/3,0,3）,而十点1,0）,AF=,丽=（0,2,0）,

AD-m=0—+必=0

设平面R4O的一个法向量为玩=（王，%，4）,则＜

AP-m=0-y[3Xy+3Z]=0

»=垂）

令再=1,解得〈V3，，玩=

Iz,=--3---

BD-n=0

设平面A£FG的一个法向量为万=（々,%*2）,则

AF-n=0

,2%=0

-、6%2=°

:•m，n=2,网二：,|n|=2.

/m-n

：.COS（根，元）=1|

13

14

.••平面E4O与平面AEFG所成锐二面角的余弦值为叵.

13

20.某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高(单位：

米)，按数据分成［1.2』.3］,(1.3,1.4］,(1.7,1.8］这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于

或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,

1.65,1.65,1.66,1.67,,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以这120名学生身高在各组的身高的频率

估计整个学校的学生在各组身高的概率.

(1)求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中，小〃、f的值；

(2)若从该校中随机选取3名学生(学生数量足够大)，记X为抽取学生的身高在(1.4,1.6］的人数求X的

分布列和数学期望.

【详解】

解：(1)由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为

需3

记5为学生身高，则

3

/?(1.2<^<1.3)=/?(1.7<^<1.8)=—=0.025

/?(1.3<<;><1.4)=/?(1.6<^<1.7)=^=0.125

p(1.4<^<1.5)=p(1.5<<?<1.6)=1(l-2x0.025-2x0.125)=0.35

0.025…0.125…0.35

所以根=-----=0.25，n=------=1.25,t=——=3.5：

(2)山(1)知学生身高在的概率p=2x0.35=0.7

15

随机变量X服从二项分布X~5(3,0.7)

则p(x=0)=C；x(l—0.7)3=0.027

Mx=l)=C；x(l-0.7『x0.7=0.189

p(x=2)=C；x(l-0.7)'x0.72=0.441

p(x=3)=C^x0.73=0.343

所以X的分布列为

X0123

p0.0270.1890.4410.343

EX=3x0.7=2.1

,一〃

21.已知函数=~~--2(aeR).

sinx

(1)若曲线y=/(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数4；

(2)当。＞0时・，判断函数/(X)在％€(0,乃)上的零点个数，并说明理由.

【详解】

2xsinx-(x2-«)cosx(冗、

⑴=--------J£5

sinxJ

所以/(%)在点(泉处的切线方程为y="，

22_2

nn冗、冗兀'

即-----(7-2=——，Q=------2

424

(2)因为X£(0,〃)，

所以sinx>0,

2-

所以一x；----a----2=0可转化为％2-a-2sinx=0,

sinx

设g(x)=x2-a-2sinx,

16

贝ijg(x)=2x-2cosx

当xe时，g'(x)>0,

71

所以g(x)在区间-,7T上单调递增.

(71A

当XE0,一时，i5M^)=^zW=2^-2cosx,

I2j

此时h\x)=2+2sinx>0,

所以g'(x)在Xe(o,时单调递增，

又g'(0)=—2<0,g，图=->0,

所以存在与e(0,3使得g'(x)=0且xe(0,X。)时g(x)单调递减，

xe时g(x)单调递增.

综上，对于连续函数g(x),在xe(O,x0)时，g(x)单调递减，

在xe(后,乃)时，g(x)单调递增.

又因为g(0)=-a<0,

所以当g(万)="—。>0,即。〈乃2时，函数g(x)有唯一零点在区间(玉),乃)上，

当gOr)=/—awo,即万2时，函数g(x)在区间(0,乃)上无零点，

综上可知，当0<a</时，函数/(X)在(0,乃)上有1个零点；

当aZ/时，函数/(x)在(0,%)上没有零点.

22.已知。为坐标原点，椭圆C:，+/=l(a>人>0)的离心率6=乎，点P在椭圆C上

,椭圆C的

左右焦点分别为耳，居，的中点为。，A。耳。周长等于百+它.

2

(1)求椭圆C的标准方程;

17

2

(2)W为双曲线O：y2一亍=1上的一个点，由卬向抛物线£*2=4,做切线/1,/2，切点分别为A3.

(i)证明：直线A3与圆/+y2=1相切;

(ii)若直线A3与椭圆。相交于M,N两点，求AOMN外接圆面积的最大值.

【详解】

⑴设闺闾=2c,因为。为P耳的中点,

区H+恒P|“+c

所以A。/7；。周长忻O|+|OQ|+|QE|=C+

2

a+c=y/^3+V6

所以《2,解得a—>b=

3=叵2

42

22V2

所以椭圆c的标准方程为r二+"=1.

33

(2)(i)由f=4),得工，求导得yx

42

2

设A（X1,yJ,8（x2，%），则1：y一弘-，即4：y=2x-'

224

2

同理：/,=—五

­-24

设卬(毛，％)，因为w为4，4的交点，所以七=%1且，％=华，

由题直线AB的斜率存在，设其方程为)，="+切，

将＞=船+加代入炉=4,得：/-4Ax-4m=0-

由韦达定理得，%+无2=4%,xtx2=-4m,所以无o=2A,y0=-m,

2

因为北一今=1,所以加2=1+%2,

,\m\,

所以圆心0到直线AB的距离d=,=1=r

J1+女2

所以，直线A8与圆O：/+y2=i相切.

18

（ii）将y=与