2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷 含解析

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题

1.在比例尺为1:〃的某市地图上，A,8两地相距5cm,则48之间的实际距离为（）

,112

A.—ncirB・――cmC・5ncmD.25n2cm

525

2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）

3.有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面

朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝

上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是

()

4.若菱形的一条边长为5m，则这个菱形的周长为（）

A.2OC/77B.18c加C.16cmD.12cm

5.一元二次方程（/6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是妙6

=4,则另一个一元一次方程是（）

A.x-6=-4B.x-6=4C.A+6=4D.A+6=-4

6.如图，在△48C中，点久石分别在48、4;边上，OE与BC不平行,那么下列条件中,

不能判断第的是（）

世=理坦=处

A.NADE=NCB.NAEXNBD.

ECBDACAB

7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地

一边减少了1〃，另一边减少了2m,剩余空地的面积为18/,求原正方形空地的边长.设

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形48c的顶点8分别在x轴，y轴的负半

轴上，N480=9。°,"_Lx轴，点C在函数y=K（xVO）的图象上，若四=1,则%

x

的值为（）

A.1B.—1C.yfo.D.~\[2,

9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同.在不允许将球

倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下

颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程.小

明共摸100次，其中20次摸到黑球.根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（）

A.10个B.12个C.15个D.18个

10.二次函数y=aV+6A+c（a,b,c是常数，且a=#0）的图象如图所示，图象与x轴交点

都在点（-3,0）的右边，下列结论：

①，>4ac,②abc>0,③2>6-c>0,④>加0<0,其中正确的是（）

A.①②B.①②④C.②③D.①②③④

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.将二次函数y=f-4妙5化成y=a（x-力）•的形式为.

12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个

三角形是位似图形，点0和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是

点.

13.反比例函数y=K（k*0）的图象上有一点?（2,〃），将点P向右平移1个单位，再

x

向下平移1个单位得到点0.若点。也在该函数的图象上，则"=.

14.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程寸-6妙8=0的解，则此三角形的周

长是.

15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm.如果它们的面积和为78<W,那么

较大多边形的面积为cm.

16.如图，在矩形4脑中，AB=3,民=5,点£在47边上且不与点力和点。重合，点0

是对角线曲的中点，当△圆是等腰三角形时，〃"的长为.

三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）

17.若亮=三求史上的值.

23x-y

18.解方程：4-5妙1=0.

19.如图，点£尸分别是锐角N4两边上的点，AE=AF,分别以点£,尸为圆心，以〃■的

长为半径画弧，两弧相交于点。，连接DE,DF.

(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；

(2)连接切若/£=8厘米，N4=60°,求线段的长.

四、(20、21题各8分，共16分)

20.从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c,请用树状图或列表法

求：“关于x的一元二次方程af+4妙c=0有实数根的概率.

21.如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数/=&(〃学0)的图象交于点/与点8(a,

x

-4).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)一次函数y=x-3的图象与x轴交于点明，连接必，求△谢的面积；

(3)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点力重合)，连接华，且过点P作y

轴的平行线交直线48于点C,连接。C,若△夕。C的面积为3,请直接写出点户的坐标.

22.如图，四边形48曲中，/CLL被垂足为点£点尸，"分别是48,6c的中点，刚平分N

ABE交AM于点、N,AB=AC=BD,连接AF.

(1)判断线段腑与线段掰的位置关系与数量关系，说明理由;

(2)如果CD=5,求AF的长.

23.某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元

销售.经调查发现，该商品每天的销售量v(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数

关系，其图象如图所示.

(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润，(元)最大？最大利

润是多少？

(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量乂件)

的取值范围.

七、(本题12分)

24.△48C中，AC=BC,N4曲二a,点〃是平面内不与点力和点8重合的一点，连接圾

将线段外绕点〃顺时针旋转a得到线段班连接点、BE、CD.

(1)如图①，点。与点4在直线8c的两侧，a=60°时，毁的值是_______;直线

CD

与直线3相交所成的锐角的度数是度；

(2)如图②，点〃与点/在直线8C两侧，a=90°时，求”的值及直线4E与直线微

相交所成的锐角N4/C的度数;

(3)当a=90°,点。在直线48的上方，心禅=告题3，请直接写出当点C、D、£在同

一直线上时，巫的值.

八、(本题12分)

25.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y=af-5a>e+4a

(a是常数，且a>0)过点C,与x轴交于点48,点4在点8的左边.连接4C,以4c

为边作等边三角形4必，点。与点0在直线/C两侧.

(1)求点4,6的坐标；

(2)当必〃x轴时，求抛物线的函数表达式；

(3)连接改当被最短时，请直接写出抛物线的函数表达式.

参考答案

一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，

每小题2分，共20分）

1.在比例尺为1:〃的某市地图上，A,8两地相距5cm,则48之间的实际距离为（）

112

A.—ncirB.――-ncm0.5ncmD.25n2cm

525

解：设/、8之间的实际距离为x,

则1:〃=5:x,

解得x=5n,

故选：C.

2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）

解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个

小正方形，

故选：B.

3.有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面

朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝

上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是

（）

解：根据题意画图如下:

开始

12-3

/4\/T\/T\

12.312-312-3

由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，

则记录的两个数字乘积是正数的概率是言；

9

故选：D.

4.若菱形的一条边长为5c叫则这个菱形的周长为（）

A.20cmB.18cmC.16cmD.12cm

解：•.•菱形的四条边都相等，

,其边长都为5cm,

二菱形的周长=4X5=20M.

故选：A.

5.一元二次方程（妙6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是妙6

=4,则另一个一元一次方程是（）

A.x-6=-4B.x-6=4C.A+6=4D.A+6=-4

解：（/6）2=16,

两边直接开平方得：A+6=±4,

贝I:A+6=4,/6=-4,

故选：D.

6.如图，在中，点久£分别在48、/C边上，DE与BC不平行,那么下列条件中，

不能判断△/曲的是（）

A.NADE=NCB.ZAED=ZBC.—=—D,例＞=幽

ECBDACAB

解：'：XA=zA,

，添加NADE=NC,AADEsAACB,故/正确；

:.添加NAED=NB,XADEsXACB,故8正确；

...添加石一^,AADEs&ACB,故〃正确;

ACAB

故选：c.

7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地

一边减少了1加，另一边减少了2加，剩余空地的面积为18方，求原正方形空地的边长.设

原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为（）

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形48c的顶点4,8分别在x轴，y轴的负半

轴上，ZABC=9Q°,G4_Lx轴，点C在函数y=K（xVO）的图象上，若45=1,则〃

A.1B.一1C.D.—>^2

解：•・•等腰直角三角形48c的顶点48分别在x轴、v轴的负半轴上，NABC=90。,

G4_Lx轴，AB=\,

：.ZBAC=ZBAO=A5°,

：.OA=OB=华,AC=y[2,

.•.点C的坐标为（-理，-五）,

•点C在函数y=x（xVO）的图象上，

X

■x（-V2）=1,

故选：A.

9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同.在不允许将球

倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下

颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程.小

明共摸100次，其中20次摸到黑球.根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（）

A.10个B.12个C.15个D.18个

解：•.•小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，

...有80次摸到白球，

二摸到黑球与摸到白球的次数之比为1:4,

口袋中黑球和白球个数之比为1:4,

34--=12（个）.

4

故选：B.

10.二次函数y=a》+b#~c（a,b,。是常数，且a=#0）的图象如图所示，图象与x轴交点

都在点（-3,0）的右边，下列结论：

①，>4ac,②abc>0,③2>6-c>0,④>加。<0,其中正确的是（）

A.①②B.①②④C.②③D.①②③④

解：①由图可知，抛物线与x轴有两个交点，则/Z-4ac>0,贝4〃>4ac,故符合题意；

②由图可知，抛物线对称轴在y轴左侧，则a、6同号，即a6>0.又抛物线与y轴交于

正半轴，则c>0,所以a6c>0,故符合题意；

③由图可知，对称轴x=-±-=-1,则6=2a.

2a

:.2a^b-c=4i-c,

Va<0,4a<0,

c>0,-c<0,

".2a^b-c=4a-c<0,

故不符合题意；

④；对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴一个交点-3V*V-2,

.•.抛物线与x轴另一个交点0<用<1,

当x=\时，y=^-/H-c<0,

故符合题意；

综上所述，正确的结论是：①②④.

故选：B.

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.将二次函数y=f-4/5化成尸a(x-h)2+k的形式为y=(x-2),+1.

解：y=x-4A+5=X-4A+4+1=(x-2)2+1,

所以，y=(x-2)2+1.

故答案为：y=(x-2)2+1.

12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个

三角形是位似图形，点。和点?也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点

P.

解：如图所示：这两个三角形的位似中心是点2

故答案为：P.

13.反比例函数尸K（〃丰0）的图象上有一点?（2,〃），将点户向右平移1个单位，再

x

向下平移1个单位得到点0.若点。也在该函数的图象上，则〃=3.

解：•.•点P的坐标为（2,〃），将点夕向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点

Q.

.•.点。的坐标为（3,〃-1）,

依题意得：k=2n=3（/?-1）,

解得：n=3,

故答案为：3.

14.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程6妙8=0的解，则此三角形的周

长是13.

解：x-6JT+8=0,

（x-2）（x-4）=0,

x-2=0,x-4=0,

x、=2,M=4,

当x=2时，2+3V6,不符合三角形的三边关系定理，所以％=2舍去，

当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13,

故答案为：13.

15.两个相似多边形的一组对应边分别为3c〃和4.5cm.如果它们的面积和为78力，那么

较大多边形的面积为54cM.

解：设较大多边形的面积为xc/,则较小多边形的面积为：（78-x）cm,

,两个相似多边形的一组对应边长分别为3c/w和4.5cm,

.♦.X：（78-x）=4.52:32,

解得x=54.

故答案为：54

16.如图，在矩形4比步中，AB=3,仇=5,点£在川边上且不与点4和点。重合，点0

是对角线做的中点，当△的是等腰三角形时，〃■的长为空型二强!_

-102-

解：当时，当△阳?是等腰三角形，如图1,连接。1,在矩形力玩步中，CD=AB

=3,AD=BC=5,ZBAD=90°,

在被中，根据勾股定理得，BD=y[34,

・・・0是劭中点,

：.OD=OB=OA=^^-

2

:・NOAD=NODA,

,:OE=DE,

:.NEOD=NODE,

：.ZEOD=ZODE=ZOAD,

:ZDEsAADO,

嚼=需・.•〃”DA，

・••设AE=x,

:・DE=5-x,

V34

)2=5(5-x),

2

.33

・・x=----,

10

即:3亲

如图2,当DE=OD=.时，当△的是等腰三角形,

2

..45手

当OD=OE=^^-.时，当E与点4重合，不合题意舍去,

2

综上所述，当△的是等腰三角形时，/£的长为金冬或5-H;

102

故答案为缢或5-亭.

三、(17题6分，18题、19题各8分，共22分)

17.若三=工，求出的值.

23x-y

解：x=2kfy=3k,

勺

-x-+--y-_-2--k-+--3-k--_--□；

x-y2k-3k

故答案为：-5.

18.解方程：x-5A+1=0.

解：Va=1,b=-5,c=1,A=b2-4ac=25-4=21,

.Y-5±-./21

"2'

.y-5-*V21y5-V21

22

19.如图，点£,尸分别是锐角N/两边上的点，AE=AF,分别以点£尸为圆心，以〃■的

长为半径画弧，两弧相交于点。，连接DE,DF.

(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；

(2)连接优若/£=8厘米，N/=60°,求线段的长.

解：(1)菱形.

理由：：根据题意得：AE=AF=ED=DF,

二四边形4£Z7「是菱形；

(2)连接优

'：AE=AF,NZ=60°,

.•.△E4尸是等边三角形,

.•.£F=/4f=8厘米.

四、(20、21题各8分，共16分)

20.从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c,请用树状图或列表法

求：“关于x的一元二次方程a，+4妙c=0有实数根的概率.

解：画树状图为：

/N/1\/1\/T\

234134124123

共有12种等可能的结果数，其中满足△=16-4ac20的结果数有6,

则关于x的一元二次方程SX+4A+C=0有实数根的概率

21.如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=—(〃手0)的图象交于点4与点8(a,

x

-4).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)一次函数y=x-3的图象与x轴交于点M连接困求△渤的面积；

(3)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点4重合)，连接OP,且过点夕作v

轴的平行线交直线48于点C,连接0C,若△勿C的面积为3,请直接写出点"的坐标.

解：(1)将B(a,-4)代入一次函数y=x-3中得：a=-1

：.B(-1,-4)

将8(-1,-4)代入反比例函数广上(〃学0)中得：k=4

x

A

...反比例函数的表达式为y=—;

x

(2)由一次函数y=x-3可知：M(3,0),

•••8(-1,-4),

二△胸的面积：/x3X4=6'

y=x-3/_

1x=4

(3)解＜4得"一或

y=­[y=-4V=l'

：.A(4,1)

如图：

设点。的坐标为(加，—)(加＞0),则C(m,m-3)

m

：.PC=\—~(加-3)点0到直线%的距离为加

m

1.A,

的面积=±TZX|M-(加-3)I=3

2m

解得：〃?=5或-2或1或2

•・•点?不与点4重合，且4(4,1)

・••加手4

又.••加〉0

:・m=5或1或2

...点"的坐标为(5,净或(1,4)或(2,2).

五、(本题0分)

22.如图，四边形48曲中，/CJ■被垂足为点£,点尸，"分别是48,%的中点，刚平分N

ABE交AM于热N,AB=AC=BD,连接脏

(1)判断线段腑与线段阴的位置关系与数量关系，说明理由；

(2)如果CD=5,求AF的长.

理由如下：•.=4C,点〃是8c的中点,

C.AMLBC,AM平分NBAC,

■:BN平分ZABE,

：.NEBN=NABN,

■:ACLBD,

：.ZAEB=90°,

；.NEA由NEBA=9Q°,

:.ZMNB=NNA由NABN=L

(NEA拼NEBA)=45°,且AMLBC,

2

:.NMBN=45°=ZMNB,

：.MN=BM\

(2)连接项

D

C

•点尸，"分别是48,SC的中点，

：.FM//AC,FM=^AC,

'：AC=BD,

：.FM=—BD,即里上

2BD2

由（1）知△网V是等腰直角三角形,

：.MN=BM=—BC,即典小，

2BC2

.FMMN

••丽荻，

,：AMS.BC,

：./NMPr/FMB=qQ°,

•:FM"AC,

：.ZACB=ZFMB,

•：ZCEB=90°,

:.NAC及NCBD=9Q°,

：.ZCBD^ZFMB=9Q°,

：.ZNMF=ZCBD,且更

BDBC

：.AMFN^4BDC,

.FNMN10a

••-=---=-,_EL6L/=O,

CDBC2

：.FN=—.

2

六、（本题10分）

23.某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元

销售.经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数

关系，其图象如图所示.

(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润，(元)最大？最大利

润是多少？

(3)若商店票使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量乂件)

的取值范围.

解：(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=k/b,

将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：!llJl)-30k+

[70=45k+b

故函数的表达式为：y=-2A+160;

(2)由题意得：w=(x-30)(-2/160)=-2(x-55)2+1250,

V-2<0,故当xV55时，w随x的增大而增大，而30W后50,

.•.当x=50时，w有最大值，此时，片1200,

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元：

(3)由题意得：(x-30)(-2A+160)>800,

解得：40W后50,

每天的销售量y=-2A+160>20,

...每天的销售量最少应为20件.

七、(本题12分)

24.%中，AC=BC,a,点〃是平面内不与点力和点8重合的一点，连接见

将线段外绕点〃顺时针旋转a得到线段班连接点、BE、CD.

(1)如图①，点。与点/在直线及?的两侧，a=60°时，处的值是1;直线〃'

CD

与直线必相交所成的锐角的度数是60度；

(2)如图②，点。与点/在直线%两侧，a=90°时，求坦的值及直线与直线微

CD

相交所成的锐角N4后的度数;

(3)当a=90°,点〃在直线45的上方，心胸=告必胸，请直接写出当点C、D、£■在同

备用图

解：(1)如图1,延长CD交于热H,

•.•将线段如绕点。顺时针旋转a得到线段DE,

：.DE=BD,ZBDE=60°,

・•・△切均是等边三角形，

：.BD=BE,ZDBE=60°,

•・•△/仍是等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZDBE=60°,

:・NABE=NCBD,且BE=BD,AB=BC,

:.XABE9ACBD(SAS)

：.AE=CD,2DCB=NBAE,

・・*AE~-~Ia

CD

TN%份N4fiff=120°,

:■NBARNC2NACB=,20Q,

:.NCA&NAC济NBCD=,20。

:・NCA&ACH=,20°,

：.ZAHB=60°,

故答案为：1,60.

(2)'：AG=BC,N4田=90°,

：.AB=-/2BC,ZABC=45°,

•.•将线段比绕点。顺时针旋转90°得到线段DE,

：.DE=BD,NBDE=9Q°,

：.BE=^BD,NDBE=45°,

，2DBE=AABC,

•••—侬且,3=罂

工AABESRCBD,

嚼喘=圾，2BAE=/BCD,

LUCD

■:N班/N4C3=135°=NACHNCAM^NBAE,

：.ZACB^-ZG4>ZBCD=ZCAM^AACM=135°,

・・・N4«=45°;

(3)若点。点力在直线86两侧，如图3,分别取47,8c中点G,H,连接明

图3

=

•*S^ABD~~S^ABC9

••点。在直线GH上,

:NACB=NBDE=9N,AC=BC,DE=BD,

ZCAB=ZCBA=45°,2DEB=NDBE=45°,BE=-^BD,

.•点G,点，分别是AC,阿的中点，

GH//AB,

,.ZDHB=NABG=45°,

.•点C、E、〃三点共线，

\NCDB=90°,且点〃是回中点，

DH=CH=BH,

：.ZHCD=ZHDG,且NHC讣NHDC=NBHD=45°,

：.ZHCD=ZHDC=22.5°,

VZBED=ZBCB-