2023-2024学年长春市八中高二数学（下）第一次月考试卷附答案解析

-2024学年长春市八中高二数学（下）第一次月考试卷考试时间：120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a14等于()A．46B．48C．50D．522．下列式子求导正确的是（

）A． B．C． D．3．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋14．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（

）A．1348 B．1358 C．1347 D．13575．设函数的导数为，且，则（

）A． B． C． D．6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（

）A． B． C．8 D．7．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为()A．0 B．1 C．2D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如图所示的散点图，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，样本相关系数为r1，决定系数为Req\o\al(2,1)；经过残差分析确定(168,89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对数据计算得到经验回归直线l2的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，样本相关系数为r2，决定系数为Req\o\al(2,2).则以下结论中正确的有()A.eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2B.eqB.eq\o(b,\s\up6(^))1>eq\o(b,\s\up6(^))2C．r1<r2 D．Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)10．下列不等式恒成立的是()A．ex≥x＋1B．lnx≤x－1C．sinx≤x D．ex≥2x＋111．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若，则数列为递增数列D．若数列为等差数列，，则最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列的前n项和为，，，则.13．为各项非零的等差数列，其前项和为，若对任意正整数，均有，则的通项公式bn=;数列的前项和．14．若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数.(1)求曲线与直线垂直的切线方程；(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.16．（15分）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.17．（15分）某企业2024年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2024年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2025年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2025年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2025年起的第n年(以2025年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2025年起的第n年(以2025年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2025年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?18．（17分）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：满意不满意合计男性1050女性60合计120(1)请将列联表补充完整，试根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？(2)若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列；(3)在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若在点处的切线方程为，若对任意的恒有，求的取值范围（是自然对数的底数）．一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.C2.C2.C3.B4.C5.B6.A7.D8.B二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）9.AC10.AB11.BC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.13.（2分）;（3分）14.(－∞，－e]1．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a14等于()A．46B．48C．50D．52答案C解析由题意得aeq\o\al(2,3)＝a2a6＝(a3－4)(a3＋3×4)，解得a3＝6，所以a14＝a3＋11×4＝50.2．下列式子求导正确的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的运算公式分别求导数即可，注意A中的余弦函数的导数公式，B中的分式求导可转化为幂函数求导，C中注意求导要用到复合函数的求导法则，D中的是常数，求导为零，不同于在时导数值.【详解】∵，∴，由，可得，，∵是常数，而常数的导数为0，∴，故选：C3.数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1答案B解析∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.4．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（

）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357【答案】C【解析】由题意可知，得数列是周期为3的周期数列，前3项和为，又，由此可得答案【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列为，所以数列是周期为3的周期数列，前3项和为，因为，所以数列的前2020项的和为故选：C5．设函数的导数为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先求函数的导数，令求出即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求.【详解】由表格数据知：，，因为数对满足，得，∴，即，∴，∴x＝35时，.故当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为.故选：A.7．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意，可得在上恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.【详解】因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即，又当时，函数，在时取得最大值4，所以，所以的最小值为4.故选：D．8．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析f′(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)，设x0为函数f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，则1＋lnx0－eq\f(2,x0)＝eq\f(f2－f1,2－1)＝0，令g(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)，1≤x≤2，则g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)>0在[1,2]上恒成立，故g(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)在[1,2]上单调递增，又g(1)＝1－2＝－1<0，g(2)＝1＋ln2－1＝ln2>0，由零点存在定理可得，存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.9(多选)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如图所示的散点图，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，样本相关系数为r1，决定系数为Req\o\al(2,1)；经过残差分析确定(168,89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对数据计算得到经验回归直线l2的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，样本相关系数为r2，决定系数为Req\o\al(2,2).则以下结论中正确的有()A.eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2 B.eq\o(b,\s\up6(^))1>eq\o(b,\s\up6(^))2C．r1<r2 D．Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)答案AC解析身高的平均数为eq\f(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182,10)＝173.5，因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2，eq\o(b,\s\up6(^))1<eq\o(b,\s\up6(^))2，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以r1<r2，Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，所以C正确，D错误．10(多选)下列不等式恒成立的是()A．ex≥x＋1 B．lnx≤x－1C．sinx≤x D．ex≥2x＋1答案AB解析对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确；对于B，设g(x)＝lnx－x＋1，x>0，g′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝0，即lnx≤x－1，故B正确；对于C，当x＝－eq\f(π,2)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，此时sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))>－eq\f(π,2)，故C错误；对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误．11．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若，则数列为递增数列D．若数列为等差数列，，则最小【答案】BC【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得.【详解】对于选项A，，，，，不满足是等差数列，故选项A错误；对于选项B，当时，，当时，，因为时也满足上式，所以，则，所以是等比数列，故选项B正确；对于选项C，因为，所以，因为，所以，因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确；对于选项D，设数列的公差为，因为，所以，即，当时，没有最小值，故选项D错误.故选：BC．三、填空题12．已知数列的前n项和为，，，则.【答案】【分析】由求得，求出，由等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意得，又，则，故数列是以6为首项，为公比的等比数列，则.故答案为：.13．为各项非零的等差数列，其前项和为，若对任意正整数，均有，则数列的前项和．【答案】【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质求出，得到，再利用错位相减法求解即可.【详解】∵为等差数列且，∴，又，∴，∴，①，∴②，由①②，得，，．故答案为：14．若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－e]解析由题意知，f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，得a≤(－ex)min，又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，所以(－ex)min＝－e，所以a≤－e.15．已知函数.(1)求曲线与直线垂直的切线方程；(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.【答案】(1)(2)或5【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.【详解】（1）因为斜率为，所以，所以，又.所以所求切线方程为，即.（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，则则，整理得，所以，所以或5.16．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.17．某企业2024年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2024年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2025年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2025年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2025年起的第n年(以2025年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2025年起的第n年(以2025年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2025年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?【答案】(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和(2)是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论【详解】(1)由题意得是等差数列，所以由题意得所以所以是首项为250，公比为的等比数列所以所以(2)是数列的前项和所以是数列的前项和减去600，所以(3)易得此函数当时单调递增且时时所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.18．2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：满意不满意合计男性1050女性60合计120(1)请将列联表补充完整，试根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？(2)若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列；(3)在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，根据小概率值α=0.10的独立性检验，没有充分证据证明零假设不成立，即不能认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”（或直接说无关）(2)分布列见解析；(3)2【分析】（1）先完善列联表，计算出，结合临界值表即可求解；（2）先求出抽到男性家长