湖南省长沙市雅礼教育集团2019-2020年高二上学期期中数学试题

雅礼教育集团2019年下学期高二期中考试数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：，，则A.：， B.：，C.：， D.：，【答案】D【解析】【详解】由含量词的命题的否定可得选项D成立．选D．2.某小礼堂有排座位，每排个座位.一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下了座位号是的名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（）A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.系统抽样【答案】D【解析】【分析】依据一定的抽样距离，从总体中抽取样本称为系统抽样或等距抽样，根据题意即可知正确选项.【详解】有排，每排个座位，留下座位号是的名学生，即是等间距抽取样本，所以抽样方法为系统抽样.故选：D3.在等比数列中，，公比.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】，因为，所以有，又因为，，所以.故选：C4.若某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列举法列出三人中两人被录取的所有可能，再求出甲被录用的情况，从而利用古典概型的概率公式可求得结果【详解】解：由于甲、乙、丙三人被录用的机会均等，所以甲、乙、丙中录用二人的所有情况有：甲乙，甲丙，乙丙，共3种情况，其中甲被录用有甲乙，甲丙，共两种情况，所以所求概率为，故选：A5.若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此要想关于的不等式在区间上恒成立，只需.故选：B6.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特征，结合椭圆焦距公式进行求解即可.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以有，因为该椭圆的焦距为，所以有.故选：B7.若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：作出表示的平面区域如图所示：由图可知，直线过点时，取最大值.考点：线性规划.8.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【解析】【详解】函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.9.已知倾斜角为直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.弦的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件写出直线的方程，与抛物线联立，求得，再利用抛物线的定义，由求解.【详解】因为直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，所以直线的方程为：，与抛物线联立得：，所以，所以，故选：B10.函数的零点的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.【详解】由得,在同一坐标系下画出函数的图像，如图所示，，从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点.故选D【点睛】本题主要考查函数的零点的个数，考查三角函数的图像和对数函数的图像，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知实数满足是关于的方程的两个实根，则不等式成立的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造，若成立有，结合已知条件得到可行域，进而根据几何概型求概率即可.【详解】令，由题意要使成立，则有，∵，即如下图示∴成立的概率即为上图中阴影部分面积占正方形面积的比例为.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，根据方程根的范围得到不等式组，结合已知确定可行域范围，再应用几何概型求概率.12.已知分别为的左、石焦点，为双曲线右支上任一点，若最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义得到，则，利用基本不等式得到时，取得最小值，然后设，由，得到结合求解.【详解】由双曲线的定义得:，所以，所以，当且仅当，即取等号，设，又因为，所以，所以，又，所以，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设为圆上的动点，是圆的切线，且，则_______．【答案】【解析】【分析】根据是圆的切线，则，由求解.【详解】如图所示：由图知：，又，所以，故答案为：14.设双曲线的渐近线方程为，则的值为_______．【答案】4【解析】【分析】由双曲线可知其渐近线方程为，从而可求出的值【详解】解：由双曲线可得其渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，故答案为：415.过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的斜率为______．【答案】【解析】【分析】左、右焦点分别为，，由题设知周长，共线时周长最大，即直线过和即可求斜率.【详解】由题意知：左、右焦点分别为，，则，∴周长，又∵当且仅当共线时等号成立，∴，即直线过，，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：由周长，利用三角形两边和大于第三边、三点共线时线段最短可知共线时周长最大求斜率.16.已知球是棱长为1的正方体的外接球，为棱中点，现在棱和棱上分别取点，，使得平面与正方体各棱所成角相等，则平面截球的截面面积是__.【答案】.【解析】【分析】首先证明，分别为对应棱的中点，再证明平面，求出的中点到与平面的交点的距离，再由勾股定理求得截面圆的半径，则答案可求.【详解】正方体中，是棱中点，，分别为棱，上任意点，正方体中，有，，若平面与正方体各棱所成角相等，只需平面与，，所成角相等即可，所以四面体中，，，与面所成角相等，设，，过作面，如下图所示：与面所成角为，与面所成角为，与面所成角为，则，，，由所成角相等，得，即，，分别为，，的中点，，，故面面，连接，，，，，在正方体中，，又平面，，而，平面，则平面，，平面，则，同理，，且，平面，平面，球是正方体的外接球且正方体棱长为1，为的中点，，设面，则截面圆圆心且面，，因此，设截面圆的半径，为球的半径，则，，故，截面面积为.故答案为：.【点睛】本题考查多面体外接球及其有关计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题：实数满足，命题：实数满足.（1）若，若同为真命题，求实数的取值范围.（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先代入化简两个命题，再根据、同为真命题求解；（2）先化简两个命题，再根据是的充分不必要条件得到是的充分不必要条件，再利用集合间的包含关系进行求解.【小问1详解】解：当时，可化为，解得；由，得，即，若、同为真命题，则，解得，即实数的取值范围为.【小问2详解】解：当时，可化为，解得；则：，：；因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，则且，即，即实数的取值范围为.18.设是等差数列的前项和，已知.（1）求；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的公差为，由，利用“”法求解.（2）由（1）知，得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，则，，，.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．19.在中，角所对边分别为，且.（1）求角；（2）若，的面积为为的中点，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将中边化为角，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角；（2）结合（1）可得为等腰三角形，可求得，再由面积可求出，再在中利用余弦定理可求出的长【详解】（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以；（2）因为，为等腰三角形，且顶角，故所以在中，由余弦定理得，所以.20.在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离大2，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，根据动点满足的几何性质得到，化简后可得轨迹方程．（2）轨迹由抛物线和射线构成，故直线与抛物线有两个交点或与抛物线、射线各有一个交点，联立直线方程和抛物线线方程后利用判别式可求的取值范围．【详解】（1）设轨迹上的动点，则由题意，，∴，∴轨迹的方程为．（2）轨迹与直线有两个交点，等价于①直线与，各有一个交点或②直线与有两个交点，且与没有交点，由得，由①得此方程有两个相等的根即，∴．由②得：当时，方程有两个不等非正根，故，∴，∴直线与轨迹恰有二个公共点时的范围是【点睛】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：（1）直接法：根据动点满足的性质得到动点满足的方程，化简后可得动点的轨迹方程，注意检验方程上的解是否都在曲线上；（2）间接法：有定义法，即根据动点满足某个曲线的几何定义直接得到曲线的方程；还有动点转移即设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；21.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过吨时，按元/吨计算水费;若用水量超过吨且不超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费;若用水量超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了户居民的月用水量(单位:吨)，将数据按照分成组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（1）试估计户居民每月用水量的平均数和中位数；（2）如图2是该市居民李某2019年1~6月份的月用水费(元)与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是，若李某2019年1~7月份水费总支出为元，试估计张某7月份的用水吨数.【答案】（1）平均数，中位数为吨；（2）吨.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中平均数与中位数的计算方法计算即可；（2）根据样本中心点过回归方程得前6个月水费的平均数为，进而得7月份的水费为元，再根据居民月用水量吨与相应的水费元之间的函数关系式即可得张某7月份的用水吨数.【详解】（1）可估计全市民用水价格的平均数的平均数为，由于前组的频率之和为，前组的频率之和为，故中位数在第组中，设中位数为吨，则有，所以即所求的中位数为吨；（2）设李某2019年1~6月份的月用水费(元)与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元，设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则即当时，，所以李某7月份的用水吨数约为吨.【点睛】本题考查频率分布直方图计算平均数，中位数，根据回归直方图估计样本数据.本题第二问解题的关键在于先根据样本中心点过回归直线方程得前6个月水费的平均数为，进而得7月份的水费为元，再结合居民月用水量吨与相应的水费元之间的函数关系式即可求解，是中档题.22.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)点是曲线与轴正半轴的交点，点、在曲线上，若直线、的斜率分别是、，满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得，由可求得，从而，从而可得，从而可得三角形面积的最大值．【详解】（1）由题意得圆的圆心为，半径为，点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切．设动圆半径为，则.因为动圆经过点，所以,>,所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆.设椭