专题2.1复数的概念（七个重难点突破）

专题2.1复数的概念知识点1数系的扩充及复数的有关概念1.复数的有关概念（1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且.（2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集.（3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部.2.数系的扩充3.复数相等若,则复数与相等的充要条件是且.4.复数的分类（1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.这样,复数可以分类如下:重难点1复数的概念1．下列命题正确的个数是（

）①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.A．1 B．2C．0 D．3【答案】B【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③.【详解】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B2．给出下列命题：①若R，则是纯虚数；②若R且，则；③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于.其中正确命题的序号是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】D【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数，在①中，若，则不是纯虚数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误；在④中，i的平方等于，④正确.故选：D3．已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】由已知可得，即，解得或，因此，实数a的取值范围是．故选：B.4．（多选）下列命题中正确的是（）A．若x是实数，则x是复数B．若z是虚数，则z不是实数C．复数与（R）不可能相等D．没有平方根【答案】ABC【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得.【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确；对于D，因为的平方根为，D错误．故选：ABC5．给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；④以2为实部的复数有无数个．其中真命题是.（填写序号）【答案】④【分析】根据复数的概念一一分析即可.【详解】①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；②若，则ai不是纯虚数，故②为假命题；③纯虚数集相对复数集的补集不是虚数集，因为复数中还包含实数，则③为假命题；④对于复数，a有无数个取值，故④为真命题．故答案为：④.6．以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为．【答案】/【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.【详解】因为的实部为，的虚部为，故所求复数为．故答案为：重难点2复数的分类7．已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：.【答案】【分析】根据复数的分类即可求解.【详解】由，解得，故.故答案为：8．已知x是实数，则“复数是纯虚数”的充分不必要条件是“”.【答案】（或）【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.【详解】由于复数是纯虚数，所以，即或，所以“复数是纯虚数”的充分不必要条件是“”（或“”）.故答案为：（或）.9．已知，其中，，则的值为.【答案】0【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可.【详解】由z1>z2，得，即，解得.故答案为：010．实数m取什么值时，复数是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数是实数，则求解；（2）根据复数是虚数，则求解；（3）根据复数是纯虚数，则求解；【详解】（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当且，即时，复数z是纯虚数．11．在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？【答案】答案见详解【分析】根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解【详解】由复数的分类，对于复数当时，为实数；当时，为虚数；当时，为纯虚数.故在上述复数中，0，为实数；，，，为虚数；为纯虚数对于，实部为1，虚部为2；对于，实部为0，虚部为；对于，实部为，虚部为；对于，实部为，虚部为12．已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围．【答案】.【分析】根据为实数，求得恒成立，再借助半角公式，以及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.【详解】∵是实数，，，∴，即恒成立．又，，，∴，∴，∴当时，不论为何值，总存在使得是实数，故的范围为.重难点3复数相等的充要条件13．已知为虚数单位，为实数，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由复数相等可列出方程组求解.【详解】由题意，所以，解得，所以.故选：D.14．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.【详解】因为，所以，所以，所以，因此所选方程的两根为，仅有符合要求，故选：A.15．定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是.【答案】/i2【分析】先根据复数相等得到，求出和转置复数.【详解】由，得，所以复数，故复数的转置复数是.故答案为：16．已知复数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.【详解】复数，且，所以，则因为，所以，当时，，当时，所以的取值范围是.故选：B.17．已知，，若，求实数的值．【答案】1或2．【分析】由题可得或．然后根据复数相等的条件即得.【详解】因为，所以，所以或，由复数相等的充要条件得或，解得或，所以实数的值是1或2．18．分别求满足下列条件的实数x，y的值．(1)；(2).【答案】(1)；(2)x＝3.【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答.【详解】（1）因x，y∈R，，则有，解得，所以.（2）因x∈R，，于是得，解得，所以.知识点2复数的几何意义1.复平面实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.2.复数的几何意义（1）复数一一对应复平面内的点.（2）复数一一对应平面向量.实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.①复数的几何意义：②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即共轭复数（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.（2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则.（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即.重难点4复数与复数坐标19．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.故选：D.20．在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是．【答案】【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点对应的复数．【详解】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为，因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为，因为与关于轴对称，所以．即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是．故答案为：.21．复数对应的点在第四象限，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论.【详解】因为复数对应的点在第四象限，则，因此，角是第二象限角.故选：B.22．求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可；（2）根据复数的概念列式求解即可；（3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可.【详解】（1）因为复数是实数，所以，所以；（2）因为复数是纯虚数，所以，所以；（3）复数在复平面中对应的点为，因为该点位于第三象限，所以，所以.23．复平面内表示复数的点为．(1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；(2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围；(3)当点位于直线上时，求实数的值．【答案】(1)，虚部为(2)(3)或【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；（2）根据复数的几何意义列式计算；（3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求.【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为．（2）依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限．（3）依题意得当，即或时，点位于直线上．重难点5共轭复数24．已知（虚数单位），则的共轭复数的虚部为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据共轭复数定义得，即可确定虚部.【详解】由题设，故其虚部为3.故选：C25．复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义和共轭复数定义解题即可.【详解】z在复平面对应的点是，根据复数的几何意义得，由共轭复数的定义可知.故选：D26．已知复数，则的共轭复数对应的点位于复平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据题意求，进而结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则，所以复数对应的点为，位于复平面的第一象限.故选：A.27．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据共轭复数的概念，即可求得答案.【详解】因为与互为共轭复数，所以，，所以，故选：C.28．（多选）下列说法正确的是（

）A．复数和其共轭复数都是成对出现的B．实数不存在共轭复数C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称D．复数和其共轭复数的模相等【答案】AD【分析】利用共轭复数的概念逐一判断.【详解】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确；对于B：实数的共轭复数是他本身，错误；对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误；对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确.故选：AD.重难点6复数的模及其应用29．已知复数z满足，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【分析】求出，再求可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C.30．若，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据复数的模即可得到方程，解出即可.【详解】因为，所以，所以．故选：D.31．已知复数，则满足的所有不相等的复数z之和的虚部为（

）A．1 B．i C．2 D．2i【答案】C【分析】根据复数模的运算列不等式，由此求得符合题意的，进而求得正确答案.【详解】依题意，，所以，所以或，所以所有不相等的复数z之和的虚部为.故选：C32．（多选）若(为虚数单位)，其中是实数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先根据复数相等的定义求出，再根据复数的模的计算公式计算即可.【详解】，则由已知，得，所以，解得，所以．故选：BCD．33．(多选)已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AC【分析】运用复数的模长公式直接求解【详解】依题意可得，解得m＝1或m＝3.故选：AC34．若复数满足，且是纯虚数，则复数.【答案】或【分析】设，然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数.【详解】设复数，则，因为复数满足，且是纯虚数，所以，解得，或，所以复数或，故答案为：或重难点7复数与复平面内向量的关系35．在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解得到答案．【详解】由复数的几何意义知：，，，∴．故选:D．36．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为．【答案】【分析】首先求出和的坐标，从而求出的坐标，即可得解.【详解】因为复数与所对应的向量分别为和，所以，，所以，即对应的复数为.故答案为：37．在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得