第09讲直角三角形全等的判定

第9讲直角三角形全等的判定【知识点睛】“HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法对于直角三角形全部适用，故两直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【类题训练】1．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL即可直接得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选：C．2．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；D、无法判定，错误，故选：D．3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°【分析】根据∠C＝90°，AD＝AC，且AE＝AE，求证△CAE≌△DAE（HL），∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．4．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．5．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ（不考虑PQ＝0的情况），当点P运动到AP＝5或10，△ABC与△APQ全等．【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．6．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，连接AO，则图中有5对全等的直角三角形．【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．【解答】解：∵高BD、CE交于点O，∴∠AEO＝∠ADO＝90°，图中的全等的直角三角形有：①在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴∠ABO＝∠ACO，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠CBO＝∠BCO，∴OB＝OC；②在△AEO与△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（AAS），③在△BOE与△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；④在△BCE与△CBD中，，∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有4对．⑤在△AOB与△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．共有5对．故答案为：5．7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③（填入序号）①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案为：①②③．8．在课堂上，老师发给每人一张印有Rt△A'B'C'（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt△ABC，使得Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．小赵和小刘同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．老师评价：他俩的做法都正确．请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据．我选小刘的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是SAS．【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理．故答案为：小刘，SAS．9．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE＝∠EBC＝90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE＝BC，∵AD+BC＝7，∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．故答案为7．10．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后，△CAP与△PQB全等．【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12（m）≠AC，即可得出结果．【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．11．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连接AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12或2或cm．【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解答】解：当P在A点的右侧时，AC不可能等于AQ，要使三角形全等，只能AC＝AB要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12（cm），当P在A点的左侧时，若AC＝AQ（即C，Q重合），可得AQ长为2；若AC＝AB，可得AQ长为，故答案为：12或2或．12．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．【分析】根据题意可得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．【解答】解：添加条件AB＝ED，证明如下：在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．13．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．15．如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．【分析】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都为直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的边AC＝BD，再加上公共边DC，利用HL可得三角形ACD与三角形BCD全等，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根据等角对等边可得证．【解答】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义），在Rt△ADC和Rt△BCD中，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∴OD＝OC（等角对等边）．16．如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．【分析】根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等，进而利用全等三角形的性质得出CD＝C'D'，进而利用SAS证明全等即可．【解答】证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，，∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL），∴CD＝C'D'，∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，∴CB＝C'B'，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．【分析】先证明△AED≌△AFD，得出AE＝AF，再证明△ABD≌△ACD得出AB＝AC，从而得出BE＝CF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD．∴AE＝AF，DE＝DF．∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD（HL）．∴BE＝CF．解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明．18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系；（3）当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无需说明理由）【分析】（1）证△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通过等角对等边，得出AB＝AC；（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；则∠OBC＝∠OCB，可证得∠ABC＝∠ACB，根据等角