专题6.4数列求和-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第六章数列专题6.4数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．考点一分组求和与并项求和考点二错位相减法求和考点三裂项相消法求和知识梳理接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).第一部分核心典例题型一分组求和与并项求和1．已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记比较与的大小.【详解】（1）因为，依题意，故，由得，解得或2，因为，所以，，故，其中，故公比，所以；（2），故；（3）所以当时，，当时，，所以，当时，.2．已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和．【详解】（1）当时，，当时，，因为也符合上式．所以．（2）由（1）可知，所以．3．已知数列满足：.(1)求出数列的通项公式；(2)已知数列满足，试求数列前n项和的表达式.【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减得，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，，当时，，当时，恒成立，所以.题型二错位相减法求和4．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【详解】（1）由题意得，即，解得，所以的通项公式为；（2），故①，②，①②得，故.5．已知数列满足，．(1)证明：是等比数列．(2)设，求数列的前n项和．【详解】（1）由，得，所以，又,故是公比为3的等比数列；（2）由（1）得，则，．所以，所以．两式相减，得，所以，解得．6．记为数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【详解】（1）由得，时，所以则，时，①②由得，得，时，也满足，；（2）因为，所以③④由④③得，题型三裂项相消法求和7．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，且其中λ为常数．(1)若数列为等差数列，求；(2)若，求数列的前20项和．【详解】（1）在中，令，得，求得，同理可得，∵数列为等差数列，∴，∴∴，∴公差，∴；（2）由①，得②②①得，又，∴．∴数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差均为λ，且λ=2，又∵，∴，，∴．8．已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，又，所以，故．（2）由（1）可得，，则．9．设数列的前n项和为，若(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：.【详解】（1）因为，当时，，，，，则，又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故.（2）由（1）得，，单调递增，，又，故，综上.第二部分课堂达标一、单选题1．等差数列中，已知公差，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意，在等差数列中，，，.故选：A.2．已知数列的通项公式为（），数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，则数列的前2022项和为.故选：B3．数列的前n项和为，且，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【详解】∵，故故.故选：D.4．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（

）A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【详解】由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.又因为，所以n＝14.故选：B5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，令，则数列的前2023项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，可得且，所以，也满足上式；所以，则.故选：C.6．已知数列满足，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，，所以.故选：C.7．已知数列的前n项和为，若，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【详解】因为的周期为6，且，，所以.故选：B8．已知数列{an}满足：an+1=anan1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【详解】∵an+1=anan1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=1，a5=2，a6=1，a7=1，a8=2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（1）+（2）=1.故选：C.二、多选题9．已知数列满足，，则下列结论正确的是（

）A．为等差数列 B．为递减数列C．的通项公式为 D．的前项和【答案】BD【详解】因为，所以，所以，且，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，可得，故选A，C错误；因为单调递增，所以，即为递减数列，故选项B正确；的前项和，故选项D正确.故选：BD.10．设数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等比数列 B．C． D．的前项和为【答案】AD【详解】选项A，由已知①，当时，可得，当时，②，两式相减得，即，可得数列是为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得，故，故B错误；选项C，因为，故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C错误；选项D，因为，所以，故D正确．故选：AD三、填空题11．=.【答案】【详解】.故答案为：12．记为数列的前n项和，已知则．【答案】/【详解】当为奇数时，，由题意得，，，，故.故答案为：四、解答题13．设数列是公差为的等差数列．（1）推导的前项和公式；（2）证明数列是等差数列．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】解：（1）因为，，所以①，②，①②得，．（2）证明：，当时，，当时，，数列是以为首项，为公差的等差数列．14．已知数列满足，(1)记，求证：为等比数列；(2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以为等比数列；（2）由（1）可知：是2为公比的等比数列，，因此，即，而，所以，当时，，令，所以，两式相减，得，所以，所以，当时，也满足，由设，由，由，当，所以有，，所以，所以，因此实数的取值范围为.15．已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前项和.【详解】（1