梯形经典题型(培优提高)

梯形知识归纳1、梯形的有关概念：梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。2、等腰梯形的性质以及应用：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。3、等腰梯形的判别方法：定义判定，即“两腰相等的梯形是等腰梯形”。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。4、梯形问题常见辅助线做法〔见例题〕5、三角形和梯形的中位线定理：〔1〕三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______．〔2〕梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______．6、梯形的面积：如下图，S梯形ABCD=〔AB+CD〕·DE=________〔用L表示中位线，h表示高〕．在该梯形中，面积相等的三角形有：_____________；_____________；_____________．例题讲解在解〔证〕有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例1：如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例2：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将条件转化到一个三角形中。例3：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=15cm，AC=20cm，高AE=12cm，求梯形ABCD的面积。【变式1】梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，那么另一条对角线长为_____________【变式2】在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，假设AD=2，BC=8，BD=6.求：〔1〕对角线AC的长；〔2〕梯形ABCD的面积.二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例4：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠B=50°，∠A=80°，CD=2，AB=5，求AD的长。【变式1】如下图，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.【变式2】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠C＋∠D=90°，E、F为AB、CD的中点。

三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例5:如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例6：如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。例7：如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。五、作中位线1、梯形一腰中点，作梯形的中位线。例8：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CED=90°，求证：AD＋BC=CD。2、梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例9：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：〔1〕EF//AD；〔2〕。六、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形到达解题的目的。例10：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。课堂练习一、填空题：1、梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下两局部的面积之比为。2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，那么下底角的度数是。3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝600，那么AB的长为。4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝，CD＝，那么AB的长是。5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，那么梯形ABCD的面积是。6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝400，那么∠ACD＝度。7、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，那么当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为.二、选择题：1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，那么对角线所用的竹条至少需〔〕A、cmB、30cmC、60cmD、cm2、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，以下结论：①∠BCD＝600；②四边形EHCF是菱形；③。其中正确的结论有〔〕A、1个B、2个C、3个D、0个3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，那么CD的长为〔〕A、B、C、D、4、如图，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，那么A到BC的距离为〔〕A、12B、13C、10D、85、如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD，那么∠DBC的度数为〔〕A、300B、450C、600D、900三、解答题：如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角.如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数．课下练习1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是〔〕.A.5°B.60°C.45°D.30°2.等腰梯形的高是腰长的一半,那么底角为〔〕.A.30°B.45°C.60°D.90°3.以下命题中，真命题是〔〕.A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形4.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，那么四边形EFGH的周长是〔〕.A.14cmB.15cmC.16cmD.17cm图1图2图35.如图2,等腰梯形ABCD,周长为40,∠BAD=60°,BD平分∠ABC,那么CD的长为〔〕.A.4B.5C.8D.106.以下四边形中，两条对角线一定不相等的是〔〕.A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形7．如图3,等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，那么梯形ABCD的面积是〔〕.A.B.C.D.9.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，如果∠D>∠C，那么AD和BC的关系是〔〕A.AD>BCB.AD=BCC.AD<BCD.不能确定10.腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是〔〕A.30°B.45°C.60°D.75°11.直角梯形两底之差等于高，那么其最大角等于_______.12.如图4，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=CD，那么AC=_______，∠BAD=_____，∠BCD=_____，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为_______．图413.等腰梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有____对.14.在四边形ABCD中AD∥BC，但AD≠BC，假设使它成为等腰梯形，那么需添加的条件是_____________〔填一个正确的条件即可〕15.如图5,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M是AD的中点,过M作AD的垂线交BC于N,那么BN等于_____cm.图5图616.如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，假设∠B=60°，AC⊥AB，那么∠DAC=．17.如图7，在等腰梯形ABCD中AD//BC，AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E=40°，那么∠ACD=____________度.15图7图818.如图8,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相