2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级上学期期中考数学试卷（含详解）

2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（每题4分，共24分）

1.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）

A.1：2000B.1：200C.200：1D.2000：1

2.在中，ZC=90°,已知tanA=‘，BC=a,则A8的长为（）

2

A—aB.2aC.亚aD.—a

25

3------------------------------------------------------------------------------------------------------------.已知△ABC与aA'B'C相似，点A与A，,点B与夕对应，若不-----=~,且△ABC的中线AO

的长为5,则AO的对应中线A'»的长为（）

5

A10B.20C.80D.-

4

4.若Q=2e,向量方和向量。方向相反，月|=2|。|,则下列结论中不正确的是（）

A.\a\=2B.\b1=4C.〃=4eD.a=~-h

2

AH1

5.如图，在正三角形ABC中，点。、E分别在AC、45上，且二不二1，AE=BE,则有（）

A.AAEDS^BEDB.AAED—ACBD

C.&AEDs△ABZ）D.ABADS4BCD

6.如果点O、E、尸分别在边A3、BC、AC上，联结OE、EF,且。E/AC,那么下列说法错误

的是（）

A如果瓦'/MB,那么AF:AC=3£>:Afi

8.如果AD：AS=CE：AC,那么EF//A3

C.如果△£1「（；~Z\84C，那么EF//AB

D.如果族//AB,那么△EFC~z\BAC

二、填空题（每题4分，共48分）

1o

7.已知2=4,那么一“一的值为________.

a3a-\-b

8.己知点P是线段A3黄金分割点（AP>BP）,A8=4,那么AP=__.

3

9计算：1（Q-28）-4匕=.

10.在△ABC中，AB=AC,sinB=—,则NA=.

2

11.如果一个斜坡的坡度为i=l：2.4,那么这个斜坡坡角a的余弦值等于—.

12.如图，正方形OEFG的边EF在AABC的边3c上，顶点。、G分别在边AB、AC上，已知8c长为8

厘米，若正方形。EFG的边长为5厘米，则△ABC的高4H为一厘米.

13.如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB=30米）垂直起飞，飞到

A处悬停，测得大楼底部俯角a=45。，大楼顶部仰角。=60。，则大楼的楼高BC=一米.（结果保留根

号）

14.如图，在△ABC中，C。是边AB上的中线且NAC£）=/2,则△AC。与△ABC的周长比是.

15.如图，在口ABC。的对角线8。上取一点E,延长AE交8c于G,交0c的延长线于F,若DF=2CF,

则aCFG与LBEG的面积比是.

16.如图，在△ABC中，AB=AC,AD±BC,垂足为点。，CE是A8边上的中线，AO与CE交于点F,点

G是△AC。的重心，A8=10,AD=S,则点尸与点G的距离是.

（11

17.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上任意一点A（x,y）,我们把点8称为点A的'‘倒数

2

点”.如图，矩形。C0E的顶点C为（3,0）,顶点E在y轴上，函数y=1（x>0）的图象与£>上交于点

A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OC0E的一边上，则QBC的面积为.

18.如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点尸处安装一平面镜，BC与刻度尺

边MN的交点为£>,从4点发出的光束经平面镜P反射后，在上形成一个光点E.已知

ABLBC,MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

（2）将木条8c绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'（如图2）,点尸的对应点为P,BC与MN

的交点为。'，从A点发出的光束经平面镜产反射后，在MN上的光点为若DD=5,则的长为

三、解答题（第19—22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78

分)

，c、，密2COS230-sin30

19.计算：----------------.

tan-60-4cos45

20.如图，在AABC中，。是AC上点，DE//BC,交.AB于点、E,联结8D,/ABD=NC,DE=4,BC=

9

(1)求：8。的长；

⑵若DE=a，OB=b，用。、•表示

21.如图，在△ABC中，sin/BAC=2，AB=13,4c=7.2,BDLAC,垂足为点。，点E是8。的中

13

点，AE与BC交于点凡

（1）求：NC8Z）的正切；

BF

(2)求——的值.

CF

D

22.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢，伞柄"始终平分同一平面内两条伞

骨所成的角4AC,且AB=4C,从而保证伞圈力能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意

图，此时伞圈。己滑动到点的位置，且A,B,加三点共线，AO'=40cm,B为中点，当

=140。时，伞完全张开.

(1)求A3的长.

(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈。沿着伞柄向下滑动的距离.(参考数据：

sin70°a094,cos70°®0.34,tan70°«2.75)

23.如图，梯形ABC。中，ADUBC,ACLBC,点E是A8中点，联结CE、DE,AC与。E相交于点

F，BE2=EFED-

(1)求证：CE上DE；

(2)求证：AB?=2CDBC.

24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4*7,0）,点8在直线/：尤上且位于第三象

4

限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线/的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C.

（1）设8。与A。相交于点。，

①若BA=BO,求证：CD=CO；

②求：点A到直线/的距离；

（2）是否存在点8,使得以A、B、C为顶点的三角形与以点8、C、。为顶点的三角形相似？若存在，求

。8的长；若不存在，请说明理由.

25.如图，在菱形ABC。中，NABC是锐角，E是边上的动点，将射线AE绕点力按逆时针方向旋

转，交直线于点F.

①求证：AE=AF-.

ppnS

②连结BDEF,若££=*,求qAAEF.的值;

BD50菱形BACD

(2)当/E4F=g/BADH寸，延长8c交射线A尸于点M,延长QC交射线AE于点N,连结

AC,MN,若AB=4,AC=2,则当C£为何值时，是等腰三角形.

2021—2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（每题4分，共24分）

1.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）

A.1：2000B,1：200C.200：1D.2000：1

【1题答案】

【答案】B

图上距离

【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=与不兽」即可求得这幅设计图的比例尺.

实际距禺

【详解】因为2毫米=0.2厘米，

则0.2厘米：40厘米=1：200；

所以这幅设计图的比例尺是1：200.

故选8.

【点睛】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算.

2.在川△ABC中，NC=90°,已知tanA=L,BC=a,则4B的长为（）

2

A.—aB.2aC.非aD.

2

【2题答案】

【答案】C

【分析】先根据三角函数求出AC=23C=2a,再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：；/C=90。，tanA=-,

2

“BC1

..tanA=-----=一,

AC2

AC=2BC=2a，

AB=y/BC2+AC2=y[5a,

故选c.

A

C

【点睛】本题主要考查了三角函数和勾股定理,解题的关键在于能够熟练掌握三角函数的相关知识.

点、B与夕对应，若含"=；，且AABC中线A。

3.已知aABC与△4'B'C相似，点4与A'

的长为5,则的对应中线A'D'的长为（）

5

A.10B.20C.80D.-

4

【3题答案】

【答案】B

C.1AR\rAn1

［分析］根据三角形相似的性质可得周长之比不aARr=7等于相似比丁7=—=丁7=丁：=-

C“BC.4A'B'B'CA'C'A'D'4

AHi

可求对应中线的比丁二=—,把AO代入计算即可.

A'D'4

【详解】解：；AABCS”的。,

.ABBCACAD

~~&C~~^C~A'D''

C1

..MBC=

•CM5C4'

.ABBC_AC_AD

',府一一一一Z

.AD-1

A'D'~4

'：AD=5,

3=!即AD=20.

A'D'4

故选择B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，对应中线的比等于相似比，掌

握相似三角形的性质是解题关键.

4.若Q=2e,向量〃和向量。方向相反，且|力|=2|。|,则下列结论中不正确的是（)

1,

A.\a\=2B.|。|=4C.。=4eD.a=——b

2

【4题答案】

【答案】C

【分析】根据已知条件可以得到：b=-4e,由此对选项进行判断.

详解】A、由a=2e推知|。|=2,故本选项不符合题意.

B、由匕=-4e推知|£>|=4,故本选项不符合题意.

C、依题意得：b=-4e,故本选项符合题意.

。、依题意得：b）故本选项不符合题意.

故选C.

【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向.

An\

5.如图，在正三角形ABC中，点。、E分别在AC、AB上，且——=-,AE=BE,则有（）

AC3

A.AAEDS/\BEDB.AAEDSACBD

C.&AEDSXABDD.XBADS/\BCD

【5题答案】

【答案】B

An1

【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形4BC中，。、E分别在AC、AB上，黑=:，AE=BE,

我们可以分别得到：△诋、△BCD为锐角三角形，&BED、AAB。为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可

能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案.

An1

【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、A8上，—AE=BE,

易判断出：为一个锐角三角形，ABE。为一个钝角三角形，故A错误；

△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；

但△BCD为一个锐角三角形，故。也错误；

故选：B.

【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相

同，排除错误答案，得到正确结论.

6.如果点。、E、尸分别在边A3、BC、AC上，联结。E、EF,且AC,那么下列说法错误

的是（）

A.如果EF//AB,那么

B.如果AD:AB=b:AC,那么族/MB

C.如果△EFC~2\84C，那么砂//AB

D.如果EE//AB,那么

【6题答案】

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例

定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由

平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案.

【详解】如图所示：

A、VDE//AC,EF〃AB,

二四边形ADEF是平行四边形，ABDE^ABAC,

DEBD

・・DE—AF，=-----9

ACAB

AAF：AC=BD：AB；选项A不符合题意；

B、VDE//AC,

AAD：AB=CE：BC,

VAD：AB=CF：AC,

ACE：BC=CF：AC,

・・・EF〃AB,选项B不符合题意；

C、VAEFC^AABC,

・・・NCFE=NCBA,

；.EF与AB不平行，选项C符合题意;

D、VDE/7AC,EF〃AB,

/C=NBED,NCEF=NB,

AEFC^ABDE,选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的

判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共48分)

7.已知e=2,那么，的值为__________.

a3。+人

【7题答案】

【答案】|3

b2

【分析】根据一二一，可设a=3k,则b=2k,代入所求的式子即可求解.

a3

【详解】•・"=］，

a3

・••设a=3k,则b=2k,

3

故答案为：一.

5

【点睛】本题考查了比例的性质，根据2=一，正确设出未知数是本题的关键.

a3

8.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),AB=4,那么AP=—.

【8题答案】

【答案】2君-2##-2+2指

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=91二IAB,代入数据即可得出AP的长.

2

【详解】解：由于P为线段4B的黄金分割点，且AP是较长线段，AB=4,

则”=叵1148=避二1X4=2逐-2.

22

故答案为2逐-2.

【点睛】本题考查了黄金分割的概念.解题关键是熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的

三音，较长的线段=原线段的正二L

22

3

9.计算：—-26)-4匕=___.

【9题答案】

3r「

【答案】-a-lb.

2

【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算.

3333

【详询军】一(a-2b)-4/?=—Q-—x2b-4b=—a-7b.

2222

3

故答案是：-a-7b.

2

【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题.

10.在△ABC中，AB=AC,sinB=—,则NA=.

2

【10题答案】

【答案】90°

【分析】根据三角函数值求出/B,根据等腰三角形的等边对等角可得NB=/C=45。，根据三角形内角和公

式计算即可.

【详解】解：：sinB=在，

2

：.ZB=45°,

•；AB=4C,

：.ZB=ZC=45°,

：.ZA=1800-ZB-ZC=180o-45°-45o=90°,

故答案为90°.

【点睛】本题考查三角函数值求角，等腰三角形性质，三角形内角和，熟练掌握特殊三角函数值，等腰三

角形性质，三角形内角和是解题关键.

11.如果一个斜坡的坡度为i=l：2.4,那么这个斜坡坡角a的余弦值等于.

[11题答案】

1?

【答案】—

13

【分析】根据坡度定义可求tana=-!—=』，设出直角三角形的短边BC=5x,AC=12x,根据勾股定理求出

2.412

22

斜边AB=y/AC+BC=J(12x)2+(5"=n%,根据锐角余弦定义求值即可.

【详解】解：；i=l：2.4,

15

・・tancc=---二—,

2.412

设BC=5x,AC=12x,

在RtAABC中，AB=y/AC2+BC2='(⑵y+⑸?=13x，

AC12x12

cosa=---=----=——

AB13x13

故答案为u.

13

【点睛】本题考查坡度问题，掌握坡比与坡度，坡角的关系，能根据坡比设比例分数的方法求出斜边，锐

角三角函数定义是解题关键.

12.如图，正方形。EFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点。、G分别在边AB、4c上，已知BC长为8

厘米，若正方形OEFG的边长为5厘米，则aABC的高AH为一厘米.

【12题答案】

40

【答案】一

3

【分析】由DG〃8c得△AOGs/viBC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解.

【详解】解：设三角形A8C的高AH为x厘米.

由正方形。EFG得，DG//EF,B|JDG//BC,

VAH1BC,

：.AP±DG.

由DG//BC^/\ADG^/\ABC

•APDG

"~AH~~BC

•：PH1BC,DEIBC,

:.PH=ED,AP^AH-PH,

•••8C长为8厘米，若正方形。EFG的边长为5厘米，

.x-55

T-8r

解得x=¥.

3

40

即AH为一厘米.

3

40

故答案为：--.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列

方程.

13.如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB=30米）垂直起飞，飞到

A处悬停，测得大楼底部俯角a=45。，大楼顶部仰角「=60。，则大楼的楼高BC=米.（结果保留根

【13题答案】

【答案】30+3073##3073+30

【分析】过A点作交2c于。点，根据题意得到四边形AP5O是正方形，求出DB的长度，然后根

据仰角。=60。的三角函数值和40=30求出OC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度.

【详解】解：如图所示，过A点作AOJ_BC交BC于0点，

•••NP=90°,/PBD=9Q0,ZAZ)3=90°,

四边形AP8O是矩形，

又：ZZMB=45°,

ZABD=45°,

；•AD=BD，

四边形APB。是正方形，

/.AD=BD=PB=30,

,/ZC4D=60°,

•••CD=AZ).tanACAD=30x百=30G，

/•BC=60+CD=3O+3OG

故答案为：30+3073.

【点睛】此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AO,根据三角

函数值求解.

14.如图，在△4BC中，C。是边AB上的中线且N4CO=NB,则△AC£＞与△ABC的周长比是___.

【答案】①

2

【分析】利用两组角相等得到.ACD-ABC,设AO为x根据比例关系得到相似比，根据相似比等于周

长比得到答案.

【详解】解：NA=/A,

.".△ACD^AABC,

.ACAD

••,

ABAC

；CO是边AB上的中线，

.♦.设AD=x,AB=2x,可得AC?=A8XA£)=2X2,

AC-y/2x>

.AC叵x41

••=-----=f

ABlx2

.♦.△AC。与△ABC的周长比是走.

2

【点睛】本题考查是相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的比例关系求出相似比是本题的关键.

15.如图，在。ABC。的对角线3。上取一点E,延长AE交5c于G,交OC的延长线于凡若DF=2CF,

则ACFG与aBEG的面积比是___.

【15题答案】

【答案】3:1

【分析】易证△FGC也ZiAGB,则S^FGC=SAAGS，由△BGEsAAED,可得出GE与AE的比例关

系，由△8GE'与八钻石同底不等高，则面积之比等于底边之比，由此可得△8GE与ZX/LBE的面积比,

即可得出结论

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形

:.AB=CD,BC=AD

DF=2CF

.-.AB^CD^FC

AB//CD

NF=/BAG

,ZAGB=/CGF

.-.△AG^AFGC

BG=CG=-AD

2

BC//AD

:.△BGEsRDAE

.GEBG1

"AE-AD-2

GE

,7G"3

-S&AGB：S&BEG=3:1

△AGBdFGC

一S»GC'S^BEG=3：1

故答案为3：1

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，以及三角形面积的求法和全等三角形

的判定等知识.

16.如图，在AABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点£),CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F,点、

G是△AC£)的重心，A8=10,AO=8,则点F与点G的距离是____.

【16题答案】

【答案】2

【分析】设直线AG与BC的交点为4,先由勾股定理和三线合一定理求得8=6,再由重心的性质即可得

A(ZAp7FG4/77

到"~~-=-_•=一，从而可证明△用GSZ^OA”，得到——=一，由此求解即可.

AHAD3DHAD3

【详解】解：设直线4G与BC的交点为H,

"：AB=AC,ADLBC,

:.CD=BD,ZADB=90°,。是8c的中点

；•BD=7AB?-AD?=6，

CD=6,

：CE是AB边的中线，AO是8c边的中线，A。与CE交于£

；.尸是aABC的重心，

...AF:FD^2:l,

.AFAF2

"~AD~AF+FD-3'

；G为△ACO的重心,

DH」CD=3

2

AG2AFAF_2

••.同理可得=—>

AH3^D~AF+FD~3

*AGAF2

•(——,

AHAD3

又项G=ND4H,

：./\FAG^^\DAH,

FGAF2

•«----==一,

DHAD3

FG=^DH=2,

3

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键

在于能熟练掌握重心的性质.

11）

17.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x,y）,我们把点B称为点A的“倒数

点”.如图，矩形OCOE的顶点C为（3,0）,顶点E在y轴上，函数y=1（x>0）的图象与OE交于点

A.若点B是点A的“倒数点”，且点8在矩形OCDE的一边上，则QBC的面积为一

【答案】人1或士3

42

【分析】根据题意，点8不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边。E上时；②当点B在

边CC上时；分别求出点8的坐标，然后求出.O3C的面积即可.

【详解】解：根据题意，

（11A

•.•点称为点A（x,y）的“倒数点”，

XH0,y。0,

，点B不可能在坐标轴上；

2

•.•点A在函数y=1（x>0）的图像上，

设点A为（X,2）,则点8为（工,为，

xx2

•••点C为（3,0）,

OC=3,

①当点B在边DE上时；

点4与点8都在边OE上，

•••点A与点B的纵坐标相同，

2x

即—=—,解得：=2,

x2x

经检验，x=2是原分式方程的解;

•••点B为

2

13

.OBC的面积为：S=-x3xl=-

22;

②当点B在边C。上时：

点B与点C横坐标相同，

一二3,解得：x——，

x3

经检验，x=，是原分式方程的解；

3

・,•点3为（3,，）,

的面积为：S=-x3x-=-；

264

13

故答案为：一或一.

42

【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关

键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析.

18.如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条2c上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺

边MN的交点为力，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知

AB±BC,MN±BC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

E,

BP

（1）的长为.

（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到8C'（如图2）,点P的对应点为P,BC与MN

的交点为。'，从A点发出的光束经平面镜产反射后，在MN上的光点为若DD=5,则的长为

【18题答案】

23

【答案】13②.—

2

【分析】（1）由题意，证明△ABPS^MP,根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；

(2)过A作/交N8延长线于H,过E作£户_LBN于尸，设E'D=x,E'D'=5+x,在Rt&BDN中，由勾

股定理。'8=12,~^1EAABHSABD'DSAE'DFAH=6,BH=2.5,E'F=6Q+12a,FD'=25+5a,从

1313

A点发出的光束经平面镜产反射后，在MN上形成一个光点？.△AHPS/XE'FP、

6_6.5

60+12尤="25+5x,解得x=1.5.

1313

【详解】解：⑴由题意,

•/ABLBC,MNLBC,

...ZABP=NEDP=90°,

V从A点发出的光束经平面镜P反射后，在"N上形成一个光点E.

；•ZAPB=/EPD,

：.ZsABPs△&)/>,

.ABBP

"~ED~~DP'

加6.54

即一=，

ED8

Z.ED=13；

故答案为：13.

(2)过A作交NB延长线于“，过?作Dr_L8N于尸，设ED=x,E7T=5+x,

在RtABDN中,

：80=12,DD'=5,

由勾股定理D^yjBD2+DD'2=V122+52=13，

,:ZAHB=ZABD=ZE'FN=ZBDD'=90°,

：.NABH+NDBD'=NDBD'+NDD'B=AFE'U+ZE'D'F,

：.ZABH=ZBD'D=ZE'D'F,

：.丛ABHsXBD'DSAE'D'F,

.ABAHBHE'D'E'FFD'

••丽一茄一访‘~B^~~BD~~D5'

.6.5_AHBH5+xE'FFD'

AH=6,BH=2.5,E'F—60+12x,FD'=25+5x

1313

••・从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在上形成一个光点E'.

•••ZAP'H^ZE'P'F，

：./XAHP'^/XE'FP',HP'=HB+BP=2.5+4=6.5,P'D'=BD'-BP'=13-4=9,

25+5x

P'F=P'D'-FD'=9-

13

66.5

A1-1=p'H

---即60+12%-八25+5x

E'FP'F—9------------

1313

解得x=1.5,

经检验户1.5是方程的解，

23

EE'=DE-DE'=13-\.5=l\.5=—.

2

【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判

66.5

定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程60+12x=025+5x是解题关

----------y------------

1313

键.

三、解答题（第19一22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78

分）

2cos230-sin30

i1n9.计算：------------------.

tan60-4cos45

39题答案】

【答案】3+2V2.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入即可得出答案.

【详解】解：原式=_(2J

(国”4

2X3-1

-42

3-25/2

1

3-272

=3+20.

故答案为3+20.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.如图，在△ABC中，。是AC上点，DE//BC,交AB于点E,联结8。，NABD=DE=4,BC=

9

（1）求：8。的长;

（2）若£）E=a，DB=b，用a、B表示AB.

【20题答案】

99

【答案】(1)BD=6；⑵AB=—b一一a.

55

【分析】（1）由DE〃BC,可得由/ABO=NC,可证由相似三角形性质

器=岩即^=竽解方程即可;

99

(2)由可得△AEOSAABC,可求,可得AB=—EB,根据

=即可•

【详解】解：（1）・；DE〃BC,

・・・/EDB=/DBC,

又・・・ZABD=ZC,

:,〉EBDS4DCB,

EDBD4BD

.>------即nn-------,

BDCBBD9

解得8D=±6,

经检验8。=6符合题意；BD=-6舍去,

BD=6；

(2)•:DE〃BC,

ZAED=ZC,ZAED=ZABC,

：./\AED^/\ABC,

.AEEDA-

AE-ABED-BC5EB5

--------=---------=一O即11一=一，

ABBC9A89

9

AB=-EB,

5

AB=?EB,

5

BE=BD—DE=b—a'

,_99/.\9.9

AB=—EB--\b-a\--b——a.

55、,55

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，比例中项，向量的差与数量积，掌握相似三角形的判定与性

质，比例中项，向量的差与数量积是解题关键.

21.如图，在△A8C中，sinZBAC=—,AB=13,AC=7.2,BDA.AC,垂足为点。，点E是8。的中

13

点，AE与BC交于点F.

(1)求：NCB。的正切；

BF

(2)求——的值.

D

245

【答案】(1)—;(2)—

253

【分析】（1）先利用三角函数求出2A8=5,再利用勾股定理求得AD=yjAB?-BD?=12，然后

CD

求出CD的长，再由tan/C5O=J进行求解即可:

BD

(2)过点F作FH〃BD交AD于H,从而可得△CHFsZiC£>E,/XAHF^t^ADE,

CH24HFCF24AHHF

tanZHFC=tanZCBD=­=—,则——=—,CH=——FH,——=——，设切=x,则

FH25BDCB25ADDE

24

7.2+-x

2424Y

CH=—x,AH=AC+CH=1.2+—x,则可推出25J,求出X的值，即可求解.

252512

2

【详解】解：（1）,CBDLAC,

：.ZD=90°,

sin/BAD=----=—，

AB13

：.BD=—AB=5,

13

AD=《AB?-BD?=12，

CD=AD-AC=4.S,

.…八CD4.824

..tan/CBD=----=—=—

BD525

（2）如图所示，过点F作交AQ于H,

：.NFHC=NEDC=9G°,NHFC=NDBC,

CH24

：.△CHFs△CDE,△AHFsADE,tanNHFC=tanZCBD

A~FH~25

.HF_CFru_24„„AH_HF

BDCB25ADDE

2424

设=则C”=—x,AH=AC+CH=J.2+—x,

是8。的中点,

：.DE=-BD=-,

22

n一3

解得x=

15

且=空，

5CB

：.CF=*CB,

8

BF=-CB,

8

.BF5

>•—―.

CF3

D

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形函数，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌

握三角函数的相关知识.

22.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞

骨所成的角NB4C,且A3=AC，从而保证伞圈。能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意

图，此时伞圈。已滑动到点0c的位置，且4,B,三点共线，AD'=40cm,B为中点，当

NB4C=140°时，伞完全张开.

(1)求的长.

(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈。沿着伞柄向下滑动的距离.(参考数据：

sin70°«094,cos70°«0.34,tan70°«2.75)

【22题答案】

【答案】(1)20cm；(2)26.4cm

【分析】(1)根据中点的性质即可求得；

(2)过点B作BELAD于点E.根据等腰三角形的三线合一的性质求出4)=2他.利用角平分线的性

质求出/BAE的度数，再利用三角函数求出AE,即可得到答案.

【详解】解：⑴为47中点，

AB^-AD',

2

*/A£>'=40,

AB=20(cm).

(2)如图，过点B作3石，49于点£

A

,/AB=BD,

・・・AD=2AE.

・・・AP平分ABAC.ABAC=140°,

NBAE」NBAC=70。.

2

在应ZvlBE中，AB=20,

AE-AB-cos70°«20x0.34=6.8,

AD=2AE=13.6.

,/AD'=40,

A40-13.6=26.4(cm),

伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平

分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键.

23.如图，梯形ABCQ中，AD//BC,AC_L8C,点E是AB中点，联结CE、DE,AC与DE相交于点

F，BE2=EFED-

(1)求证：CEVDE-,

(2)求证：AB2=2CDBC-

[23题答案】

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)根据直角三角形的性质得到CE=^AB=AE=BE,ZEAF=ZECA,则有AE?=石尸.石。,

再根据Z4£F=N£>E4推出△AE7?sA£)E4，则N£4F=N£ZM，再根据角之间的等量代换得到

NCEF=NE4T)=90。，从而进行证明；

(2)根据(1)中的结论可推出cCERs.DEC,则有NE£)C=NE4C,再由

ZACB=ZDEC=90°,可而证明DEC,最后利用对应边成比例以及边之间的关系可证明结

论.

【详解】证明：（1）VAC±BC,AD//BC,

AAC±AD,NC4D=90。，

•.•点E是48中点，ACYBC

AE=BE，CE=—AB=AE=BE,

2

BE?=EF-ED,

•*