2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷

一、选择撅(本大题共4小题.共12.0分)

1.卜列函数中.小区间(0.♦«>上为用曲数的是<)

23

A,y=4+1R.y«(x-I)C.y=x~D,y-log0i(^♦

1)

2.口如函数v=P』・30：用区同I。.M上由黛大依3.G小值2.则e的取ffl怂因是

A.|1>«)B,[0.2]C.11,2]D,C-«,2|

如果的数、・/5)图貌上任这一点的坐标(x.y)椰满足方程Ig(x+y)-I^.T*lFy,

那么正确的埴项是()

A.y=，(x)是区间(0,+<»)上的戒函数.U.X-♦­y<4

B.y=/(*)是区同(1,+8)上的出展故，1LX+/&4

C.y-f(x)是1><同(1,+8)上的MM数，fix+yB4

D.y»f(x)是区间(1.+8)卜的减南酸,Hx+y44

S的数/Or)喏的定义域是

6.济女产FT，m，IL函边是ra)=.

7.出八幻=看，狙")=写・»«/<*>*S5)=_

8若正数“、/•满足姐<4b)=-1,则Gh的鼻小值为_______

9.需函数，(*)=CL+I，.广，1奇由次，则/。=

10.曲软y=加蒜枭的单*1逋M&间是_____

11.函数尸w的位域是

设关广、的方程M6・S|=“的不同实敷解的个数为“，当实数0变化时.，，的4位取

做摘分的柒合为.

对于函数/《X)=./+”/4,若存々XuE/t使得了《Ml)fu.则称即足/(X)的一个

不动点.已知在A01.3惟"I四个不同的不动点.明实数。的取付也围.

石曲数式上)=卜・11+，山―2•1”31在-2时取得最小值,期实数内的取使色用足.

已知函数/5)足定义花身上的奇函数.当00%/3)+5+a.大中证此

Qf(-I)=：

②若/(."的俏域是R.则a的取的范阳是.

已知用轨。(幻=«-：1)*-3x€(l.21的破大值为，”)，则/“)的帐折式为/

(1)=.

三、解答嚣(本大题共5小题.共60.0分)

已知关于工的不若式I。&<-2r-lr*r)<0,其中吒兄

(II^M»H，米诒1曦：

(2)若诬不罪大有解,求实数，的取值范用，

已知函数/'(*)=宅y(»>0).

(1)求函数/<*>的反函数/:

<2)若应时，不等式(*-1)厂"幻A«(a-Vi)恒成立.求实数。的范围.

谯市环保前门对市中心施大的坏境污柒情限选打iRR研究行.发现一天中环埴冰台

污染指数/3)hUMx(时)的关系为f(*)=|3一。|+20+：.底10.24).

其中“是。气象有为的等数，Hae[0.|j.若用每天，")的最大值为力大的蟀

合污柒指政，并记住M(«).

<1)今六含.<€(0-24).求，的取怕应围：

(2)求M储)的表达式,并坂定岬M(«)二时为埸合污染指数不⑪标,求“1。

在什么他用内时,读市市中心的综合污染指跤不超标.

指8(前数产g(X>满足*(2)=4,且定文城为大的的数〃回=需;是奇源数.

<1)求实数，*〃的电：

C2)若存在我《U.使得不等式/<心力)+/<2^t)>0吠1求实SU•的取例拉

困.

出东分M为卜述条件的曲收的第合t⑴定义域为R⑵对仟意农技工.山

52•都有/■《q+%）V*g）+*&）.

（I）刊陶函数，（*＞，/是否为M中兀泰，并说明理由：

C2）若两散八x＞是育的St,i£孙fix）日夕：

⑶和B＜x）都是M中的元素.求iEr（X）d，:HR也

是“山的无水.井举例说明，G1""（：）不一定是.“中的兀K.

答案和解析

1.【善宾】4

【解析】

侨：A.yVaI在⑷「8)上是增函散，满足条件，

B尸31)2在(q,|］上为W函数在［I.+S)上为增函数不港是条件

C)二一在(0,也)上为减函数，不满足条件.

D.y=logo,Kx+D在(M+8)上为减函装不确足条件

故选:A

根据函数单谢性的性斯分制进行判断即可.

本题主要考查函数单调性的判断,根据常见函数的单用性是削决本期的关

侵.比汽基础.

2.【答家】C

【隼物】

解：作出函数f(x)的的象.如图所示.

当x=l时.y最小，最小值是2.当x=2时.

产3.

函数f(x)=/-2x+3在闭区间［0.m)上上有

最大值3.最小值2.

则实效m的取值范因是［I.21.

故选:C

本料利用数形结合法解决.作出函数f(x)的图象如下所示.当K=I时.>最

小,最小值是2,当x=2时，尸3欲使函数f(x)=x2.2x+3在闭区叫0,m］上的

上有最大值3,最小值2.机买数m的取值范下要大干等干I而小干等于2即

可

本期者含二次函数的值域问我.其中要特别注意它的小♦林性及图家的应用.

属干中档冏.

3rn-ij(•

【解析】

rX)

解：由lg(x+y)%x+lgy.得.

由x+y»xyH：i+y产.色？.

解糊.x-Q4.

再由x-y=x、，得>1(x*).

设X|>X2>1.

r,

m,.r.tl\nTlTl-ri-TsTi+12n-H|

则E-冲—"LIMLU=潘二正邛季卜

因为XJ>X2>L

所以X2-X|O.x2-l>»

则涓鬲V0,如fg)<“X2).

所以y=f(x)是区同(1,+oc)上的减函数.

绦上，产f(x)是区间(1.+oc)上的装密数旦x+y'.

故选:C

由给出的方程得到函数产f(x)仔象上任意一点的横纵坐M.x.y的关系式.利

用基本不等式求出'的范圉，利用函数单调性的定N证明函数在(L上

的增减性,二者节合可得正确答案.

本通考查了函数在调性的判断与注明.考看了利用总本不等式求最俱.】，1练

了利用单证性定明函数单调性的方法.是基例即.

4.【答案】A

【帜析】

解：函数4*1)是由f(x)向右平移一个单位得到.

"(x・l)由i(x)向右平移一个单位得到.

而f(x)和N(x)关干产x对称.

从而Rx-1)与"(x/)的讨称堀也是由原忖林轴向右平移一个单位得到即

y=x-l,排除B.D;

A.C选项中各有一个困数图看过点(2,0).则平移前的点坐标为(I,0).则反

函数必现点(0.I),平移后的反函数必H点(1.1),由此得A龙须有可能，C

选项椁除.

故选A.

f(x)和fI(x)关于尸X对称是反函数的垂要性质;而将“X〉的图象向右平移“

个单位后,得到的图象的解析式为f(xa)而原函数和反函数的图象同E:平移

时，他口的对称轴也相应平移.

用整体平移的思想看问眄.是解决本速的关健.

5【答£】I4e-2n#i)

【解析】

茶：由注意.要使函敷有意义.»{r：2>0.

网得."1且42：

故函数的定义域为:{x|x>-2且K¥I}.

故答案为：国XN-2且灯1}.

由题意即分母不力事、偶次根号下大干等于零,列出不等式组求解.最后要

用集合或区间的形式表示

本题考查了求函数的定义域.最后要用集合或区可的形式表示.这是容易出

销的地方.

6【谷■«】广|(益=一77二7,-*e|2.3|

【辞折】

W：--y=x2+2(-1<x<0)

••x=-vV^,2<y<3,

故反函数为/匕卜Vi2,X6|2.3|.

故答案为:/'(x)—VX32.XG|2.3].

由原函数的解析式祭出自差量.'的解析式再杷x和y交依位匿注明反函数

的定乂域(即原函数的侑域).

本地考查反明数的求法.当鱼计算能力是拄型超.反限数的定《垓容别国

忽出错,注意反函数的定义域是隙函数的值域.

7【答二】*・比(I.F)

am

解c券…⑺-'：，

”(x)的定义域是(Ly>.g(x)的定其域是ILE

.-.f(x)»g(x)=x,XG(I,-Ho).

故答案为:X.*e(l.+x).

根据f(x),£x)的解析式求出f(x)・g(x)的解析式即可

本题考查了求函数的解析式问题.考查函数的定Z域是一道基础鹿.

8.【答案】I

【解析】

解：根据冽意，若正数a、b满足1。&(4b)=1,则有a:；，31ab=；.

则a+b>2vuL=I.

Bla+h的最小值为1：

故答案为：I.

根据呼意，由对数的运算性佰可得乐即ab=：.进而由基本不等式的性

质可得a+b>2v^=l.即可得答案

本典考育基本不等式的性格以及而用.涉及，,•数的运算性氏关港是分析a、

b的关系

9.【答依】2

【解析】

解：函数f(X)=3*1)x3E是温函数.

.,.1?-1+1=1,

第得1=0或1=±1：

当t=0时.f(x)=xj6奇函双滴足的意

当t=l时.f(x)=x”是偶函数.不满足题意;

当t=-l时,f(x)=x-?是偶函数,不满足在意；

行上.f(x)-x：

.­1f(2)»2.

故答案为:2.

根据蒋函数的定Z求出।的电再枝证f（x）是否J奇函数

从而求出f（2）的值.

本地考查了案函数的定义与仄用间圆，是葛础迪!

10.IBM］（21）

（Mini

相：要求函数/句,:.的单调递减区间.

需求函数y=,八（8+2x-x2>。）的增区间.

由8+22—>。可得.2<、<4对应的二次函数，开口向下，

增区间为:。，4）.臧区间为（2,1）.

由复合图数的单雷J性可知：困数，句7，的中弱建茶区间是：（21］一

故答案为：（21|.

由M数函数为增函数.要求复合函数的底区吐需求真数的忘区间,分式的

分母的增区间,利用函数的定义域以及二次函数的单调性轿化求解即可

本题考查复合函数的球谓性.分式函数.二次函数和代数函数的单周性.是

中档密

11.【2窠】（-1,i>

【解析】

解:函数尸泻=若誓5

v2M+3>3.

44

•1°<F73<3'

.,.函数尸总的值域是（1》

故答案为（-1.b

•>

分离常数后根据指数函数的隹域即可求困数y的范击

本典考查分隅常数法咕化'，'指数函数的依城的运用.网干基讯四.

12.r»r](0.2.3.41

③着a=4时，氏方程有三个不同的【敢根."3;

④当0<u<4,该方程有四个不同的荚数根.n=4;

⑤当a>4.浅方程有两个不同的货数根.n=2;

”的可能取目组合的集合为(0.2.3.4)

故答案为：［0,2.3.4).

将方程IxXx+Sg的妥数解的个数可题转化为函数臼象的交点：，阚.作图分

析即得答案.

本题考铿了根的存在住及根的个数判断华军庚曾说过：“数缺彩时少直观.

形缺数时难人掷数形消合百股好.隔鹿分家万事非.”效形给合是数学解髓

中常用的思想方法,能两变抽象思淮为形象思洛:.有助千把握数学1“逐f!的本

瓯

13.【捽累】［一弓，-3)

【解加】

务:根据也意」(x)f2+axZ在11,3|恒有两个不同的不动点

得x=x2+ax7在［1,3|有两个头数根

CTx2+(a-l)x+4=0C［l.3|有两个不同实数根，

令g(x)=x2*(a-1)x-M.在31高两个不同交点.

0(1)i0a+4>0

g(3)i0：<«+10>0

(■I-•I(«।""

解得洞•2-3);

•S

故答案为:卜芋，-3》.

不动点实际上就是方程f(xo)=x<)的实数根.二次函数nx)=x〃ax+4有不动点.

是指方程有实根.即方程x=”+ax7有两个不同实根，然后根据根

列出不等式解答即可

本地考查了二次函裁勺象上点的生甘;特征、的数与方程的标台运用.解答成

期时.借用了一元二次方程的根的判别式与根运一知.只点

14.【答臬】15.E

【解析J

解：当x<IHj,r(x)=l-x+2in-nix+18-6x=l9+2m-(m+7)x,

当l<x<2Ht,f(x)-x-l+2m-ni.*+l8-6x-17+2m-(ni+5)x,f(l)~12-tni,

2<x<33"f.r(x)=x-l+mx-2m+l8-6x=l7-2m+(m-5)x.f(2)=7,

当x^3lM,f(x)=x-l+mz-2m*6x-18=-l9-2m+(m*7)x,f(3)=m+2.

若函数nx)=|x4|+mR2"6M3l在、=2时取得最小值，

(m+7)<0

—(in+S)<<1

|H||»«-5>0

m+72l)

m+2>7

I24»M>7

解得啥5.

故m的取值危困为［5.E).

故答案为:[5,2).

被据条件可得，化'J分段函数,根据函数的华啊性和曲数也即可得到则

'-(««-r7)<0

«，“+6)<0

•,n解辩即可.

mi7>0

，“+2”

12+m>7

本题考查了函数最值和绝对值函数.并考芭了函数的单调性,屋干中档超.

15.【答案】-I：(3・()134.也)

【解析1

解:<D函数f(K：是定义在R上的奇函数

当x>0B>r,f(x)=x2-ax+a.其中a€R.

f(-l)=«f(l)="(l-a*a)=-1;

②若f(x)的值域是R

由IXx)的图象关于原点时称.可得

当x>0B<f(x)=x2-ia+a.

区象与x5H有交点.

可得△F2-4»沙.

解得宅4或aS).

即a的取值范不是(q,y).

故答窠为:①•1②㈠.n]u|4,y).

①运用奇函数的定.乙计算即可得到所求他；

②由f(x)的图象关于原点时称,以及二次函数的图象与x轴再交点.由判别

式不小于0.解不等式即可得到所求范围.

本理考杳函数的奇偶性的运用考三函数的广域的厂用.注意运用二次函数

的性匕和H林性.考伤运算掂力.麻干中档我

t-5.tS-3

16.［?r］-4VI-l，-3y<Q

2t-4.tZO

【解析J

你:根据题意，函数4IH'.

*

(r4

其导致g'(x)=(M)4i,=y-.

令心)=(卜1谬2

令h(x>=0.flflll.Dr.D可得x?=，.

分5种情况对怆，

①，>1时.h(x)=(i-l)x，4为开口向上的二次函数在［I,2］上.有h(x)>0,

则玄g'(x)>0,函数g(x)力增函SL

则晨X)在［I.2|上的最大值为g(2)=2("”；=2i4

②.t=lOj,h(x)=4,在IL2］上.Wh(x)>0.

则有g'(x)>0.函数g(x"增函数

则£(x)在［1.2］上的最大值为式2)=2(1簿，=21.

③.00<1时,h(x)=(t-l)x?+4为开口向下的二次函数且h(OM且h⑵=1

X),

则在|1・2|上.有h(x)>0.

则有g'(x>>0,函数限*户增函数

则g(x)在亿2)上的最大值为葭2)=25止3214

④.当时.h(x)=(t-l)x2+4为开口向下的二次函数.

令h(x)=O.即(卜1)\。4=0可得x=±,][

高Y任<2.

则有在[I,、/；)上，有h<K)>0,则有g«x)>0,函数式X〉为增函数,

在(\Ji,2]上,有h(x)<0,则有gXxXO,函数g(x)疗减函效

此时g(x)在|1.21上的霞大值为以、，)=4«

⑤，003时.h(x*(t“)x2+4为开口向下的二次圉敌，

令h(x)=0,即3|)r+40可得x=±、］］

此时Jj4}d

在［I,2|±.Wh(x)<0,

则有g'(x)<0.函数g(x)为减函数

此时&&)在|1.2］上的最大值为g(l)=t-5;

e-52<-3

综合可得<1/1>.:y<0；

2f

2t-4J>«

板据即意.由函数式X)的解析式,对算求导可得数g'(X)=5IH:=

"I’［令h(x)=(i」)x23.结合二次函数的性瓯对I分5和情况讨论.

每种情况下.分析h(x)的符号.即可得g'(x)的符号.分析可得函数虱X)的，口

设性.即可得g(x)在区叫I.2)上的最大宜.综合即可得答案

本题考查函数最他的计算涉及函数导数的性研以及启用.注意Hk土行分

类讨论.

17.[ns£]薪：<1>大于K的不等式k»p(-2r*A»+r><0.

当门。时.不等式为log,<0,

即04"+MVL

初介叱三等/渭>ir

0<x<2

解雨,2.

XV：山41

b•

即或IVY*

二不等式的超集为(0.|>u<1,2>«

(2)不等式1。白(&2+版“)<0有解.

.•^<-2?+3r+r<I.

化为"arV/VZ/ash

设/(x>=2r-3ir.x€/?.

V<x)«=/(>=-^,11/(x>无最大Oli

实数r的取憾范围足(彳，.

【第Ml

⑴1=0时不等式为log式-2x?+3x)<0,化为0<-2X2+3X<I.

求出解集即可

(2)由不等式hg2(-2K?+3x+t)<()有解.

得出U<.2x〃3x+y1,化为2K2-3X<(<2*?-3X+I；

设f(*)=2x2-3x,求出f(x)min即可得出求论.

本也考至了对数函数的定又与不等式的解法和「用何包.是中档区

IX—］解：<1〉♦.尸(亭)'”中2小>0)....»1&分)

由原式有:号=抄,"1♦炉

.：f'(x)=^.xe<I.+®)(2分)

(2)v(Jr-I)/*(J)>a(a-4)

.,•(x-1)'«-{)(x>0)

<G+i)<V7-i)

.*.<a*l)五>/-1<2分)

①当<Hl>0E3tf>l时I对.伫2忸成•,£•\<a<^2+1

②当sivo即“V」时机Vu-I对.02也成立

”>夜+1此时无解(3分)

保上-IVaVO+L(I分)

c*€(-l.1+&).

【解析】

⑴从条件中函数式f(X)=('T)2=y,&>0)中反解出、.再将ty互搅即得

f(x)的反函数N(K).

(2)利用⑴的洛论，将不等式(x.l)NGO>aS.WJ化成S+l)v^>a2-l,下

面对u分类讨论:①，当a+1〉。;②当a+l<“分别求出求•二效；.的取值危困，

最后求它♦的并集即可.

本小胤主要考立反函数、函数恒成立闾过等蛀础知很.考.，运求弟加

力求反困敌，一股，七分以下步骤（I）由巳知解析式）0（4反求出x-a〉（））；

⑵交换x=t>（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通-求原函

数的俏域的方法求反函数的定域）.

19.【咎犬】（本JS满分14分,本暹共刊2个小电，第1小心满分（S分）.第2小西

珑分（9分）.

解，£1）i=Ot…3分）

当0<r<24时.因为产“必>0,所以0V岛gg…（J分）

即，的取例也困是[0.1].…（5分）

（2）C|0,3时.由（I）.令，=总.则。£[0，;|.-<!^）

.（3aT+；,OSrSa

所以f（x）=g（0=|t-a|♦2a+；=,.…（3分）

4f+a+：,a<T£-

l'工

于是，g（f）Arc|O.。）时是关于/的减储数,tE（fl.：世，是增函数.

W为0(。)r+£gg)-a+;.由喇_g(”2a_

所以，当0Sa$加，M(a)=gG)=a*

纥<a<川，M(a)=g(0)=3a吗

a^-.OSa

OPM(a)=\i\…<6分)

30+：，T<«<;.

由MC)且•解珥OSa$不…(8分)

所以，加£[0.勺时.蟀合污柒指软不招标.…(9分)

【解析J

（1）利用取倒数.求导致.确定函数的单调性.可用I的取值亳困；

（2）分段求出每天的:宗合放射性.•，染指数不超过2Efa的固机即可羯到号论.

本题主要考查了函数模型的选择与应用及分奘讨论的思想考卷学生分析收

决问题的能力.属于中档M.

20.【答案】解：,.,指数祖数产g"）涓足：欠（2）=4,

.中（x>=2,：

<X>是自戌I©.

./<0>=0.

即爵°，

•尸*1

./<M)=-

乂由，(I)=/(-!>知肾;=-点.

•uE；

2mh।।

⑵由⑴

)W/(x)2«»>42-2(2**1)1N.I

易知/•(.C在♦«■>上为■两散.

从而不等式；/(r-2r)*/<^-*>>0等价于/(涔2八>/«)■*》寸(*-2A),

V<x)为减函

••<>3六〃=3(4):p

【斛折1

(I)根据指数函数尸g(x)满足:以2)7,即可求出厂g(x)的第析式由寇意知

f(0)=0,f(l