2019-2020学年人教A版浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.下列四条直线中，倾斜角最大的是（）

A.x-y-1=0B.A+y-1=0C.Fx-y-l=0D.Fx+y-l=0

2.在空间直角坐标系公yz中，点夕（1,1,1）关于平面x位对称的点。的坐标是（）

A.（-1,1,1）B,（1,-1,-1）C.（1,1,-1）D.（1,-1,1）

3.直线x/y-2=0截圆，+/=4所得弦长是（）

A.2MB.2C.愿D.1

22

4.椭圆2_上1上一点P到一个焦点的距离为2,则点"到另一个焦点的距离是（）

259

A.3B.5C.8D.10

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的

体积是（）

8

C.D.4

3

6.设xGR,则“0VxV5”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知m,"是两条不同的直线，a,BY,是三个不同的平面，下列命题中正确的是

（）

A.若m//a,n//a,则tn//nB.若加〃a,〃〃B,则a//B

C.若a_L丫，B_L丫，则a〃BD.若m_La,"J_a,则m〃"

8.已知正方体四a-48C4,。是平面4仇笫内一动点，若“。与AC所成角为三，则动

4

点。的轨迹是（）

5C,

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

9.已知夕为抛物线Y=12y上一个动点，。为圆（x-4）、/=1,则点，到点。的距离与

点。到x轴距离之和的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

10.已知四棱锥S-4仇步的底面是正方形，侧棱长均相等，£是线段S4上的点（不含端点），

设直线侬与曲所成的角为8“直线庭与平面48缈所成的角为久，二面角5-8C-A

的平面角为。3,则（）

B.o2V。“e2Ve3

C.02V91,03<01D.e1ve2,e3Ve2

二、填空题

2,2

11.双曲线2__2—=1的离心率为；渐近线方程为

169

12.棱长为1的正方体的内切球的半径是,该正方体的外接球的表面积是.

13.已知圆Q:，+/=4与圆a：（x-2）2+（yt-1）2=1相交于48两点，则两圆的圆心

Q,口所在直线方程是,两圆公共弦48的长度是.

14.已知平行六面体项3-4864中，底面483是边长为1的正方形，必=2,ZAAB=

N4/»60°,则可，正=,I记1=.

15.过双曲线C：与-J=l的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于4,若以C的

azbz

右焦点为圆心、半径为2的圆经过4。两点(。为坐标原点)，则双曲线C的标准方程

是.

16.在三棱锥P-48C中，AB=BC=CA=AP='3,PB=4,PC=5,则三棱锥P-48c的体积

是.

17.在△/%中，8(10,0),直线8c与圆X。(y-5>=25相切，切点为线段8c的中点.若

△48C的重心恰好为该圆圆心，则点4的坐标是.

三、解答题

18.已知直线/:/尸2=0分别与x轴，y轴交于4,8两点，圆C:(x-2)，/=2.

(1)已知平行于/的直线4与圆C相切，求直线4的方程；

(2)已知动点。在圆C上，求△/8P的面积的取值范围.

19.如图，在正方体4仇Q-48GD中，附是线段4C上的中点.

(1)证明：4"〃平面CBD；

(2)求异面直线4"与能的所成角的余弦值.

20.设抛物线G:/=4x的焦点为£过尸且倾斜角为45°的直线/与C交于4,8两点.

(1)求|/18|的值；

(2)求过点4,8且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

21.如图，三棱台/玩?-48见平面4/CCJ"平面37,△AS。和△48G均为等边三角形,

AB=2AA=2CG=248,。为4?的中点.

(1)证明：OBLAAe,

(2)求直线圈与平面8CCB所成角的正弦值.

22rr

22.如图，已知椭圆G:三+^^l(a〉b〉O)经过点P(2,0),且离心率圆

『2

G以椭圆G的短轴为直径.过点"作互相垂直的直线/“/2,且直线4交椭圆G于另一

点。，直线A交圆C于4,8两点

(1)求椭圆G和圆G的标准方程;

(2)求△/劭面积的最大值.

参考答案

一、选择题：每小题4分，共40分

1.下列四条直线中，倾斜角最大的是（

A.x-y-1=0B.j(+y-1=0C.近x-y-l=0D.«x+y-l=0

【分析】根据题意，依次求出选项中直线的倾斜角，比较即可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于4x-y-1=0,其斜率4=1,倾斜角为45°,

对于8,>+y-1=0,其斜率火=-1,倾斜角为135°,

对于C,y-1=0,其斜率Ar=倾斜角为60°,

对于〃，J§x+y-1=0,其斜率倾斜角为120°,

则8选项中直线的倾斜角最大；

故选：B.

2.在空间直角坐标系flyyz中，点0（1,1,1）关于平面x0z对称的点。的坐标是（）

A.（-1,1,1）B.（1,-1,-1）C.（1,1,-1）D.（1,-1,1）

【分析】根据空间直角坐标系中点P（x,y,z）关于平面xflz1对称的点。的坐标是（x,

-y,z）,写出即可.

解：空间直角坐标系中，

点户（1,1,1）关于平面X0Z对称的点。的坐标是（1,-1,1）.

故选：D.

3.直线x-ny-2=0截圆〃+/=4所得弦长是（）

A.273B,2C.愿D.1

【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知

直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长.

解：由圆1+/=4,得到圆心（0,0）,r=2,

.•.直线被圆截得的弦长为2““2=2愿.

故选：A.

22

4.椭圆—1上一点Q到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离是（)

259

A.3B.5C.8D.10

【分析】利用椭圆的定义，转化求解即可.

22

解：椭圆可得2a=10,

259

22

椭圆会比_=1上一点?到一个焦点的距离为2,则点。到另一个焦点的距离是：10-2

=8.

故选：C.

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的

体积是（）

33

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式的应用求出结果.

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为底面积为直角三角形，高为2的三棱锥体.

请注意：看图时，变换一下角度：

如图所示：

故选：A.

6.设xGR,则“0VxV5”是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案.

解：V|X-1|<1,：.0<x<2,

V0<x<5推不出0Vx<2,

0<x<2n0<x<5,

.,.0<x<5是0VxV2的必要不充分条件，

即0VxV5是|X-1|V1的必要不充分条件

故选：B.

7.已知例〃是两条不同的直线，a,。，丫，是三个不同的平面，下列命题中正确的是

()

A.若m//a,n//a,则m//nB.若m//a,n//B,则a〃B

C.若aJ-丫，BJ-Y,则a〃BD.若勿_La,〃J_a,则m〃"

【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误.

解：对于/,若，〃a,"〃a,则加〃"或相交或为异面直线，因此不正确.

对于8,若加/a,"〃B,则a〃B或相交，因此不正确.

对于G,若a_LY,0±y,则a〃B或相交，因此不正确；

对于〃，若©La,n±a,利用线面垂直的性质定理可知：,〃〃正确.

故选：D.

jr

8.已知正方体四缈-48G4,0是平面48Q?内一动点，若4。与DC所成角为一，则动

4

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

【分析】以4为原点，44为x轴，4a为y轴，能为z轴建立空间直角坐标系，设正

方体的边长为1,Q(x,y,1),求出轨迹方程，得出结论.

解：以，1为原点，44为x轴，4G为/轴，做为z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的边长为1,0(%,y,1),

则C(0,1,1),用=(O,1,1),而=(x,y,1),

n_D[OD1Q1+11

C°S4|D7CI|DjQIV2'7x2+y2+l历

得q=2y,

故轨迹为抛物线，

9.已知。为抛物线4=12y上一个动点，。为圆(x-4)，/=1,则点"到点。的距离与

点。到x轴距离之和的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的

定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点。到点。的距离

与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当化Q,尸三点共线时P到点

。的距离与点户到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点厂的距离减去圆的半径.

解：抛物线f=12y的焦点为尸（0,3）,

（x-4）V=1的圆心为0（4,0）,半径为1,

根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点夕到焦点的距离，如图：

故问题转化为求a，Q,尸三点共线时夕到点。的距离与点。到抛物线的焦点距离之和的

最小值，

22=

由于焦点到圆心的距离是A./3+45,点P到点。的距离与点夕到抛物线准线的距离之

和的最小值5-3-1=1

10.已知四棱锥S-48缈的底面是正方形，侧棱长均相等，£是线段S4上的点（不含端点），

设直线比■与3所成的角为①，直线比"与平面48微所成的角为。“二面角S-BC-D

的平面角为。3,则（）

S

0.62V91,93V9tD.61V82,63V62

【分析】根据题意，作出异面直线应■与缈所成的角ei,直线酩与平面4仇步所成的角

92,二面角S-8C-〃所成角的平面角。3,由。“e2,。3均为锐角，再判断02与。卜

的大小.

解：过点£■作日LL平面A8CD于.点、M,在平面ABCD内过“作31的于点N,作MPLBC

于点P,

在平面SBC内作PQLBC与点、P,交S8于点0,连接BM,EN,

则N48E是异面直线BE与微所成的角NEBM建宣线庭与平面48曲所成的角02,

N船峭是二面角S-8C-。所成角的平面角如图所示，

显然02,久均为锐角；

FN

在RtZkSfiV中，sin0,=—;

EB

在Rt△酗/中，sin0=—;

2EB

在RtZkfW中，EM<EN,所以sinei>sin02,即。，>。2；

RM

又sine3=±&,且EB>PQ,所以sin。zVsin。3,即。zV。3.

PQ

故选：B.

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分

22rQ

11.双曲线=_2_=1的离心率为3；渐近线方程为y=±亘x.

169-4一4一

【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、。的值以及焦点的位置，计算可得

c的值，由离心率公式计算可得e,由渐近线方程计算可得双曲线的渐近线，即可得答案.

22

解：根据题意，双曲线的方程为2__J=i，

169

其中«=716=4.6=、国=3,

则c=V16+9=5>

其离心率6=£=5,渐近线方程为：y=i--x；

a44

故答案为：?，y=±3jc.

44

12.棱长为1的正方体的内切球的半径是—，该正方体的外接球的表面积是3n.

~2---------

【分析】根据内切球与正方体各面相切可知其半径，再根据长方体外接球的性质，即可

求出答案.

解：正方体内切球与正方体各个面均相切，，正方体的棱长即为内切球的直径，・•・内切

球半径为

设外接球半径为凡根据长方体外接于直径公式，得2R=V1百1T，，R平，

92

,S=4兀R=4兀几.

4

故答案为：3n.

13.已知圆Q:/+/=4与圆ft:(x-2)2+(尸1)2=1相交于48两点，则两圆的圆心

a,一所在直线方程是户2y=0,两圆公共弦形的长度是_四5_.

5

【分析】根据题意，对于第一空：分析两个圆的圆心坐标，求出直线的斜率，进而

分析可得其方程；

对于第二空：由两圆的方程分析可得48所在直线的方程，分析圆Q的圆心、半径，结

合直线与圆的位置关系分析可得答案.

解：根据题意，圆a：/+/=4,其圆心为(0,0),圆诙(x-2)2+(y+1)2=1,

其圆心为(2,-1);

则k0°—―=-—,即直线的方程为尸:-2■*,即x+2y=0；

122-022

则两圆的圆心4,口所在直线方程户2尸0;

又由圆。：〃+7=4与圆诙(x-2)2+(y+1)2=1,则四所在直线的方程为2x-y-

4=0,

圆《的圆心为(0,0),半径r=2,

圆心a到直线48的距离冷堆1=生叵，

V4+15

则|眼=2X7r2-d2=^p->

故答案为：>+2y=0;幺£.

5

14.已知平行六面体?!盛步-48G4中，底面48⑦是边长为1的正方形，〃=2,ZAAB=

ZAAD=6Q°,则而［前=3,|Aq|=_Vl0—•

【分析】可画出图形，根据条件知AB=AD=\,M=2,ZAyAB=ZAsAD=6Q°,Z.BAD=

90°,并得出西•正=(而+而)・(靠+而)，然后进行数量积的运算即可；可得出

AC^2=(ATJ+AD+AB)进行数量积的运算即可得出记纥]。，从而得出

I记l=Vio-

解：如图，

'：AB=AD=\,〃=2,N4/5=N/MP=60°,Nft4p=90°,

AAD^-AC=(AT；+AD)>(AB+AD)

.......2

=AAj-AB+AAj-AD+AD*AB+AD

=2XlXy+2XIXj+1

=3,

AC[2=(AA7+AD+AB)2

=AA^2+AD2+AB2+2AAj--iS+2AA^-AB+2AD-AB

=4+l+l+2X2XiXy+2X2Xixy

=10,

IACi|=V10-

故答案为：3,Vio.

15.过双曲线C：号-2万=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于/,若以C的

右焦点为圆心、半径为2的圆经过/、0两点（0为坐标原点），则双曲线C的标准方程

2

是/一工_=1.

3

【分析】求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得4再由圆的性质可得|41

=|0F|=C=2,解方程可得a,b,进而得到双曲线方程.

解：双曲线的右顶点为（自，0）,右焦点尸为（c,0）,

由x=a和一条渐近线y=2r,可得4（a,6）,

a

以。的右焦点为圆心、半径为2的圆经过40两点（。为坐标原点），

则\AF\=|阳=c=2,

即有J（a-c）2+b?=2,

c=a+h2=4,

解得a=1,

2

即有双曲线的方程为4-2_=1,

3

2

故答案为：，-2_=1.

3

16.在三棱锥P-48C中，AB=BC=CA=AP=3,PB=4,PC=5,则三棱锥P-脑的体积是

71L-

【分析】取"C中点0,连结加，CO,推导出PBA.BC,AOLPC,OC=OP=OC=^,AOA.

OC,从而4U■平面阳C,由此能求出三棱锥夕-48C的体积.

解：取PC中点0,连结AO,CO,

•.•在三棱锥P-48C中，AB=BC=CA=AP=3,PB=4,PC=5,

5

：.PB±BC,AOA-PC,OC=OP=OC=^,：.AO2.OC,

'：PCDCO=0,：.AOI.平面PBC,

止次呜产率

:.三棱锥P-MC的体积是:

=-=

VP-ABC=匕-柳=£xAOXSApBCyx'.LX--X4X3VT1*

故答案为：Vu-

A

17.在中，8（10,0）,直线/与圆4+（y-5）J25相切，切点为线段8c的中点.若

4ABC的重心恰好为该圆圆心，则点A的坐标是（0,15）或（-8,-1）.

【分析】设为的中点为。，设点4和C的坐标，根据圆心「（0,5）到直线48的距离

等于半径5求出48的斜率4的值.再由斜率公式

以及「〃_L8C,求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得4的坐标.

解：设8c的中点为〃，设点4（%,必）、。（如必），则由题意可得「〃_1%,且灰生29,

故有圆心「（0,5）到直线48的距离「〃=广=5.

_10-5-10k|

设外的方程为y-0=4(x-10),即kx-y-10^=0.则有-/=5,解得k

Mk0'+l

4

=0或k=---.

3

y

了2-。2~°=4

x-10-

2x2103

„4.

当D时，有丝.5，当-一仔时有y2c

_T-5_3

K4泉正不存在

,-2~-2-

zx=-10fX2=-2

解得42，或4

12=0卜2=16

X|+x2.1。

0=2X[=0Xj=-8

再由三角形的重心公式可得J,由此求得＜或

y1+y2+071=157i=-i

5n

3

故点4的坐标为（0,15）或（-8,-1）,

故答案为(0,15)或(-8,-1).

三、解答题：5小题，共74分

18.已知直线/:户齐2=0分别与x轴，y轴交于4,B两点,圆C:(x-2)2+/=2.

(1)已知平行于/的直线人与圆C相切，求直线人的方程；

(2)已知动点?在圆C上，求△/加的面积的取值范围.

【分析】(1)设直线A的方程为外■六m=0,利用直线与圆相切求出加，代入即可；

(2)求出|/48|=2&,设点P到直线/的距离为九圆。的半径为々求出圆心C到直

线/的距离4求出/?的取值范围，由S4^BP,|研历=近匕求出面积的范围.

解：(1)设直线h的方程为/八/»=0,

则也例解得OT=0,m=-4,

V2

所以直线/i的方程为A+y=O或者A+y-4=0;

(2)由/(-2,0),B(0,-2),囱=2&,

设点P到直线/的距离为h,圆，的半径为r,

又圆心C到直线/的距离Q/刷=2后,

际协d-rShM小r,即&W〃W3五,

则江幽总网卜=后衣[2,6],

故明的面积的取值范围为[2,6].

19.如图，在正方体483-48C4中，制是线段47上的中点.

(1)证明：4附〃平面CBD；

(2)求异面直线4制与曲的所成角的余弦值.

【分析】（1）连结4G,交84于点小，连结加，推导出四边形43V是平行四边形,

从而A.M//NC,由此能证明4“〃平面笫".

（2）由4"〃力/C,得NM如是异面直线46与办的所成角（或所成角的补角），由此能

求出异面直线4"与笫的所成角的余弦值.

解：（1）证明：连结4C,交84于点乂连结以

在正方体483-48GU中，A、N=CM,旦Mi"CM,

四边形4做训是平行四边形，：.AyM//NC,

,；4枇平面您4,CNCL平面Cg,

.♦.4"〃平面CRDy.

（2）解：由（1）可知4"〃"C,

.•.NMM是异面直线4〃与勿的所成角（或所成角的补角），

设正方体ABCD-48CD中棱长为2,

则笫=2衣，CN=瓜,“仁

CN

在Rt△网中，cosZNCDy=77?-=—,

CD12

...异面直线4"与能的所成角的余弦值为返.

2

20.设抛物线C:7=4x的焦点为E过尸且倾斜角为45°的直线/与C交于4,B两点.

（1）求|眼的值；

（2）求过点4,8且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

X

【分析】(1)求得抛物线的焦点厂的坐标，可得直线/的方程，联立抛物线方程，运用

韦达定理和弦长公式，计算可得所求值；

(2)求得48的垂直平分线方程，设所求圆的圆心为(a,6),由直线和圆相切的条件：

d=r,可得a,6的方程组，解方程可得a,b,半径广，可得所求圆的方程.

解：(1)抛物线C:炉=4x的焦点为尸(1,0),过尸且倾斜角为45°的直线/的方程

为y=x-1,

联立抛物线方程/=4x,可得4-6/1=0,

设4(M,%),B(.x2,%)，可得X+M=6,XM=1,

2-==8

则|AB\=(xj+x2)4XJX2V?V36-4；

(或|明=x^+Xi+2—6+2=8)

(2)由(1)可得48的中点坐标为(3,2),N8的垂直平分线为y-2=-(x-3),

即y=5-x,

设所求圆的圆心为(a,6),半径为，，

2

则Kb=5,(>1)2=16+.(b.N_+l)_,解得a=3,6=2,r=4,或a=11,b=-6.r

2

=12,

则所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(尸6)2=144.

21.如图，三棱台48C-48G,平面/MGCU平面他?，△48C和△ASiG均为等边三角形，

AB=2欣=2微=24®,0为47的中点.

(1)证明：OBS-AAy,

(2)求直线比与平面8CC8所成角的正弦值.

1

【分析】(1)推导出08JL/C,从而如平面447%由此能证明的

(2)把三棱台还原为锥，设顶点为8则切_L平面48C,作ODLBC于D,由三垂线定理

得PDLBC,连结阳，BC工斗&POD,平函PBCJL平面POD,作OH'PD于H,则瓯L平面

POD,连结反H,N阳，是直线圈与平面8CG8所成角，由此能求出直线阳与平面BCQR

所成角的正弦值.

解：(1)证明：•.•△/48C为等边三角形，且0为47的中点，：.OBA-AC,

\•平面/MCGJ•平面ABC,平面4/GGD平面ABC=AC,

.•.必_L平面44绍，

V4仁平面44必，:.OBA.A4,.

(2)解：把三棱台还原为锥，设顶