八年级数学上册全册导学案(有答案)

第一章轴对称与轴对称图形

1.1我们身边的轴对称图形

教学目标：

1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。

2、能判断一个图形是否是轴对称图形。

3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。

4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

5、理解并能应用轴对称的有关性质。

教学重点：

1、能判断一个图形是否是轴对称图形。

2、轴对称的有关性质。

难点：

1、判断一个图形是否是轴对称图形。

2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

教学过程：

一、情境导入

教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。

学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？

二、探究新知

1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖在

镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在i起；这些都是对称,

你还能举出例子吗？

学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。

教师巡回指导、点评。

2、动手做-做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯

形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能

完全重合吗？

学生活动：观察、小结特点。

3、教师给出轴对称图形的定义。

问题：

⑴“完全重合”是什么意思？

⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？

⑶圆的直径是圆的对称轴吗？

学生分组思考、讨论、交流，选代表发言，教师点评。

⑴指形状相同，大小相等。

⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则

必然经过这个图形的本身。

⑶不是，因为圆的直径是线段，而不是直线，应说直径所在的直线或

经过圆心的直线。

4、猜想归纳：

正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从

中可以得到什么结论？

学生思考、讨论、交流。

5、你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？

6、教科书第五页图1-6⑴⑵两个图，问题：想一想，每组图形中，左

边图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？

7、教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。

8、你还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子吗？

思考：轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？

学生思考、分组讨论、交流。

教师引导小结。

三、巩固反馈

1、26个英文大写字母中，是轴对称图形的是

2、中华民族是一个有着五千年文明历史的古老民族，在她灿烂的文

化中，汉字是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出儿个是轴对称的汉字-

3、关于奥运会五环图案有下列各说法：①它不是轴对称图形；②它

是轴对称图形，只有…条对称轴③它是轴对称图形，有无数条对称轴,

其中正确的是0

从轴对称的角度，你觉得哪些图形比较独特？简要说明你的理由。

5、画出一个只有三条对称轴的轴对称图形。

6、上面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？

四、课堂小结

学完本节，你有什么收获？

五、作业设计

1、必做题：教科书第6页练习题1-4题。

2、选做题：

K

C

B

H

F

把长方形纸片折叠，使边CD落在EF处，折痕为KH,则与梯形

CDGH成轴对称的图形是（）。

A、梯形ABHGB、梯形ABKGC、梯形EFGHD、梯形EFKH

1.2线段的垂直平分线

教学目标：

1、通过折叠的方式认识线段的轴对称性。

2、理解并能运用线段垂直平分线的性质。

教学重点：引导学生了解有关线段垂直平分线的知识。

难点：运用线段垂直平分线的性质解决问题。

教学过程:

一、自主探索

iN

在纸上画一条线段AB,通过对折使点A与点B重合，独立解决以下问

题：

1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN,直线MN与线段AB的

交点为0,线段A0与B0的长度有什么关系？

2、直线MN与线段AB有怎样的位置关系？

3、由以上1、2,直线MN叫做线段AB的.

4、线段AB是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

5、在直线MN上任取一点P,连接PA与PB,如果把这张纸沿直线MN

对折，PA与PB重合吗？

6、在直线MN上再取另一点Q,连接QA与QB,把这张纸沿直线MN对

折，QA与QB重合吗？

7、由以上5、6,你有什么结论?

8、尝试用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线。

二、小组合作

任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，有

什么发现？

三、学以致用

1、点P、C、D是线段AB的垂直平分线上的三点，分别连接PA、PB,

AC、BC,AD、BD,指出图中所有相等的线段。

2、任意画一条线段，用直尺和圆规把它四等分。

3、AB要在A、B、C三个村庄之间修一座变电站，使它

到三个村

庄的距离

相等,你能在图中找出点0的位置吗?

C

四、达标反馈,当堂训练

1、如上左图，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们

交于点P,请问：PA和PC相等吗？

2、如上右图，AB=AC,MN垂直平分AB,若AB=6,BC=4,求aDBC的周

长。

A

AE

C

3、如上左图，在直线上求作一点P,使PA=PB.

4、如上右图，ZBAC=120°,NC=30°,DE是线段AC的垂直平分线,

求NBAD的度数。

五、课堂小结

本节课主要学习了：

1、线段垂直平分线的知识。

2、线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等。

3、利用线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等解决实际问

题。

六、作业设计

3、必做题：教科书第10页习题A组1-2题,B1-2题。

4、选做题:

5BC的垂直平分线;

C

B

b）你有什么发现？

1.3角的平分线

教学目标：

1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。

2、理解并能运用角的平分线的性质。

3、会画已知角的平分线。

教学重点：引导学生了解有关线角平分线的知识。

难点：运用角平分线的性质解决问题。：

教学过程：

一、自主探索

A

C

在纸上画NBAC,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺

平，独立解决以下问题：

1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

2、尝试用尺规作图的方法作出NBAC的平分线AD。

3、在AD上任取一点P,作出点P到NBAC两边的垂线段PM与PN,

垂足分别为点M和点N,如果把NBAC沿AD折叠，线段PM与PN重合

吗？由此，你能得出什么结论？

4、在AD上另取另一点Q,重复上述操作，你还能得出同样的结论吗?

二、小组合作

1、任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线,

你有什么发现？

2、任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线,

你有什么发现

3、任意作一个钝角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线,

你有什么发现？

猜想结论:

三、学以致用

天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条公

路AB、AC、BC的距离相等，你能找到M的位置吗？

四、达标反馈，当堂训练

N

a）如上左图，在直角坐标系中，AD是RtaOAB的角平分线，点

D至UAB的距离是2,求点D的坐标。

b）如上右图，若点M在NANB的角平分线上，NA=NB=90°,那

么你有怎样的结论？

若点N在NAMB的角平分线上，ZA=ZB=90°,那么你有怎样

的结论？

3、如上左图，AABC中，ZA=90°,BD平分

ZABC,AD=3cm,BC=10cm,求ABDC的面积。

4、如上右图，已知NAOB和C、D两点，是否能找到一点P,使得点P

到OA、0B的距离相等，而且P点到C、D两点的距离相等。

五、课堂小结

这节课你有哪些收获？

六、作业设置

1、必做题：教科书第12页A组、B组。

2、选做题：

公路

§1.4等腰三角形导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴

对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角

相等等性质。

2、经历探索等边三角形的轴对称性和内角性质的过程，掌握

这个性质，并会作出合理的说明。

3、掌握已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形的方法。

二、学习重点、难点

重点：等腰三角形与等边三角形的性质

难点：等腰三角形的性质的运用

三、学习过程

（―）情境导入

瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三

角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好

经过三角板底边的中点，房梁就是水平的。为什么？你想

知道其中的奥秘吗？学了本节后你将恍然大悟。

（-）自主学习

自学课本％—"挑战自我”，解答下列问题:

1.我们知道等腰三角形是轴对称图形,它底边上的高线所

在的直线式它的对称轴，那么沿着对称轴将等腰三角形

对折，对称轴两旁的部分能重合，如下图,

你能得到哪些结论？说说你的想法.

B：DC

2.等边三角形是轴对称图形吗？它有儿条对称轴？等边

三角形是等腰三角形吗？它与等腰三角形相比有何特

别之处？

3.如图，ZB=ZC,AB=3.6cm,则AC=_____________

A

（三）合作探究

探究点一：等腰三角形的性质

例1等腰三角形中有一个角为80°.求另外两个角的度

数.

总结：

探究点二：等边三角形的性质

例2试说明“等边三角形的每个内角都等于60°”

小组合作：用一张正方形的纸折出一个等边三角形.

探究点三：尺规作等腰三角形

例3已知一个等腰三角形的底边和腰，你能作出这个三

角形吗？如果一直底边和底边上的高呢？

（四）练习达标

1.等腰三角形的两边长分别是6cm、3cm,则该等腰三角

形的周长是（）

A.9cmB.12cm

C.12cm或15cmD.15cm

2.等腰三角形的一个角为30°,则它的底角为（）

A.30°B.75°

C.30°或75°D.15°

3如图，在AABC中，D、E是BC边上的两点，且

AD=BD=DE=AE=CE,求NB、NBAC的度数.

BDEC

（五）课堂小结

这一节你学会了什么？

（六）拓展提升

1.如图所示，ZB=ZC,AD平分NBAC交BC于D,AABC

的周长为36cm,△ADC的周长为30cm,那么AD的长

为cm.

2、如图，AABC为等边三角形，Z1=Z2=Z3,试说明

△DEF为等边三角形.

A

四.作业

§1.5成轴对称图形的性质导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线

被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质.

2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形.

二、学习重点、难点

重点：轴对称图形的性质

难点：利用轴对称图形的性质作对称图形

三、学习过程

(一)情景导入

同学们，今年的10月1日是我们伟大的祖国60周岁的生日，

全国上下正洋溢在一片欢歌笑语的海洋里，都在为母亲的生日

积极地做准备，你做了什么准备呢？不如我们现在来叠五角星

吧。你还记得怎么叠吗？跟老师一起做……好了，五角星叠好

了.请同学们想一想，这种折纸叠正五角星的方法，其中隐含着

什么数学道理？

(-)自主学习

自学课本%一一P19例二，完成下列问题：

1-----------的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.成轴对称的两个图形，在大小和形状方面有怎样的关

系？你是怎么知道的？

4.轴对称图形的对应线段、对应角有怎样的关系？

（三）合作探究

探究点一：成轴对称图形的性质

要求：明确成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分,

对应线段相等，对应角相等.

同桌合作解决课本PM列1.

探究点二：运用轴对称的性质作一个图形关于某条直线的

轴对称图形.

（四）练习达标

利用10分钟的时间完成课本练习和P"练习

（五）课堂小结

谈谈你的收获.

（六）拓展提升

1.课本P2。习题A组

2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形,

已知NCED'=80°,则NAED的大小是（）

A40°B50°C60°D80°

3.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个

小正方形，是补画后的图形为轴对称图形.

四、作业

§1.6镜面对称导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、结合现实生活中的实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面

对称图形；

2、思考并探索镜面对称下图形的变化.

二、学习重点、难点

重点：镜面对称及其应用

难点：镜面对称下图形的变化

三、学习过程

（-）情景导入

自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.

不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学

中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.

山倒影在湖中，这是多么令人难忘的对称景象.

学好对称，对我们认识图形来说是很重要.（此处建议老

师们适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。）

（-）自主学习

自学课本取——p22.解决下列问题：

1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形

状相同吗？

2、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把式子

2+3=8变成一个真正的等式？"你能吗？

（三）合作探究

探究点：镜面对称的原理及判断方法

认真阅读课本的“小资料”、“实验与探究”，结合自己的

生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理.

（四）练习达标

1、课本“挑战自我”.

2、Pw练习与习题A组

（五）课堂小结

说说镜而对称的原理及判别方法

（六）拓展提升

1、课本P22习题B组

2、宋代理学家邵康写有一首五言绝句：“一去二三里，烟

村四五家，楼台七八座，八九十枝花.”把这首诗写在一张

纸上，并将写字的一面平行对折镜面.在这首诗的所有字中

中，镜子中的像与原字一样的是.

四、作业

§1.7简单的图案设计导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单几何图形

组成的.

2、能利用简单儿何图形设计轴对称图案，体验数学活动的乐趣,

培养学生的创新意识.

二、学习重点、难点

设计图案

三、学习过程

（一）情境导入

同学们都知道，我们潍坊是一个风筝之都。同学们你放过吗？

回想一下你玩的风筝的样子，在于其他同学交流一下，你会有更多的

发现。其实，这些美丽的风筝你都能设计出来，甚至有可能还要美。

怎么样，想不想自己做一个风筝？想，那就来好好的学习一下本节知

识吧。

（二）自主学习

看课本P25----------P26,依次解决相关问题.

（三）合作探究

利用轴对称进行简单的图案设计

（四）练习达标

课本P25-------------P26练习和习题.

（五）拓展提升

练习册5、6两题

（六）作业

第一章综合检测

一、选择题（每题3',共30'）

1、下列图形中一定是轴对称的图形是（）。

A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形

2、等腰三角形的一个内角是50°,则另外两个角的度数分别是

（）o

A、65°65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50°50°

3、如果等腰三角形的两边长是6和3,那么它的周长是（）。

A、9B、12C、12或15D、15

4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）□

A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三

条边的垂直平分线的交点

5、等腰三角形的一个外角等于100°,则与它不相邻的两个内角的度

数分别为（）。

A、40°40°B、80°20°C、50°50°D、50°50°或80°20°

6、ZA0B的平分线上一点P到0A的距离为5,Q是0B上任一点，则

（）。

A、PQ>5B、PQ25C、PQ<5D、PQW5

7、下列轴对称的图形中，对称轴最少的是（)0

A、等边三角形B、等腰梯形C、正方形D、圆

8、已知等腰aAOB的底边=8cm,且|AC-BC|=5cm,则腰AC的长为

（）。

A、13cm或3cmB、3cmC、13cmD、8cm或6cm

9、如图,在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别是NABC、ZACB

的角平分线，且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）。

A、6个B、7个C、8个D、9个

10、下列说法错误的是（）

A、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴

B、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴

C、等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴

D、等腰三角形定有三条对称轴

二、填空题（每题3',共30'）

1、Z\ABC中，DE垂直平分AC,与AC交于点E，与BC交于点D,NC=15,

ZBAD=60,则aABC是三角形。

2、ZA0B内部有一点P,分别作出点P关于0A、0B的对称点P2,

连接PR,分别交0A、0B、于点M、N,若PR=5cm,则aPMN的周长

为。

3、已知点P至UX轴Y轴的距离分别是2和3,且点P关于X轴对称

的点在第四象限，则点P的坐标是。

4、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形

的底角为-

5、数轴上表示1和3的点分别为点A和点B,点B关于点A的对称

点为点C,则点C所表示的数是。

6、已知点P、Q关于直线x=l对称，点P的横坐标为-2,点Q的纵坐

标是-3,则点P的纵坐标为，点Q的横坐标是（）,

PQ=o

7、如图，已知，D是BC边上的一点，若AD=BD,AB=AC=CD,则N

A

D

BAC=.

8、如果AABC和AA'B'C'关于直线1成轴对称，且NA=50°,Z

B,=70°，那么NC=o

9、AABC中，AD为角平分线，DE±AB于E,DF±AC于F,AB=10厘米,

AC=8厘米，AABC的面积为45平方厘米，则DE的长为。

10、AABC中，D为AB的中点，且CD=AD=BD,则NACB=。

三、解答题（每题10',共40'）

1、如下左图，在aABC中，BC边的垂直平分线交AC于点D,连接BD.

⑴如果CE=4,ABDC的周长为18,求BD的长。

⑵如果NADM=50°,ZABD=20°,求NA的度数。

2、如上右图，APAB中，MN是AB的垂直平分线，比较PA、PB。

3、如左上图，在△ABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，ZAEF=ZAFE,

AD是高，是说明EF与BC的位置关系，并说明理由。

4女口彳j*1.以£AAL上AC边上的中点CE=CD,试确定

EB和DE\A

A

—D

D

C

B

参考答案

1.1

巩固反馈答案：

1、略。2、田、山、串、王等3、CDo4、第5、9、10个不是轴对称

图形。5、略。6、Bo

作业设计答案:

1、略。2、Co

1.2

达标反馈，当堂训练答案：

1、PA=PCo2、10o3、90°o

作业设计答案：2、PA=PC

1.3

达标反馈，当堂训练答案：

1、D(2,0)o2、AM=BM；NA=NB。3、15cm2o4、略。

1.4"自主学习|”第3题AC=3.6cm

“练习达标"LD2.C3.ZB=30°ZBAC=120°

“拓展提升"l.AD=12cm2.提示：利用三角形的外角性质

1.5“拓展提升”2.B3.开放题，答案不唯一.

1.6“拓展提升”2.一，二，三，十

第一章综合检测答案部分

一、1、C2、C3>D4、A5、D6、B7>B8、C9、C10>D

二、1、直角2、53、P(3,2)4、62、5°或22、5°5、T6、

-3,2,47、108°8、60°9、510、90°

三、1、⑴、BD=5⑵80°2、PA>PB3、EF±BC4、EB=DE

第二章乘法公式与因式分解

2.1平方差公式

【教学内容】：17.1平方差公式

【学习目标】：

1.记住平方差公式并会进行运用。

2.能用儿何拼图的方式验证平方差公式。

【学习重点和难点工

重点：平方差公式，平方差公式的儿何拼图验证及其应用。

难点：平方差公式的儿何拼图验证及其应用

【教学方法】：创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高.

【教学准备】：多媒体课件+导学案

【导学流程工

一、创设问题情境，引入新课。

请同学们与我一起观看这幅图片，它是有一些美丽的长方形

花坛组成，如果每幅图案的长方形的长为(a+b)米，宽为(a-b)

米，它的面积为多少呢？

同学们会很快地回答为：(a+b)(a-b),那么如何计算呢？

这是初一我们学习的内容，多项式乘以多项式。为了更好

地巩固以前学过的内容，同学们拿出我们刚发的导学案，做一下

导学案上的题目。

【温故知新】请同学们用3分钟的时间独立完成下列问题。通过计算,

你能发现它们的规律吗？

(1)(x+1)(x-l)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+l)(2xT)=

根据大家作出的结果，你能猜想(a+b)(a—b)的结果是多

少吗？小组讨论交流，大胆猜测。

为了验证大家猜想的结果，我们再计算：

(a+b)Qa—b)-a2—ab+ab—Z>2=a2—Z>2.

得出平方差公式

(a+b)Qa—b)=舌一K.

即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.

引出本节课的学习内容2.1平方差公式

明确本节的学习目标。

二、自主学习一：

自学任务：

1、学生自学课本34页。

2、通过自学，能通过所计算的式子总结规律，推导公式，进而找出

公式的结构特点。

3、能够通过图形验证公式。

在学习过程中，学生互相之间探索交流，教师精讲点拨。

平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

平方差公式结构特征：（引导学生探索归纳，大胆发言）

教师归纳概括：

①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一

项互为相反数。

②右边是乘式中两项的平方差。即相同的平方与相反项的平方的差。

为了更好地证明该定理的正确性，设计用动画的形式直观地说明

平方差公式的正确性。（见多媒体课件）

你能根据下图中的面积说明平方差公式吗?

(a-b)(a+b)—a2-b2

学生观察图形，计算阴影部分的面积.经过思考可以发现：

左边图形的面积：（K力）（a—b）.

右边旋转以后的图形的面积为：（才一力?）.

这两部分面积应该是相等的，即（於6）=才一次

教师活动：

引导学生细心观察，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受

平方差公式.

在本活动中教师主要关注:

(1)学生能否自己主动参与探索过程；

(2)学生在交流中所投入的情感和态度.

学生活动：

为了让学生进一步理解该公式，能更好地运用该公式，我又设计

了下面的练习。(见多媒体课件)

会填会选我最棒：

1.参照平方差公式“(a+b)(a—b)=填空

(1)(t+s)(t-s)=(2)(3m+2n)(3m-2n)=

(3)(1+n)(l-n)=(4)(10+5)(10-5)=

2、判断下列式子是否可用平方差公式。

(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)

(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

三、自主学习二：

请同学们用5分钟的时间看课本35页的例1和例2.要求如下：

(1)记住利用平方差公式进行计算的方法和步骤。

(2)理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算。其

余的运算仍按乘法法则计算。

(3)看完后，用8分钟的时间独立完成导学案上的1和2两题。

L下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()

A.(广1)(1+x)；B.(2x-5)(2x+5)

C.(-a+b)(a—b)；D.(/—y)(A+/)；

2.运用平方差公式进行计算:

(1)(3x+4)(3x-4)

(2)(3a+2b)(2b-3a)

(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

(4)51X49

(5)(a+1)(4a-l)-(2a+l)(2a-l)

学生活动：

【合作交流】：先小组内交流，由组长公布解题步骤和答案，小组内

解决不了的问题由组长提交班内交流，如再有疑问由老

师点拨精讲。

【归纳总结】：由学生总结本节学习内容，并归纳出知识要点。以便于

同学在做题时能正确运用平方差公式.

四、知识应用

【题组训练工(学生用8分钟时间独立完成下列题目)：

1.下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正?

(1)(x+2)(x-2)=x-2()

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a-4()

2.运用平方差公式进行计算：

(1)(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(-3+2a)

(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

(4)58X62

(5)(m+3)(m-3)(m2+9)

五、归纳总结：

通过本节课的学习我有哪些收获？由学生总结解题步骤，不全

面的老师点拨。进一步加深对平方差公式的记忆和理解。

【达标测评】：学生用5分钟独立完成，然后同位互改试卷。

运用平方差公式计算下列公式：

1.(2x-3y)(2x+3y)

2.(-2m-5)(2m-5)

3.105X95

4.(ab+1)(ab-l)

六、应用提高、拓展创新：

【拓展提高】：运用平方差公式计算：

(2+1)(22+1)(2'+1)(28+1)

七、布置作业:

1、课本35页练习1题。

2、课本36页习题A组。

3、课本36页习题B组。（选作）

2.2完全平方公式（一）

【学习目标】

1、记住完全平方公式并会灵活应用。

2、能用儿何拼图的形式验证完全平方公式。

【学习重点】

完全平方公式的灵活应用。

【学习难点】

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算.

【学习准备】

多媒体课件

【教学方法】

创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们探究下列问题：

一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时，老人都要拿

出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩

子，老人就给每个孩子两块塘，…

(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多

少块糖？

(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多

少块糖？

(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些

孩子多少块糖？

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总

数哪个多？多多少？为什么？

学生互相讨论交流。

［生］(1)第一天老人一共给了这些孩子a?糖.

(2)第二天老人一共给了这些孩子b?糖.

(3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)之糖.

(4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总

数比较，应用减法.即:

(a+b)2-(a2+b2)

我们上一节学了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2,现在遇到了

两个数的和的平方，这正是我们这节课要研究的问题。

明确本节的学习目标。

计算下列各式,你能发现什么规律?

(1)(p+1)2=(P+1)(P+1)

(2)(m+2)

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)

(4)(m-2)

(5)(a+b)

(6)(a~b)2_

学生独立尝试,大胆猜测。

二、独立探究，探索交流

自学任务：

1、自学课本36页。

2、通过自学，掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。

3、会用儿何图形解释完全平方公式。

学生自学，自学过程中小组之间互相交流。6分钟后检查自学效果。

自学检测:

1、完全平方公式文字叙述:

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们

的积的2倍.

符号叙述：（a+b）J=a2+2ab+b'（a_b）2=a'!_2ab+bJ

2、从几何角度去解释完全平方差公式.

你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

图⑴图⑵

小组讨论交流，积极发言。

三、精讲点拨，提高升华

请同学们总结完全平方公式的结构特征。

公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项

是左边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的

2倍。

我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母

或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。

四、达标检测：

1、下列式子符合完全平方公式形式的是()

A^a"+ab+b~B、a'+2a+2C>a3-2b+b2D、a'+2a+l

五、自主学习二：

1、自学课本37页、38页。

2、通过自学，会灵活应用完全平方公式进行计算。

达标检测：：

1、判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a2-2a+l;

(2)(2/1)2=43+1；

(3)(—3—1)2——^—2a—1.

2、应用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)2(2)(y--)2

2

(3)(-a-b)2(4)(b-a)2

3、运用完全平方公式计算：

(1)1022(2)992

六、课堂总结：

你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨

论交流。

完全平方公式和平方差公式不同：

1、形式不同

2、结果不同：

完全平方公式的结果是三项，

即(a±b)2=a2±2ab+b2;

平方差公式的结果是两项，

即(a+b)(a—b)=a2—b".

七、拓展应用：

1、计算(Za+b+c)?

2、要使x?+6x+a成为形如(x-bF的完全平方公式，求a,b.

八、作业：

1、课本38页练习1、2、3题。

2、习题40页A组。

3、习题40页B组3、4题。(选作)

2.2乘法公式复习课

【学习目标】

1、熟记平方差公式和完全平方公式。

2、综合应用平方差公式和完全平方公式进行多项式的运算。

【重点】乘法公式的综合应用

【难点】乘法公式的综合应用

【学习准备】多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、创设情境，复习引入

回顾与思考：

1、平方差公式及结构特征，应用平方差公式应注意什么问题？

2、完全平方公式及结构特征，在什么情况下可以应用？

3、练一练：

(1)+—

1,

(2)(-x+2y)2

(3)(-;x+2y)(一；x-2y)

(4)(n+1)2-n2

(5)(2m-5nf

(6)(x+4y-6z)(x-4y+6z)

3

(7)(2m-3n)(m+—n)

(8)(-2p-3q)2

本节课继续乘法公式的学习，引出课题，明确本节的学习目标。

二、学生自学：

自学任务：

1、自学课本38页。

2、通过自学明确平方差公式和完全平方公式的选择应用及综合应

用。

自学检测：

1、想一想：（a+b+c）J

2、想-—想：（a+b+c）（a+b-c）=

根据自学情况，互相讨论交流，大胆尝试。

三、展示反馈:

展示经过学生探索交流后的结果，不同小组的学生分别展示。

(a+b+c)J[(a+b)+c]~=(a+b)2+c2+2(a+b)c=a2+bJ+2ab+c2+2ac+2bc

(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b3+2ab-c2

四、精讲点拨：

1、平方差公式的结构特点：左边是两个二项式的积，两个二项式中,

一项相同，另一项互为相反数；右边是两个因式中相同项的平方减去

互为相反数的项的平方。

2、完全平方公式的结构特点：左边是两数和或差的平方，右边是两

个数的平方和加上(或减去)这两数乘积的2倍。

3.运用公式计算时;先将要计算的代数式写成公式的原始形式，然后

再一步步计算.

4.解题时，要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序，灵活运

用公式，可使解题时快速、简洁。

五、达标测评：

1、下列等式是否成立？说明理由.

22

(1)(-4a+l)=(l-4a);

(2)(-4a-l)2=(4a+l)2；

(3)(4a—1)(1—4a)=(4a—1)(4a—1)=(4a—1)S

(4)(4a-1)(-l-4a)=(4a-1)(4a+l).

2、指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a2-2a+l;

(2)(2>1)2=4才+1；

(3)(—a-1)a2-2a—1.

3、计算：

(1)98X102

(2)2004-2003X2005

(3)若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。

六、课堂小结：引导学生对本节知识进行总结。

七、拓展提高：

1、回答下列问题：

(1)a?+b?加上什么式子可以得到(a+b)2?

(2)a2+b?加上什么式子可以得到(a-b)”

⑶a?+ab+b2加上什么式子可以得到(a-bW

2、已知(a+b)Ji,(a-b)2=25,求l+b'+ab的值.

八、布置作业：

1、课本40页练习1、2题。

2、课本40页习题B组1、2题。(选作)

2.3用提公因式法进行因式分解

【学习目标】

1、掌握因式分解、公因式的定义，能够透彻理解。

2、会用提公因式法分解因式。

3、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化

归的思想方法.

【学习重点】

会用提公因式法分解因式

【学习难点】

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

【教学准备】

多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。

(1)20X(-3)2+60X(-3)

(2)101-992

(3)572+2X57X43+432

(学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式)

［师］在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者

逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时

也需要将一个多项式写成儿个整式的乘积形式，这就是我们从今天

开始要探究的内容——因式分解。引入新课，同时明确本节的学习

目标。

二、自主学习：

自学任务：

1、学生自学课本41页。

2、通过自学，明确因式分解的定义，公因式的定义。

学生自学，分析讨论，探究新知.

把下列多项式写成整式的乘积的形式

(1)x2+x=_________

(2)x2-l=_________

(3)am+bm+cm=

［生］根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

(1)x2+x=x(x+1)

(2)x2-l=(x+1)(x-l)

(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

三、精讲点拨：

教师精讲点拨因式分解的定义。

像这种把一个多项式化成儿个整式的积的形式的变形叫做把这个

多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向

思维.

再观察上面的第(1)题和第(3)题，你能发现什么特点.

［生］我发现(1)中各项都有一个公共的因式x,(2)中各项都有

一个公共因式m,是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式

呢？

［师］你分析得合情合理.

因为ma+mb+mc=m(a+b+c).

于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一•个因式

是各项的公因式m,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，

像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

四、应用检测：

1、把8a3bJ12ab%分解因式.

2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

3、把3x26xy+x分解因式.

4、把-4a3+16a?T8a分解因式.

5、把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

(让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流

解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行

适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结)

1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).

总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行.可

以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止.

2、解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

总结：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考

虑直接提出.

3、解:3x2-6xy+x=x•3x-x•6y+x,l=x(3x-6y+l).

总结：1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时,

它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1.

4、解：-4a3+16a-18a

=-(4a3-16a2+18a)

=-2a(2a-8a+9)

注意：如果多项式的第一项的系数是负的，--般要提出“一”号,

使括号内的第一项的系数是正的.在提出"一”号时，多项式的各项

都要变号.可以用•句话概括：首项有负常提负.

5、解：6(x-2)+x(2-x)

=6(x-2)-x(x-2)

=(x-2)(6-x).

总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些

项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式.

五、课堂小结：

今天我们学习了提公因式法分解因式.同学们在理解的基础上，

可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.

各项有“公”先提“公”，

首项有负常提负.

某项提出莫漏1.

括号里面分到“底”.引导学生归纳。

六、拓展提高：

3200-4X3199+10X3198^7的倍数吗？为什么？

七、布置作业：

1、课本42页练习。

2、课本42页习题A组1、2、3题。(3题选作)

2.4用公式法进行因式分解（一）

【学习目标】

1.能说出平方差公式的特点。

2.能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【重点】

应用平方差公式分解因式。

【难点】

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.

【教学准备】多媒体课件

【教学方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题.

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将a2-b?分解因式吗？你是如何思考的？

二、学生自学，尝试探究

自学任务：

1、自学课本43页和44页的例1.

2、通过自学，掌握因式分解的平方差公式的结构特点。

3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。

结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。

说明：

1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多

项式化成了儿个整式的积的形式.

2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果

没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.

3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行

因式分解.

4、要将a2-b?进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用

提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方

差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=(a+b)(a-b).

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如

果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结

果，这种分解因式的方法称为运用公式法。今天我们就来学习利用平

方差公式分解因式，明确本节的学习目标。

自学检测，展示反馈：

1、观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么

特点？

(让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论)

2、填空：

(1)4a2=()>

(2)-b2=()②；

9

(3)0.16a'=(V；

(4)1.21a2b2=()，

(5)2-x'=()I

4

(6)5-x'y2=()2.

9

［做以上填空题的作用在于训练学生迅速地把一-个单项式写成平

方的形式.也可以对积的乘方、幕的乘方运算法则给予一定时间的

复习，避免出现4a?=(4a)2这一类错误］

3、分解因式

(1)4X2-9(2)(x+p)2-(x+q)

三、教师精讲，达标检测

因式分解的平方差公式的结构特点：

(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.

(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式

是这两数的差.

在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方

差”是得分解因式的多项式.

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写

成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

达标检测：

1、把下列各式分解因式

(1)36(x+y)2-49(x-y)2

(2)(x-1)+b2(l-x)

(3)(x2+x+l)-1

(4)_*+»

144

2、分解因式

(1)x4-y4(2)a3b-ab

解:(1)X4-/

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y).X

(2)a3b-ab=ab(a2-l)=ab(a+1)(a-l).

学生解题中可能发生如下错误：

(1)系数变形时计算错误；

(2)结果不化简；

(3)化简时去括号发生符号错误.

最后教师归纳：

(1)多项式分解因式的结果要化简：

(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。

四、课堂小结：

引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。

1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式。

2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式。

3.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需

要进•步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止。

五、拓展提高：

给出下列算式,

3-12=8X1,52-32=16=8X2,7-52=24=8X3,92-72=32=8X4,-

（1）观察上面一系列式子你能发现什么规律？用含n的式子表示出