2021版高中数学必做黄金100题44平面向量在解析几何中的应用（解析版）

第44题平面向量在解析JI何中的应用

题源探究•黄金母题

图，已知椭圆C：［+4=1,(a>6>0)的左、右焦点为耳、F,,其上顶点为A.已知AF,是边长为2

a'b

的正三角形.

(1)求椭圆c的方程；

(2)过点。(-4,0)任作一动直线/交椭圆C于例,N两点，在线段MN上取一点凡使得吗=2驾，试判

|QN|心|

断当直线/运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由.

【试题来源】2018届

【解析】(1)ARKE是边长为2的正三角形，则c=La=2,故椭圆C的J

福建省闽侯第六中学

⑵直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=Mx+4),并设M(x1J】),N(七,匕)高三上学期期末考

试.

xy_

联立方程《彳+亍=1,消去J得(3+4左2)/+32炉x+64d一12=0,则

【母题评析】本题考

y=k(x+4)

查轨迹方程的求法、

△=144(1-4/r)>0，M+x----------,x.=--------»由题意可设三点共线的证明，考

2'3+4父-3+4公

查考生的分析问题解

MR=-ARN,MQ=AQN,由而=4•丽得一4—玉=〃%2+4)，故

决问题以及转化与化

归的能力.

r+4-------【思路方法】利用向

4=--!—.设点的坐标为(%,凡)，则由—/bRN得

RMR=量共线可以将解析几

&+4

何中的三点共线或者

须)一无]=-A(X2-X0),解得平行问题代数化，利

用向量相等的充要条

%,+4

X]+——•X-,件是联系的桥梁，同

%]-AXX+4-2x(x+4(%]+x)

2222时要注意设而不求技

1—/I]+玉+4(X1+々)+8

巧的体现.

x2+4

64A:2-12-32k2-24

又2X/2+4(芭+x)=2x+4x

23+4公3+4F3+4及2

-32k224

(%1+x,)+8=+8=

3+4及23+4/

从而4=2*工+4(、+/)=_],故点R在定直线％=-1上.

(%,+x2)+8

考场精彩•真题回放

2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

AP=XAB+|iAD,则入+目的最大值为()

A.3B.272C.逐D.2

【命题意图】这类题主要考

【答案】A

查平面向量基本定理、向量

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.共线以及向量数量积在解

析几何中的应用，能较好的

考查考生分析问题解决问

题的能力以及基本计算能

力等.

【考试方向】这类试题在考

查题型上，若以选择题或填

空题的形式出现，难度中等

偏易；若以解答题的形式出

现，则难度较大.

【学科素养】数学运算、直

观想象

【难点中心】向量在解析几

设A(O,1),8(0,0),C(2,0),0(2,1),P(x,y),

何中的作用

2o4

根据等面积公式可得圆的半径y十,即圆C的方程是(X-2)2+/=-,(1)载体作用：向量在解

v55

析几何中出现，多用于“包

AP=(x,y-l),AB=(0,-l),AO=(2,0),若满足AP=XA3+4AO,即装”，解决此类问题时关键

*2〃，所以2+〃=2-y+1,设z=/_y+l,是利用向量的意义、运算脱

y-l=-A22-2去“向量的外衣”，导出曲

即楙一y+l—z=0,点P(x,y)在圆(x—2y+y2=*上，所以圆心到直线线上点的坐标之间的关系，

从而解决有关距离、斜率、

的距离iVr,即匕解得lWz<3,所以z的最大值是3,即4+〃

夹角、轨迹、最值等问题；

(2)工具作用：利用a_L)

的最大值是3,故选A.

o。•)=0,a〃

=可以

解决垂直、平行问题，特别

是向量垂直、平行的坐标表

示在解决解析几何中的垂

直、平行问题时经常用到.

三.理论基础•解题原理

考点一解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

1.若直线/的方程为：Ax+Bj+C=0,则向量(4,5)与直线/垂直，向量(一B,A)与直线/平行.

2.给出方+而与A3相交，等于已知苏+丽过AB的中点.

3.给出丽+丽=6,等于已知产是MV的中点.

4.给出而+而=2屏+西，等于已知A5与PQ的中点三点共线.

5.给出以下情形之一：①Q〃元；②存在实数%使砧=4%。；③若存在实数

外£,且。+-=1,使0。=&04+£05,等于已知A,5,。三点共线.

6.给出而•赢=0,等于已知即NAM3是直角，给出而•赢=m<0,等于已知

NAMB是钝角，给出忘•标=加>(),等于已知Z4A/3是锐角.

(——

MAMB―►

7.给出几+=MP,等于已知MP是NAM5的平分线.

lMH)

8.在平行四边形A8CD中，给出(赢+丽・(M—ZZ))=0,等于已知ABC。是菱形.

9.在平行四边形ABC。中，给出|AB+A£>|=|AB-Ar>|,等于已知A8CD是矩形.

10.在AA8C中，给出A0=g(A6+AC),等于已知AO是A43c中8C边的中线.

四.题型攻略•深度挖掘

【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易；若以解答题

的形式出现，则难度较大.

考向1利用向量相等的关系，把几何问题代数化

„22【温馨提醒】利用向量相等

已知双曲线C：—-^=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为6、

ab法解题，要注意以下两点：

2I、已知向量起点坐标和终

工，过点"作圆。：^+,2=幺的切线/,切点为加，且直线/与双曲线

4点坐标，则向量坐标为终点

。的一个交点N满足的耳|-|班|=2。，设。为坐标原点，若坐标减去起点坐标；2、向

量相等的充要条件.

QV+O4=2。0,则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=B.y=±百xC.y=±-^-xD.y=+>/6x

【答案】C

【解析】ON+PF[=2OM,故ON—OM=OM—PR,即

MN=F、M,故点M为线段£N的中点，连接。M,则为AN£Q的

中位线，且\OM\=^,OM,故|%|=2|0叫=。，且

F?NLRN,闾=2a,故点N在双曲线。的右支上，

；.|N制=3。，则在用AN£鸟中，由勾股定理可得，|NF；『+|NE『=忻用)

BP（3«）2+«2=（2C）2,解得（=半1+5,故2=逅，故双曲线C

a2

的渐近线方程为了=土当x,故选C.

考向2利用向量垂直的充要条件，巧妙化解解析几何中的垂直问题

丫2【温馨提醒】解析几

设Fl,F2分别是椭圆L+y2=l的左、右焦点，尸是第一象限内该椭圆

4何中的垂直往往利用直线

上的一点，且尸外，尸尸2,则点尸的横坐标为.斜率关系处理，可由于直

线位置的特殊性，使得解

【解析】由已知得大(-石,0),乙(石，。)，且设P(m,n)，则有：

题过程不完备，利用向量

PFX-(-V3-m-n),PF2-(V3-m-ti)由PF(_LPF2得垂直可以避开这.个问题，

但是要注意以下两点：1、

（-V3-〃?）（百—m）-\-n2=0^>m2+n2—3=0①且

充分挖掘题中垂直的条

件；2、要善于寻找向量坐

m21，1加2小、28/八、2V6

+n2=\=>n~=I———代入①得：m*-=—(m>0)n机=-^―.

标.

考向3利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题

22【温馨提醒】利用向量共线

如图，已知椭圆C：0+与=1,3＞人＞0)的左、右焦点为片、F，,其

ab~可以将解析几何中的三点

共线或者平行问题代数化，

上顶点为A.已知△aAF2是边长为2的正三角形.

利用向量相等的充要条件

(1)求椭圆C的方程;

是联系的桥梁，同时要注意

设而不求技巧的体现.

(2)过点0(7,0)任作一动直线/交椭圆C于M,N两点，在线段上

取一点R,使得吗=9驾，试判断当直线/运动时，点/?是否在某一定直

|。叫阿|

线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由.

【解析】(1)△片AF2是边长为2的正三角形，则c=l,a=2,故椭圆C的

22

方程为――+―1.

43

(2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=Z(x+4),并设

必),N(x2,y2).

22

xy_1

联立方程<4+3—,消去y得

y=k(%+4)

(3+4)t2)x2+32k2x+Mk2-12=0,贝！J

c-X)k2Mk2-12

A=144(1-4Z:")>0,X1+尤2=------------7,^-x2=----------,由题意

123+4%2123+4/

可设MR=-A-RN,MQ=AQN,由MQ=AQN得

x+4

一4一修=4(々+4),故2=-一一.设点R的坐标为(%,%),则由

/+4

MR—A.■RN得x0%|——%)，解得

-AX2x2+4_2xtx2+4(x,+x2)

1—A]+为+4(X|+%，)+8

x2+4

64产—12,—32攵2-24

又2玉42+4(%]+x2)=2x+4x-------7=-------7

3+4小3+4k23+4后2

-32k224>从而

+8=

3+4k23+4公

,故点R在定直线x=_i上.

2X]》2+4(X]+%2)J

°(x(+x2)+8

考向4利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题

已知抛物线C：V=2px(p>0),/为抛物线C的焦点，A为抛物线。上【技能方法】解析几何中的

角往往会用到正弦定理或

的动点，过A作抛物线准线/的垂线，垂足为。.

余弦定理以及直线斜率等，

但是因为种种限制因素，利

(1)若点。(0,2)与点尸的连线恰好过点A,且NPQF=90°,求抛物

线方程；用向量处理有“柳暗花明又

一村”的感觉，但是注意向

（2）设点M（%0）在x轴上，若要使尸总为锐角，求加的取值范

量夹角与三角形内角的区

围.

别，向量夹角的范围是

【解析】（1）由题意知：IAQRAFI，•••NPQE=90°,:.A为Pb的中[0,加，而三角形•内角范围

点，是（0,乃）,向量夹角是锐

角，则cos6>0,且

♦.•/（匕0）,.•.A（K,I）,且点A在抛物线上，代入得i=2p-"=>

244cosOwl,而三角形内角为

p=叵锐角，则8s6>0.

所以抛物线方程为V=2亿.

(2)设N(x,y),y2=2px,

根据题意：NA妨产为锐角=>而•]?>（）且加n已

2

AM-AF>0=(x-w)(x-^)+y2>0=x2-(^+w)x+J^+y:>0

•••y2=2px,所以得/+(当一m)x+号>0对x20都成立

令a)=/+(当一心+年=(X+*§2

对xNO都成立

（1）--等0,即加冷时，只要使?一（*?>0成立,

整理得：4苏一20〃p+9p?<0=>—<m<—,且加之亚，

222

所以考《加〈学.

22

（2）若上一垩<0,即配<亚，只要使%>0成立，得加>0

2422

所以0<W〈警

2

由（D（2）得桁的取值范围是0<桁<垩且物工工.

22

五.限时训练*提升素养

1.（2020•福建厦门）如图，椭圆C:±+y2=i的右顶点为A,上顶点为8,动直线/交椭圆C于两点，且

4

始终满足OMJ.QV,作OH上MN交MN于点、H,则以4.H8的取值范围是（）

44石4撞

A.[3-273,3+273]

5--5-，5+^-

【答案】C

【解析】设直线y=H+b,与椭圆方程联立得（1+4公卜2+8妨火+仍？—4=0,

8kb46-4

得％+々=

1+4公1+4公’

因为玉/+y跖=XW+（依+人）（4+人）=0，

代入整理得5/=4公+4，

2IE2人②4

原点到直线的距离OH?=（,'1）2=—万=-

Jl+%2\+k-5

所以点”在圆O:x2+y2=-上运动，记线段A8的中点为D,

直线AB与圆。：f+丁=《相切，

则HAHB=HD2-AD2=HD2--

HDG[t/-r,J+rJ=[净,»一沁猾

故选：c

2.（2020•江苏南京•期中）已知直线工+y一。=0（。＞（））与圆/+/=4交于不同的两点4,反。是坐标

原点，且有IOA+OB闫AB|,那么”的取值范围是（）

A.（V2,+oo）B.（2,+oo）C.[2,272)D.[72,272)

【答案】C

【解析】设A3的中点为C，

因为|。4+。8|…|AB],

所以|OC|…|AC|,

因为IOC|=

所以|AC『+|OC『=442野,

所以优，一2或。..2,

因为直线与圆相交，所以号＜2,所以—2&＜。＜2&，

因为。＞0,所以实数”的取值范围是［2,2亚），

故选：C.

3.（2020•重庆月考）直线ax+/?），+c=0与圆O：f+y2=4相交于加，N两点，若c?=/+从，p为

圆。上任意一点，则PA/.PN的取值范围为（）

A.[—2,6]B.[―2,4]C.[1,4]D.[—1,4]

【答案】A

【解析】解：取MN的中点A，连接Q4、OP,则。A,MN，

V

c2=a2+〃，

IcI

.•.点。到直线MN的距离OA==1,

y/a2+b2

QA1

在RfAON中，cosZAON=----=一，

ON2

<1Y1

AcosAMON=2cos2ZAON-1=2x--1=-----

。2

QM.ON=|OM|.|ON|cosNMON=2x2x[—g)=—2,

/.PMPN=(OM-OP>(ON-OP)

2

=OM・ON+OP-OP・(OM+ON)

=—2+4—20P0A=2-21|OA|cosNAOP

-2—4cosZAOP.

当OP，。4同向时，取得最小值，为2—4=—2；

当OP，反向时，取得最大值，为2+4=6.

/.PM.PN的取值范围为[-2,6].

故选：A.

C.I,—I-UUIUUUUtil

4.已知A,8是圆0:厂+»=4上的两个动点，4=2,OC=3OA-2OB，右M是线段AB的中点,

则OC-OM的值为（）

A.百B.2GC.2D.3

【答案】D

【解析】因为4,8是圆O:/+y2=4上的两个动点，且,@=2,

所以04=OB=2,（OA,O8）=1,

因为M是线段A8的中点，

所以OM=-OA+-OB.

22

所以.0C=（；QA+；OB）3QA—208）,

=||OA|2-|OB|2+^OA-OB,

=-x22-22+—x2x2xcos—=3,

223

故选：D

r2y224

5.（2020.江苏月考）已知双曲线二一4=1（。〉0力＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过工且斜率为丁的

a~a~7

直线与双曲线在第一象限的交点为A,若（66+KA）・6A=0,则此双曲线的标准方程可能为（）

2。）2）22

A,土-2=7B,上上=1C.工上=1D.土-工=1

4334169916

【答案】D

【解析】由题可知，4A=—6耳+gA,

若（鸟耳+鸟=

即为（"片+❷A）•卜死耳+6力）=0,

22

可得，

即有IAKR6片l=2c,

由双曲线的定义可知|4耳|一|伍|=2a,

可得|4用=2a+2c,

24

由于过B的直线斜率为吊，

24

所以在等腰三角形A6K中，tanZA/^f；

7

则cosNA鸟片=----,

HrAJ尸—r工田/日/ACL74c~+4（?2—（2a+2c）~

由余弦AE理得：cosNAE，6==------------------,

2522c2c

化简得：3c=5a,

34

即。=—c,b=—c,

55

可得a:0=3:4,可：Z;2=9：16,

22

所以此双曲线的标准方程可能为：—-^-=1.

916

故选：D.

6.（2020•湖南高三月考）己知经过点0'°）的直线/与抛物线）'=4x相交于A,B两点,C(TT)

且C4LC3,则ABC的面积为.

【答案】姮

2

【解析】设直线/：x=〃u+l,

y2=4x

设点3（七,%），联立〈一，得y2_4my-4=0,

x=my+l

则y+%=4①，%为二-4，

则xt+x2=4机2+2,xxx2=1.

由题意知CA.C5=0，

所以（玉+i）（w+i）+（y+i）（%+i）=o，

展开并代入化简得4m2+4m+l=o-

所以加=一，，

2

所以/的方程为2x+y-2=0,

点C到/的距离为

网=VT+m7-J（X+必）2-4>%；xj4+16=5,

所以S^BC=T4|AB|=；X6X5=¥.

S/5

故答案为：2

7.（2020・广东广州•期末）如图，已知圆A：（X+D-+）「=16,点8（1,0）是圆A内

一个定点，点尸是圆上任意一点，线段3P的垂直平分线4和半径AP相交于点。.当点P在圆上运动时,

点。的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设过点0（4,0）的直线4与曲线C相交于两点（点M在。,N两点之间）.是否存在直线4使得

DN=2DM?若存在，求直线&的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)臼+q=1(2)存在，、=骼(万一4)或了=一中5—4).

【解析】⑴因为圆A的方程为(l+Ip+)2=%,

所以4-1,0),半径厂=4.

因为4是线段AP的垂直平分线，所以IQP1=1QB|.

所以|APRAQ\+\QP\=\AQ\+\QB\=4.

因为4>|AB\,

所以点。的轨迹是以A(T,0),8(1,0)为焦点，长轴长2。=4的椭圆.

因为a=2,c=l,b1=cr-c1=3>

22

所以曲线。的方程为三+匕=1.

43

(2)存在直线乙使得DN=2DM.

方法一：因为点。在曲线。外，直线4与曲线C相交，

所以直线6的斜率存在，设直线4的方程为丁=左。-4).

设M(%,%),N(%,%)(%>Z)，

'22

三+匕=1

由<43得(3+4左2)%2-3242%+(64女2一12)=0.

y=Z(x-4)

32k2

则X]+x①

23+4公

64^-12

中②

23+4公

由题意知△=（—32左2）2一4（3+4左2）（64公_12）＞0,解得-g〈左＜；.

因为ON=2OM，

所以工2-4=2（西一4）,即当=2玉一4.③

\Z7\/H4+16&--4+16Z~

把③代入①得玉=-----r，x2=.......-④

3+4k3+4k

把④代入②彳'J36公=5,得k=土匪~，满足—

622

所以直线《的方程为：y=@（x-4）或y=_@（x-4）.

66

方法二：因为当直线6的斜率为。时，M（2,0）,N（-2,0）,ON=（—6,0）,DM=（-2,0）

此时DN丰2DM-

因此设直线4的方程为：x=ty+4.

设M（Xi，弘）”（乙,%）（花＞x2）,

22

J匕=1

由彳43得（3/+4）/+24）+36=0.

x="+4

由题意知△=(24/)2_4x36(3/+4)＞0,解得，＜一2或，＞2,

则x+%=-淳H①

、跖二篇’②

因为ON=2OA7，所以%=2y.③

把③代入①得乂=一3,%=一碧w④

把④代入②得5r=36，满足，<-2或，>2.

/y=y=--^-(x-4)

所以直线4的方程为6或6

8.（2020•北京朝阳・二模）已知椭圆。：4+2=13>6>0）的离心率为半，且椭圆C经过点（1,

（I）求椭圆C的方程;

（II）已知过点P（4,0）的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,与直线x=l交于点Q,设AP=/IPB，

AQ=〃Q3(Z〃eR),求证：2+〃为定值.

22

【答案】（I）—+21=1:（H）证明见解析

42

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