2020全国1卷高考理数试题答案解析

2020全国1卷高考理数试题答案解析

1.若z=l+/,贝”z2-2z|=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】D

由题意首先求得z2-2z的值，然后计算其模即可.

【解析】由题意可得：z2=(l+i『=2i,则z2—2z=2Z—2(1+。=—2.

故上2—2z卜卜2|=2.

故选：D.

【迁移】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

2.设集合/={况*-440},6={R2x+a40},且206=0—24x41},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

由题意首先求得集合A,B,然后结合交集的结果得到关于a的方程,求解方程即可确定实数

a的值

【解析】求解二次不等式好―4<0可得：A={x|-2<x<2},

求解一次不等式2x+a<0可得：B=

由于Ac5={x|_2WxWl},故：_£=1，解得：a=-2.

故选：B.

【迁移】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的

高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与

底面正方形的边长的比值为（）

D.

布+1

2

【答案】D

设CD=a,PE=b,利用PO-=^CDPE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.

【解析】如图，设。=a,PE=b,则PO=4PE2—OE2=/2_£2,

由题意，即〃—幺二上。/,,化简得4（一）2—2--1=0,

242aa

解得2=（负值舍去）.

a4

故选：C.

p

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容

易题.

4.已知/为抛物线慧=2呼（夕＞0）上一点，点/到C的焦点的距离为12,到y轴的距

离为9,则夕=（）

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【解析】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|”|=/+言=12,即12=9+/解

得P=6.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容

易题.

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据5，y）（i=l，2,,20）得到下面的散点

图：

由此散点图,在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度

x的回归方程类型的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx1

C.y=a+bexD,y=a+bln无

【答案】D

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率>和温度》的回归方程类型的是y^a+b\nx.

故选：D.

【迁移】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

6.函数/(%)=/-2d的图像在点(1)/(I))处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D,y-2x+l

【答案】B

求得函数y=的导数/'(力，计算出“1)和r⑴的值，可得出所求切线的点斜式方

程，化简即可.

【解析】/(X)=X4-2X3,.••/'(X)=谓―6三,.-./(1)=-1,/”)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=—2（x—1）,即y=—2x+l.

故选:B.

【迁移】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

TT

7.设函数/（x）=cos（@x+w）在［-兀㈤的图像大致如下图，则心）的最小正周期为（）

0

【答案】c

（47r、（47rTT、（47r、

由图可得：函数图象过点-7,0,即可得到cos=0，结合一瓦,0是

/Iqrqr-rr

函数/（光）图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到-工-0+7=-彳，即可求得

9o2

3

，再利用三角函数周期公式即可得解.

【解析】由图可得：函数图象过点,

（47r7T、

将它代入函数/（X）可得：cosl---W+-1=0

又（-T8］是函数/（%）图象与X轴负半轴的第一个交点，

所以—=-,解得：0=5

9o22

_2兀_2兀_47c

所以函数/(%)的最小正周期为9=方=5

2

故选：C

【迁移】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中

档题.

2

8.(x+^)(x+yf的展开式中方y的系数为()

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

C2A

求得(x+y)5展开式的通项公式为(reN且r(5)，即可求得x+二与

Ix)

(X+4展开式的乘积为C06-y或c"“y+2形式，对一分别赋值为3,1即可求得

的系数，问题得解.

【解析】(工+方展开式的通项公式为4+i=Gx"y(且-V5)

(2A

所以I+乙与(x+y)5展开式的乘积可表示为：

Ix

22

rr

xTr+l^xC^-y=G尸y或二七=二《产了=c""y+2

XX

在立…=C"6-y•中，令厂=3,可得：=。江3y3,该项中尤3,3的系数为I。，

22

在匕4+1=C04ry+2中，令r=l,可得：=C%3y3,该项中dy3的系数为5

XX

所以亡产的系数为10+5=15

故选：C

【迁移】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及

分析能力，属于中档题.

9.已知a£（。,兀），且3cos2a—8cosa=5，贝！］sina=（）

A@B.-

33

C.-D.近

39

【答案】A

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cose的一元二次方程,求解得出cose,再

用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【解析】3cos26z-8coscr=5，得6cos之a-8cosa—8=0,

2、、

即3cos4cosa—4=0,解得cosa=-§或cosa=2（舍去）,

又ae（0,sina=A/1-cos2a=.•

故选：A.

【迁移】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考

查计算求解能力，属于基础题.

10.已知AB,C为球。球面上的三个点，0。为ABC的外接圆若。。的面积为471,

AB=BC=AC=OO},则球。的表面积为（）

A.64兀B.48兀C.367rD.32兀

【答案】A

由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长,得出。a的值，根据球截面性质，

求出球的半径，即可得出结论.

【解析】设圆。半径为「，球的半径为R，依题意，

得乃r2=4TT,:.r=2,

由正弦定理可得AB=2rsin60°=273,

：.OOI=AB=26,根据圆截面性质OQ，平面ABC,

OOl±aA,R=OA="Oj+ow=Joo：+七=4,

球0的表面积S=4兀R2=647r.

故选：A

【迁移】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于

基础题.

11.已知。例：/+9—2x—2y—2=0，直线/:2x+y+2=0,P为/上的动点，过点

P作。N的切线PAP3,切点为A,B,当17Mli加|最小时，直线AB的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x-y+l=0D.

2%+y+1=0

【答案】D

由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点AP,氏M共圆，且AB，M/，根

g|PM|-|AB|=2s2AM=2|Q4|可知，当直线MP，/时，|尸闾・|明最小，求出以为

直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线A3的方程.

【解析】圆的方程可化为(x-l)2+(y-l)2=4，点M到直线/的距离为

|2xl+l+2|

d==A/5>2,所以直线/与圆相离.

立+干

依圆的知识可知，四点AP,民M四点共圆，且,所以

\PM\-\AB\=2SAPAM=2X^X\PA\X\AM\=2\PA\，而归闻=-4,

当直线MP，/时，11n=占-I^Ln=1，止匕时|尸最小.

rii[

1/、11y——x—fx=-1

••・MP：y-l=「(x-l)即>=彳》+彳，由-22解得，｛.

2221+y+2=0〔尸°

所以以MP为直径的圆的方程为(x—l)(x+l)+y(y—1)=0,即％2+,2一丁_]=0,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A8的方程.

故选：D

【迁移】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意

在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

12.若2“+1鸣。=4〃+21呜6，贝U()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b~

【答案】B

设f(x)=2,+log2x,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.

【解析】设八弟)*+2?，则"X)为增函数，因为

20+log2a=«+210g4〃=*"+log2b

所以

2fc2Z,

/(«)-fQb)=2"+log2a-(2+log22b)=2+log2b-(#+匕8？2b)

=iog21=-1<0,

所以/(a)</(2b),所以a<26.

2ab222hb22

f(a)-f(b)=2+\og2a-(2+\og2b)=2+\og2b-(2+log2b)=

2fofo2

2-2-log2Z?,

当b=l时，/3)m>0，此时/(。)>/(户)，有a>肘

当〃=2时，/(a)-/(^2)=-l<0，此时/(。)</(/)，有。<尸，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大

小，是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x+y-2<0,

13.若x,y满足约束条件<x-y-l>0,则力x+7y的最大值为.

y+l>0,

【答案】1

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数z=x+7y即：y^--x+-z,

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,

据此结合目标函数几何意义可知目标函数在点Z处取得最大值，

2%+y_2=0

联立直线方程：,可得点力的坐标为：A(l,0),

x-y-l1=n0

据此可知目标函数的最大值为：=1+7x0=1.

故答案为：1.

【迁移】求线性目标函数Z=ax+勿(ab/O)的最值，当6>0时，直线过可行域且在p轴上

截距最大时,z值最大，在y轴截距最小时,z值最小；当5<0时，直线过可行域且在y

轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

14.设a力为单位向量，S.\a+b\=l,则|a—切=.

【答案】也

整理已知可得：,+q=«a+bj,再利用a,b为单位向量即可求得2a”=-1,对，-力

变形可得：|a-Z?|=Ja|2-2a-Z?+|z?|2，问题得解.

rr

【解析】因为为单位向量，所以〃=8=1

所以卜+N=J(a+Z?)=Jd+2〃2+忖=,2+2〃.Z?=1

解得：2a-b——l

所以卜一囚='(a—/?)=+=A/3

故答案为：6

【迁移】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

22

15.已知尸为双曲线C邑-2=1(。>°/>°)的右焦点，/为C的右顶点，B为C上的点，

ab

且6尸垂直于x轴.若26的斜率为3,则U的离心率为.

【答案】2

z,2..

根据双曲线的几何性质可知，忸川=(,\AF\=c-a,即可根据斜率列出等式求解即可.

\BF,,£

【解析】依题可得1—,^1|_,\AF\=c-a即i,变形得

=3BF=-J

c-a

c1-a-=3ac-3a-，化简可得，e?—3e+2=0,解得e=2或e=1（舍去）.

故答案为：2.

【迁移】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.

16.如图，在三棱锥2Z6C的平面展开图中，ZC=1,AB=AD=y/3,AB±AC,AB1.

AD,NC4£=30°,则coszFCB=.

F(P)

【答案】-:

在△ACE中，利用余弦定理可求得CE,可得出CT,利用勾股定理计算出8C、BD,

可得出8斤，然后在3CP中利用余弦定理可求得cosNECB的值.

【解析】AB1AC,AB=6,AC=1,

由勾股定理得BC=A/A82+AC2=2，

同理得,.-.BF=BD=y/6,

在△ACE中，AC=1,AE=AD=y/3,ZCAE=30,

由余弦定理得GE?=AC?+AE2—2AC.AECOS30=1+3—2xlx逝x^=l,

;.CF=CE=\,

在BCT中，BC=2,BF=R,CF=1,

CF~+BC2-BF21+4-61

由余弦定理得cosZFCB=5十”~竺二

2CFBC2x1x24

故答案为：

【迁移】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

(-)必考题：共60分.

17.设｛a,J是公比不为1的等比数列，%为外,%的等差中项.

(1)求｛4｝的公比；

(2)若4=1,求数列｛〃4｝的前〃项和.

【答案】(1)-2;(2)s=1—(1+3")(—2)"

9

(1)由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；

(2)由(1)结合条件得出｛4｝的通项,根据｛〃4｝的通项公式特征,用错位相减法,即

可求出结论.

【解析】(1)设｛叫的公比为4,%为%，%的等差中项，

2%=a,+%4+4-2=0,

q^l,:.q=-2；

(2)设｛九4｝的前〃项和为S“，q=l,an=(—2尸，

S„=lxl+2x(-2)+3x(-2)2++〃(-2尸，①

—2S“=1x(—2)+2x(—2)2+3x(—2)3+(〃一1)(—2)m+〃(一2)”,②

①—②得，3S.=1+(-2)+(—2>++(—2)、—2)"

1-(-2)”1—(1+3”)(—2)"

_〃(一2)'=

1—(-2)3

,sJ-(1+3L)(-2)"

n9

【迁移】本题考查等比数列通项公式基本量计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和,

考查计算求解能力，属于基础题.

18.如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.ABC

是底面的内接正三角形，P为。。上一点，尸。=理。。.

6

(1)证明：PAL平面;

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)寺.

(1)要证明PA1平面PBC,只需证明PA1PB,PAIPC即可；

(2)以。为坐标原点，04为x轴，CW为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算

n•m

出平面的法向量为n,平面PCE的法向量为m,利用公式cos<m,n>=——计

\n\\m\

算即可得到答案.

【解析】(1)由题设，知△DAE为等边三角形，设AE=1,

则00=走,CO=BO=1-AE=l-，所以PO=^£>O=也,

22264

PC=y/pc^+oc2=PB=yjpo2+OB2=­,

44

又ABC为等边三角形，则「^=2。4，所以区4=火，

sin602

3

如2+92=7=432,贝UzA%=90，所以PALP5,

4

同理P4LPC,又PCPB=P,所以PAL平面PBC;

(2)过。作。N116c交26于点/V,因为P。，平面A5C，以。为坐标原点，04为x

轴，02为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

PC=(—＞答争,PB=(-3,[今,PE=(1,o,一当,

设平面PC3的一个法向量为〃=a，x，Z]),

n-PC=0—Xi—\Z2zi=0厂

，得|r厂，令玉=0,得Z]=—l，x=°,

n-PB=0、-石+，3%-，2Z]=0

所以〃=(后,0,-1),

设平面PCE的一/法向量为m=(x2,y2,z2')

m-PC=Q-X2-岛-叵=0,自后6

，得《

由＜r-，令/-1,得Z2=-，2,%=----

m-PE=0'

-2X2-V2Z2=03

所以加=(1,里，-应)

n-m2点2也

设二面角8—PC—E的大小为。，贝卜05。=拽.

5

【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能

力，数学运算能力，是一道容易题.

19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，•比赛前抽

签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一

场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰,

另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率

都为g,

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

137

【答案】(1)五；(2)-；(3)—.

16416

(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件"甲连胜四场"的概率；

(2)计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概

率；

(3)列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性

可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【解析】(1)记事件“：甲连胜四场，则;

(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输,

则四局内结束比赛的概率为

P'=P（ABAB）+P（AC4C）+P（BCBC）+P（BABA）=4xI14

3

所以,需要进行第五场比赛的概率为尸=1-

(3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，

记事件M：甲赢，记事件N:丙赢，

则甲赢的基本事件包括：3CBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,

所以，甲赢的概率为尸(")=[3)+7x[；)=专

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，

97

所以丙赢的概率为P(2V)=l-2x—=—.

3216

【迁移】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查

计算能力，属于中等题.

20.已知48分别为椭圆£+9=1(a>1的左、右顶点,G为£的上顶点,AGGB=8,

a

。为直线x=6上的动点，PA与£的另一交点为C,PB与£的另一交点为D.

(1)求£的方程；

(2)证明：直线。过定点.

丫2

【答案】(1)互+丁=1；(2)证明详见解析.

(1)由已知可得：A(-«,0),B(a,0),G(0,l),即可求得AG-63=4—1,结合已

知即可求得：储=9,问题得解.

(2)设P(6,%),可得直线AP的方程为：yJ(x+3),联立直线AP的方程与椭圆

f-3y„2+276%)

方程即可求得点C的坐标为U-同理可得点D的坐标为

1%+9%+9J

f3v2-3-2v、

2,,，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：

I%+1%+1J

J命题得证.

【解析】(1)依据题意作出如下图象：

-------/

X

x=6

2

由椭圆方程E:■+丁=>1)可得：A(-cz,0),B(a,0),G(0,l)

a

：.AG=(a,l),GB=(a,-l)

•••AGGB=a2-l=8,■-cr=9

r2

,椭圆方程为：工+/=1

9-

(2)证明：设P(6,%),

那:y=?(x+3)

则直线AP的方程为：2；—3产3)，

--------Fy2=i

,0

联立直线AP的方程与椭圆方程可得：”,整理得：

*+3)

2222

(JO+9)X+6JOX+9JO-81=O，解得：x=-3或%=3yB+了

为+9

一3靖+27?（x+3）可得：尸?

将％=司门代入直线丁=

+9

2

f~3y0+276%)

所以点。的坐标为

IJo2+9'%2+9/

CM-3—2%

同理可得：点。的坐标为

、嫦+1Nt/+1,

二直线的方程为：y-

靖+9y；+i

2y8y(y2+3)ry2-3

000308%3yj-3)

整理可得：y+22-X-

F-6(9—%)―-+1Nt/+1>

y0y0

2%4%4%xl_________________

整理得：y=3(3-%2)为2—33(3一为2)

（3

故直线CD过定点-,0

\27

【迁移】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理

论证能力，属于难题.

21.已知函数/（x）=e*+ax2-x.

（1）当8=1时，讨论以x）的单调性；

（2）当贬0时，尸（x）2+1，求a的取值范围.

【答案】（1）当X«Y,O）时，/'（^<0，X）单调递减，当工€（0,一）时，

-7、

尸（>>0,"，单调递增.（2）——,+ooj

Q）由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

（2）首先讨论六0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的

最大值即可确定实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，，(x)=，+x2—x,f\x)=ex+2x-l,

由于尸'(力=/+2>0,故/(%)单调递增，注意至1]/(0)=。,故:

当xe(-oo,0)时，尸(力<0,/(%)单调递减，

当X€(O,”)时，当(X)>O,/(X)单调递增.

⑵由/(x)25丁+1得，e'+ax~-x..x3+1，其中x2O,

①.当后0时，不等式为：1>1,显然成立，符合题意；

T3

e_lr-r-l

②.当x>0时，分离参数a得，〃2

u...--------------------

X

口x3x

e--x-x-1[x-2\[e--x2-X-1

%(x)=--/—…=——J2

X3

^h(x)=ex--^x2-x-l(^x>0),

贝”"(力=/_%_],h\x)=ex-l>0,

故”(力单调递增,A'(x)>/z'(O)=O,

故函数/?(%)单调递增，7z(x)>A(O)=O,

由力(大”0可得：gf—x—i.0恒成立，

故当xe(O,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(2,x»)时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

72

因此，[g(x)L=g(2)=T

7-e2)

综上可得，实数a的取值范围是--------,+oo.

4)

【迁移】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与

解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求

参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想

的应用.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

［选修4-4:坐标系与参数方程］

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22.在直角坐标系％0y中，曲线G的参数方程为"