2022-2023学年四川省达州市渠县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市渠县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（

____5

r,0°/C,,H110,

70,HQ；SO,1107L70,

2.在平面直角坐标系中，若点P（l-2x,x-1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正

确的是（）

3.下列说法，错误的是（）

A.一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等

B.“若a>b,则。2>。2”的逆命题是假命题

C.在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上

D.用反证法证明"三角形中必有一个角不大于60。”，先假设这个三角形中有一个内角大于

60°

4.如图，边长为a、b的长方形周长为12,面积为5,贝Ua3b+ab3।------------------------------pT

的值为（）L

A.60\

B.120卜A|

C.130

D.240

5.表格第一列是王江化简分式小工.尧匕的部分计算过程，则在化简过程中的横线上

%2-4x4-4X2+4x4-4

依次填入的表格第二列内容的序号为（）

_(%+2)(%-2)%(2-%)

原式—r\r_i_”2①％+2

()(%+2)

x+2x(2—%)

②X-2

%-2(%+2)2

(

=1T)③(久-2)2

~x—2x+2

X

一()④(比+2)2

A.④①②B.③①②C.③②①D.④②①

6.若关于x的分式方程。-2=与有增根，则根的值为（）

X—3%—3

A.1B.2C.3D.4

f5（x-2）>3x

7.若某多边形的边数满足不等式组3A1、.的整数解，则这个多边形的内角和是（）

I.>x-2

A.540°B,720°C.900°D.1080°

8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线4C1BC,M在4a4D的平分线上，且AM1DM,

A.12B.20C.24D.30

9.如图，点P为定角N40B平分线上的一个定点，且NMPN与乙40BA

互补，若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与02、。8相交M

于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A.0M+ON的值不变

B.乙PNM=乙POB

B

C.MN的长不变

D.四边形PMON的面积不变

10.如图，在平行四边形2BCD中，ZD8C=45°,DE1BCADG

于E,BF1CD^-F,DE,BF相交于H,BF与力。的延长线

BE

相交于点G,下面给出四个结论：①BD=yTl,BE-,②乙4=乙BHE；③4B=BH；④△BCF三A

DCE,其中正确的结论是()

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①②③

二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)

11.若一次函数y=kx+6(k<0)的图象经过点4(3,1),则不等式依+6的解集为

12.如图,口28。。的顶点4(0,4),B(-3,0),以点B为圆心，

4B长为半径酒弧，交BC于点、E,分别以点4E为圆心，以

大于g/lE的长为半径画弧，两弧在N4BE的内部相交于点尸,

画射线BF交4D于点G,则点G的坐标是.

13.如图第一象限内有两点P(m—4,n),Q(m,n-3),将

线段PQ平移，使点尸、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平

移后的对应点的坐标是.

14.我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图1,a2-l=a(a-l)+

(a—l)=(a—l)(a+l).接下来，观察图2,通过类比思考，因式分解-1==

图1图2

15.如图，平行四边形4BCD中，。为对角线交点，DP平A

'D

分乙4DC,CP平分上BCD,AB=7,AD=10,贝|OP=

三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

（1）解不等式：竽〉与工；

（2）解方程：2.

17.（本小题8.0分）

先化简，再求值：手请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数

求值.

18.（本小题8.0分）

下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

19.（本小题8.0分）

在AACB中，乙ACB=90°,尺规作图的痕迹如图所示，若AC=2,AB=5,求线段CD的长.

20.（本小题9.0分）

某商场准备购进4B两种书包，每个月种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进4种书

包的个数是用350元购进8种书包个数的2倍，请解答下列问题：

（1）4B两种书包每个进价各是多少元？

(2)若该商场购进B种书包的个数比4种书包的2倍还多5个，且4种书包不少于19个，购进4

B两种书包的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案.

21.(本小题9.0分)

如图,△ABC各顶点的坐标分别为力(—2,-4),5(0,-4),C(l,-1).

(1)将△力8C向上平移多少个单位，再向右平移多少个单位得到的位置?

(2)将AABC绕点C顺时旋转得△A2B2C.

①当旋转角为90。时，在方格中画出△42%C；

②旋转中，当月4最长时，求久的坐标.

22.(本小题9.0分)

如图，在n48CD中，E,F是直线BD上的两点，DE=BF.

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形;

(2)若4D1BD,AB=5,BC=3,且£T—4F=2,求DE的长.

23.(本小题10.0分)

阅读材料：形如。2±2必+炉的式子叫做完全平方式.有些多项式虽然不是完全平方式，但可

以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方

法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用.

(1)用配方法因式分解：a2+6a+8.

解：原式=次+6a+9—1

=(a+3)2—1

=(a+3—l)(a+3+1)

=(a+2)(a+4)

(2)用配方法求代数式a?+6a+8的最小值.

解：原式=a?+6a+9—1

=(a+3)2—1

(a+3)2>0,(a+3)2—1>—1,a2+6a+8的最小值为-1.

解决问题：

(1)若代数式/-10x+k是完全平方式，则常数k的值为；

(2)因式分解：a2-12a+32=；

(3)用配方法求代数式4久2+4x+5的最小值；

拓展应用：

(4)若实数a,b满足a2-5a-b+7=0,贝！Ja+b的最小值为.

24.(本小题10.0分)

△ABC^WLDEC是等腰直角三角形，4ACB=乙DCE=90°,AC=BC,CD=CE.

【观察猜想】当△4BC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接延长BD交2E于点F,

猜想线段BD和4E有怎样的数量关系和位置关系.

【探究证明】如图2,将ADCE绕着点C顺时针旋转一定角度a(0。<a<90。)，线段8。和线段

AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

【拓展应用】如图3,在AaCD中，^ADC=45°,CD=<7,AD=4,将AC绕着点C逆时针

旋转90。至BC,连接BD,求BD的长.

25.(本小题11.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线刈=2乂+1交工轴于点力，交y轴于点B,以力B为边作

(1)求点C,D的坐标；

(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP,BQ,PQ,若△BPQ是以BQ为斜边的

等腰直角三角形，求点P的坐标；

(3)已知直线力=ax,当x<2时，对x的每一个值都有巧<711请直接写出a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意;

B、80。+110。#180。，故8选项不符合条件；

C、不能判断出任何一组对边是平行的，故c选项不符合题意；

。、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故。选项符合题意；

故选：D.

根据平行四边形的判定定理做出判断即可.

本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：•点P（l—2居久一1）在第二象限，

fl-2x<00

"（%-1>0@'

解不等式①得：%>p

解不等式②得：x>1,

・•.不等式组的解集为：x>l,

则X的取值范围在数轴上表示为：

故选：B.

由P为第二象限点求出x的范围，表示在数轴上即可.

此题考查了用数轴表示不等式组的解集，以及点的坐标，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键.

3.【答案】D

【解析】解：4、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本

选项说法正确，不符合题意；

B、“若a>b,则a?>b2”的逆命题是若a?>b2,则a>b是假命题，例如（―2下>。2,而—2<0,

故本选项说法正确，不符合题意；

C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题

思；

用反证法证明"三角形中必有一个角不大于60。”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60。,

故本选项说法错误，符合题意；

故选：D.

根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答.

本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分

线的性质定理、反证法的应用是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：・・・边长为a、匕的长方形周长为12,面积为5,

a+b=6,ctb=5,

(a+by=36,

a2+2ab+b2=36,

a2+b2=36—2x5=26,

a3b+ab3=ab(a2+Z)2)

=5x26

=130.

故选：C.

直接利用已知结合完全平方公式得出小+62=26,再将原式变形得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键.

5.【答案】C

(x+2)(x—2)x(2-x)

【解析】解：原式=

2)20+2)2

x+2x(2—%)

x-2(x+2)2

1—x(x—2)

x—2x+2

x

~x+2f

那么在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为③②①,

故选：c.

将原式利用分式乘法法则计算后即可求得答案.

本题考查分式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：*一2=吗，

x—2(%—3)=m—1,

解得：x=7—m,

•・•分式方程有增根，

%—3=0,

x-3,

把％=3代入％=7—771中得：

3=7—m,

解得：m=4,

故选：D.

根据题意可得：%-3=0,从而可得％=3,然后把％=3代入整式方程X=7-租中，进行计算即

可解答.

本题考查了分式方程的增根，根据题意求出工的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键.

7.【答案】B

(5(%—2)>3%

【解析】解：3%—)，

解得：5<x<7,

则其整数解为尤=6,

那么这个多边形的内角和为(6-2)x180°=720°.

故选：B.

首先解不等式组确定其整数解，然后利用多边形内角和公式计算即可.

此题为基础题目，涉及到解一元一次不等式组及多边形内角和.

8.【答案】B

【解析】解：延长DM交2C于E,

•••2M平分“AD,AM1DM,

/.DAM=^EAM,^AMD=^AME=90°,

在A/WM和AAEM中，

ADAM=AEAM

AMAM,

./.AMD=^AME

.-.AADM=AAEM(ASA),

DM=EM,AE=AD=12,

••.M点是DE的中点，

・；N是CD的中点，

•••MN是ACDE的中位线，

•••MN=2,

•••CE=2MN=4,

•••AC=AE+CE=12+4=16,

在平行四边形ABC。中，AB=CD,AD//BC,AC1BC,

•••AC1AD,

•••^CAD=90°,

•••AB=CD=VAD2+AC2=V122+162=20，

故选：B.

延长0M交AC于E,利用4S2证明AADM三AAEM可得4E=4D=12,DM=EM,即可证明MN是

△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可

求解.

本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解2C

的长是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：过P作PL108于M,。、1。”于可,

•••0P平分乙4。8,

PL=PQ,

•・•4MPN与乙4。8互补，

・•・乙PMQ+(PNO=180°,

・•・乙PNL+乙PNO=180°,

・•・乙PMQ=乙PNL,

•・•乙PQM=乙PLN=90°,

：.XPMQ三XPNL(AAS),

・•.PM=PN,MQ=LN,OQ=OL,

・•.OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ,

•・•乙4。8的度数是定值，。尸的长是定值，

・•・OQ的长是定值，

・•.OM+ON的值不变，

故A不符合题意；

设乙MPN=%0,

•・•PM=PN,

11

・••乙PNM=乙PMN=1X(180°-%)=90°-^%0,

•・•乙AOB+乙MPN=180°,

•••Z.AOB=180°-X。

11

•••乙PON=/(180°-％)=90°-1%°,

・•・乙PNM=2PON,

故5不符合题意；

•••M、N在移动，

・•・MN的长在变化，

故。符合题意；

•••△PMQ=APNL,

二四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积,

OP=OP,PQ=PL,

:.Rt&POQ三Rt4P0L&L),

二四边形PQOL的面积=2XAPOQ的面积=OQ-PQ,

■■OQ,PQ的长是定值，

.•・四边形PMON的面积不变，

故。不符合题意.

故选：C.

过P作PL1OB于M,PQ1OA于N,可以证明△PMQmAPNL(AAS),得到PM=PN,MQ=LN,

OQ=OL,因此。M+ON=MQ+OQ+OL—LN=2OQ=定值；设乙MPN=x°,

^PNM=APON=90°-|x°,由M、N在移动，得到MN的长在变化，四边形PMON的面积=四边

形PQOL的面积=2XAPOQ的面积=OQ-PQ=定值.

本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，关键是过P作PL1OB于M,

「(？1。4于%,构造全等三角形.

10.【答案】D

【解析】解：••・乙DBC=45°,DE1BC,

：.4DBE=乙BDE=45°,

.・.BE=DE,

BD=UBE,故①正确；

DE1BC,BF1CD,

・•・乙BEH=乙DEC=90°,

・•・乙BHE+乙HBE=90°=乙HBE+Z.C,

Z-C=Z-BHE,

•・,四边形ZBCO是平行四边形，

•••Z-A=Z-C=Z-BHE,故②正确；

•・•zf+乙CDE=90°,

・•.Z,CDE=乙HBE,

在和△DCE中,

2HBE=乙EDC

BE=DE

/BEH=乙DEC=90°

；.△BHE三△ocE(asa),

；.BH=CD,故③正确，

在ABCF和ADCE中，只有三个角相等，没有边相等，

・•.△BCF与ADCE不全等，故④错误.

故选：D.

①由等腰直角三角形的性质可求8。=

②由余角的性质和平行四边形的性质可求乙4=NC=乙BHE；

③由“ASTI”可证△BHE=ADCE,可得BH=CD；

④在ABCF和ADCE中，只有三个角相等，没有边相等，贝必BCF与ADCE不全等.

本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的

性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

11.【答案】x>3

【解析】解：设〃=弓％,

当％=3时，V=1x3=1,

•••4(3,1)在正比例函数y=的图象上，

・•,4(3,1)在一次函数y=kx+b(k<0)的图象上,

•••2(3,1)是直线y=kx+b和y=3的交点，

Vfc<0,

・,・当%>3时,直线y=fcx+b在直线y=3X的下方,

即k%+b<紧，

・,・不等式k%+Z?<"%的解集是久>3.

故答案为：%>3.

设y=?,根据已知条件得到4(3,1)是直线y=-+人和y=?的交点，于是得到结论.

本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确地求出不等式的解集是解题的关键.

12.【答案】(5,4)

【解析】解：•.“BCD的顶点4(0,4),5(-3,0),

OA=4,OB—3,

•••AB=VOA2+OB2=V32+42=5，

根据作图可知，BG是N28C的角平分线，

•••Z.ABG=Z.GBC,

在平行四边形4BC。中，AD//BC,

.•.乙4GB=NGBC,点G与点力的纵坐标相等，

Z-ABG=Z-AGB,

•••AB=AG=5,

二点G的坐标是(5,4),

故答案为：(5,4).

根据作图可知，BG是N4BC的角平分线，然后由平行四边形的性质可得4G的长，因而可得答案.

此题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

13.【答案】(0,3)或(一4,0)

【解析】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'.

分两种情况：

①P'在y轴上，Q'在x轴上，

则P'横坐标为0,Q'纵坐标为0,

v0—(n—3)=—n+3,

・••九一几+2=3=3,

.•.点P平移后的对应点的坐标是(0,3)；

②P在x轴上，Q'在y轴上，

则P'纵坐标为0,Q'横坐标为0,

•••0—m=­m,

••・zn—4—zn=-4,

・••点P平移后的对应点的坐标是(-4,0)；

综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0).

故答案为：(0,3)或(一4,0).

设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'.分两种情况进行讨论：①尸'在y轴上，Q'在久轴上；②P'在

x轴上，Q'在y轴上.

此题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规

律相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

14.【答案】a?9—1)+a(u—1)+(o—1)(a—+a+1)

【解析】解：将图2看作三个长方体相加口寸，可得式子：Gtxax(a-l)+lxlx(ci-l)+lxax

(cz—1)=(a-1)+a(a—1)+(a—1)；

原式两边提取a-1,可得原式=(a-l)(a2+a+1).

故答案为：a2(a—1)+a(a—1)+(a-1)；(a-1)(n2+a+1).

把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即

可解答.

本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键.

15.【答案】1.5

【解析】解：延长DP交于Q,如图所示：

••・四边形28CD是平行四边形，

•••OB=OD,CD=4B=7,BC=AD=10,AD“BC,

：.^ADC+乙BCD=180°,^ADP=乙CQD,

•••DP平分41DC,CP平分/BCD,

11

・•.Z.ADP=乙CDQ=^ADC,乙DCP=乙QCP="BCD,

•••乙CQD=乙CDQ,

.・.CQ=CD=7,

・•.BQ=BC-CQ=3,

•・•Z.CDQ+乙DCP=1^ADC+乙BCD)=1x180°=90°,

・•・CP1DQ,

DP=QP,

OB=OD,

■.OPMABDQ的中位线，

1

OP=^BQ=1.5,

故答案为：1.5.

延长DP交BC于Q,由平行四边形的性质得。B=OD,CD=AB=7,BC=AD=10,4D〃BC,

再证CQ=CD=7,则BQ=BC—CQ=3,然后证CPIDQ,由等腰三角形的性质得DP=QP,

最后证OP是ABDQ的中位线，即可求解.

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握

平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证出。2为小BDQ的中位线是解题的关键.

16.【答案】解：(1)去分母得：2(2%+1)>3(2%-2),

去括号得：4%+2>6x—6,

移项得：4%—6%>—6—2,

合并同类项得：-2x>-8,

解得：x<4；

(2)去分母得：1—x=-1—2(x—2),

解得：x=2,

检验：把x=2代入得：x—2=0,

・•・x=2是增根，分式方程无解.

【解析】(1)不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到久的值，经检验即可得到分式方程的

解.

此题考查了解分式方程，解一元一次不等式，熟练各自的解法是解本题的关键.

17.【答案】解:--(%-i)

_%+1.%2—1

X'X

_x+1X

x(x+l)(x—1)

一1

----,

X—1

由｛He/，得：

.,・％可以取得整数为一2,-1,0,

・.•当％=0或1时，原分式无意义，

x——2,

当第=一2时，原式=：=—

-z—1J

【解析】将分式化简，解出不等式组取整数解，选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式

子计算即可.

本题考查了分式的化简求值，解不等式组，注意分式是否有意义是解题的关键.

18.【答案】解：选择方法一，证明如下:

根据题意，如图：

延长DE到F点，使。E=

••,E是4C的中点，

•••AE—EC.

在△ADE与中，

AE=CE

AAED=乙CEF,

DE=EF

••△ADE二4CFE(SAS).

AD=CF,Z.ADE=Z.CFE,

AB//CF,

•・・O是48的中点，

BD=AD,

・•.BD//CF,

.•・四边形DBCF是平行四边形,

DF//BC,DF=BC,

；.DE"BC,DE=^BC.

【解析】选择方法一：根据题意，先证明A/IDE三ACFE,然后证明四边形DBCF是平行四边形，

即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

19.【答案】解：由作图可知，4D是NB4c的角平分线，DE是4B的垂线，

・••DE1AB,

又・・・"18C,

DE=DC,

XvAD=AD,

・•・Rt△AED三Rt△ACD(HL),

AE=AC=2,

・•.BE—3,

在RtATIBC中，由勾股定理得，

BC=VAB2-AC2=V52-22=

设CD=x,则BD=V21—%,DE=x,

在RtABDE中，由勾股定理得，

BD2-DE2=BE2,

即(V21—x)2—x2=32>

心2AT21

•••CD=•

【解析】由作图可知,4。是N&4c的角平分线,DE是48的垂线，根据HL证明Rt△AED=Rt△ACD,

得出AE的长，设CD=x,则=-久，DE=x,根据勾股定理得出方程求解即可.

本题考查了勾股定理，角平分线的性质，根据作图得出DE=C。是解题的关键.

20.【答案】解：(1)设每个4种书包的进价是x元，则每个B种书包的进价是(乂+10)元，

根据题意得：驷=瑞乂2,

x%+10

解得：x—60,

经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意,

•1-%+10=60+10=70.

答：每个4种书包的进价是60元，每个B种书包的进价是70元；

(2)设该商场购进ni个4种书包，则购进(2爪+5)个8种书包，

根据题意得：［60?^+70(2m+5)<4350,

解得：19<mW20,

又；山为正整数，

m的值可以为19,20,

该商场共有2种进货方案，

方案1：购进19个4种书包，43个B种书包；

方案2：购进20个4种书包，45个8种书包.

【解析】(1)设每个力种书包的进价是x元，则每个B种书包的进价是(x+10)元，利用数量=总价+

单价，结合用600元购进4种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍，可列出关于x的分式

方程，解之经检验后，可得出每个4种书包的进价，再将其代入(x+1。)中，可得出每个B种书包

的进价；

(2)设该商场购进小个4种书包，则购进(2m+5)个B种书包，根据“购进4种书包不少于19个，且

购进4,B两种书包的总费用不超过4350元”，可列出关于小的一元一次不等式组，解之可得出租

的取值范围，再结合加为正整数，即可得出各进货方案.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正

确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

21.【答案】解:(1)如图，A&BiQ即为所求;

(2)如图，A2c即为所求;

①如图，A4B2c即为所求；

②旋转中，当442最长时，4与4重合，此时求&的坐标(3,2).

【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出4B,C的对应点力*B],6即可；

(2)①利用旋转变换的性质分别作出4B的对应点712,%即可；

②当点儿在力C的延长线上时，的值最大.

本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属

于中考常考题型.

22.【答案】(1)证明：••・四边形4BCD是平行四边形,

-.AD//BC,AD=BC.

•••Z-ADB=Z.CBD.

Z.ADE=Z-CBF,

在△ADEW中，

AD=BC

AADE=乙CBF,

DE=BF

•••△4DE三△CBF(S/S).

・•.AE=CF,/.AED=乙CBF.

・•.AE//CF,

・•・四边形AFCE是平行四边形；

(2)解：vBDLAD,AB=5,BC=AD=3,

BD=VAB2-AD2=752-32=4，

连接AC交EF于。，

1

...DO=OB=^BD=2,

•・・四边形/ECF是平行四边形，

EO=OF=^EF,

・•.DE=BF,

设。E=BF=x,

EF=2x+4,

•••EF-AF=2,

AF=2x+2,

vAF2=AD2+DF2,

(2x+2/=32+(4+x)2,

x=/7(负值舍去)，

DE的长为，万.

【解析】(1)根据平行四边形的性质，得2D〃BC,AD=BC.根据平行线的性质，得乙4DB=乙CBD,

贝ikADE=NCB凡根据S4S可以证明△ADEmACBF,AE=CF,^AED=乙CBF,从而证明4E//CF,

根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形2FCE是平行四边形；

(2)根据勾股定理得到=7AB?-4)2=752—32=4,连接AC交EF于。，求得D。=。8=

根据平行四边形的性质得到EO=OF=；EF,设DE=BF=x,根据勾股定理即可得

到结论.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的

关键是得至XD£=ACBF.

23.【答案】25(a-4)(a-8)3

【解析】解：(1)(%-5)2=x2-10x+25,

•••k=25,

故答案为:25；

(2)a2-12a+32

=a?-12a+36-4

=(a-6)2—4

=(a-6+2)(a—6—2)

=(a-4)(a—8),

故答案为：(a—4)(a—8)；

(3)4/+©+5=4x2+4x+1+4=(2x+l)2+4,

(2%+I)2>0,

(2x+I)2+4>4,

4x2+4x+5的最小值为4；

(4)a2—5a—b+7=0,

a2-4a—a—6+7=0,

a+b=a?—4a+4+3=(a-2)」+3,

(a-2)2>0,

(a-2)2+323,

a+b的最小值为3.

故答案为：3.

(1)根据完全平方公式即可求解；

(2)根据配方法即可求解；

(3)根据配方法以及非负数的性质即可求解；

(4)根据配方法，以及非负数的性质即可求解.

本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

24.【答案】解:【观察猜想】AE1BD,AE=BD；

【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，

证明：因为NACB=NDCE=90。，

所以〃CB+ZXCD=乙DCE+AACD,

即乙4CE=乙BCD,

在AACE和ABC。中，

AC=BC

Z.ACE=乙BCD,

.CE=CD

所以ATlCE三△BCD(SAS),

所以AE=BD,乙CAE=LCBD,

因为乙4cB=90°,

所以“BO+乙CGB=90°,

因为NCAE=NCBD,4AGF=LCGB,

所以NCAE+4AGF=90°,

所以NBFA=180°-90°=90°,

所以AE1BD；

【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE,连接4E,

所以NDCE=90°,CE=CD=方,4CDE=45°,

所以DE=VCD2+CE2=2，

因为N4DC=45°,

所以乙4DE=^ADC+Z.CDE=45°+45°=90°,

所以4E=VDE2+AD2=V22+42=2废,

因为将AC绕着点C逆时针旋转90。至BC,

所以N4CB=90°,AC=BC,

由【探究证明】在AACE和ABCD中，

AC=BC

Z.ACE=乙BCD,

CE=CD

所以△ACE^/^BCD(SAS)知BD=AE,

所以8。=2AT5.

【解析】解：【观察猜想】AE1BD,AE=BD,

证明：因为AABC和△DEC是等腰直角三角形，

所以4C=BC,CE=CD,^ACB=/LDCE=90°,

在△ACE和ABC。中，

AC=BC

/-ACE=乙BCD,

CE=CD

所以AACE三ABC。(SAS),

所以AE=BD,乙CAE=LCBD,

因为NACB=Z.DCE=90°,

所以NCAE+^AEC=90°,

因为"4E=NCB。，/.AEG=ABEF,

所以NDBC+ABEF=90°,

所以NBFE=180°-90°=90°,

所以AE1BD；

【探究证明】见答案；

【拓展应用】见答案.

分析：【观察猜想】根据S4S推出AACE三△BCD,根据全等三角形的性质得出NC4E=NCBD,

根据N4CB=乙DCE=90。求出NG4E+AAEC=90°,求出ADBC+乙BEF=90。，根据三角形内角

和定理求出NBFE=90。即可；

【探究证明】根据S4S推出AACEmABCD,根据全等三角形的性质得出NC4E=NCBD,根据

乙4cB=90。求出NCBD+NCGB=90。，求出NCAE+N4GF=90。，根据三角形内角和定理求出

4BFA=90。即可；

【拓展应用】在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角4CDE,连接AE,贝IUDCE=90°,CE=CD=

C，^CDE=45°,可得乙ME=乙4。。+"DE=45。+45。=90。，由勾股定理可得DE=

VCD2+CE2=2,AE=VDE2+AD2=V22+42=2口，由旋转得NZCB=90°,AC=BC,

由【探究证明】知BD=4E,即可得BD的长.

本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理，证明△2CEmABC。是本题的关键.

25.【答案】解：(1)在乃=+1中，令尤=0得为=1,令％,=0得x=-2,

•••X(-2,0),5(0,1),

OA=2,OB—1,

•・•OD=3OB,

OD=3,AD=OA+OD=5,

・•・0(3,0),

••・四边形48CD是平行四边形,

，BC=AD=5,

・•・C(5,l),

答：C(5,l),。(3,0)；

(2)设P(m,0),

由C(5,l),。(3,0)可得直线CD解析式为y=1%-|,

・•・乙BPK+(QPK=90°,BP=QP,

•・•Z.QPK+乙KQP=90°,

•••(BPK=4KQP,

•••乙BOP=90°=乙QKP,

在aBOP和△PKQ中

(乙BP