2023年湖南省长沙市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年湖南省长沙市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.函数F(x)=f(x>sinx是奇函数，则f(x)()

A.A.是偶函数B.是奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数

又不是奇函数

k展开式中的常数项是()

(A)C：(B)C：

2.(C)-C：(D)-C：

3.函数*=/工+9的值域为()。

A.RB,[3,+oo)C.[0,+oo)D.[9,+oo)

4.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

等差数列中，前4项之和S4=1,前8项之和$=4,则+Q&

(A)7(B)8

(C)9

5.(D)10

6.下列函数中为奇函数的是（）

A.A.y=2Igx

BB.y=3'+3-'

CC

D.

7.设函数f(x)=ex,则f(x—a>f(x+a)=()

A.A.f(x2-a2)

B.2f(x)

C.f(x2)

D,f2(x)

8.

第10题设z=[sin(27i/3)+icos(27i/3)]2,i是虚数单位，则argz等于(

A.K/3B.2兀/3C.4兀/3D.5兀/3

9.不等式旧,三的解集为()

A.{x|x>0^x<-l}B.{x|-1<x<0}C,{x|x>-1}D.{x|x<0}

过函数y=与图像上一点/作x轴的垂线PQ,Q为垂足。为坐标原点,则AOPQ

的面积为()

(A)l(B)2

10(C)3(D)6

(9)设甲：k=I且5=I.

乙:直线y=总+6与),="平行，

则

(A)甲是乙的必要条件但不是乙的无分条件

(B；甲是乙的充分条件似不足乙的必要条件

(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.(Di甲是乙的充分必要条斗

(7)设命履甲：*-I.

命题乙：交线y・H与直线y平行.

时

(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

(C)甲不整乙的充分条件也不是乙的必要条件

(D)甲是乙的充分必要条件

函数/(X)=1+8SX的最小正周期是

(A)-(B)x(C)-JI(D)2K

13.22

14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC所在直线与BC1所在直线所

成角的大小是()

A.A.3O0B.45°C.60°D.90°

15.设sina=l/2,a为第二象限角，则cosa=()

A.A.«3/2B.«2/2C.l/2D.也/2

16.已知|a|=2,|b|=l,a与b的夹角为九/3,那么向量m=a-4b的模为

（）

A.--

B.2后

C.6

D.12

17.已知球的直径为6,则该球的表面积是（）

A.A.MB.36兀C.1447TD.2887T

18.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取

法共有0

A.3种B.4种C.2种D.6种

19.在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同

一条直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.A.EW-国

B.

C.'-

心一）

20.函数y=6sinxcosx的最大值为0o

A.lB.2C.6D.3

21.

(8)直线*+2夕+3=0经过

(A)第一、二、三象限(B)第二、三、四象限

(C)第一、二、四象限(D)第一、三、四象限

22.设宿=33.-21,,正=[3.2.-21,则就为()

A.A.{2,-1,-4}B.{-2,1,-4}C.{2,-1,0}D.{4,5,-4)

23.圆柱的轴截面面积等于10,体积为5兀，它的母线长和侧面积分别是

()

A.5和10兀B.5兀和10C.5和25nD.10和10兀

设玛，巴为橘畦+q=1的焦点/为椭国上任一点,则△/>"£的周长为

()

(A)16(B)20

24.(C)18，1口不能确定

25.函数y：'>1)的定义域为()。

A.{x|x>0}B.{x|x>l}C.{x|0<x<1}D.{x|x<0或x>l}

曲线y=--3x-2在点(-1,2)处的切线斜率是()

(A)-1(B)-273

26.©-5(D)-7

27.设集合乂={乂I-l<x<2},N={x|xgl}集合MCIN=()。

A.{x|-1<X<1}B.{x|x>-l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>l}

抛物线y=-4x的准线方程为

(A)x=-l(B)x=l(C)”1(D)y=-l

，不等式翁三＞0的解集是

儿卜,＜一£或工＞外口卜|一卜〈4|

D•印〉T

设E和E为双曲线1一丁=1的两”「在双曲线L,则I|PFJTPHll=（）

A.A.4

B.2

C.1

二、填空题（20题）

31.圆心在y轴上，且与直线x+y-3=0及x-y-l=0都相切的圆的方程为

32.

不*式|x—1|＜1的解集为—.

33.函数y=sinx+cosx的导数y'.

34.若/Cr）=.r2—ax+l有负值，则a的取值范围是

35.过点(2,1)且与直线Y=x+1垂直的直线的方程为•

已知球的半径为1.它的一个小圆的面积是这个球表面积的!,则球心到这个小

0

36.Sfe的平面的电翻里

37.

某次测试中5位同学的成绩分别为79,81,85,75,80,则他们成绩的平均数为

38.设f(x+l)=z+2641,则函数f(x)=

39.函数f(x)=x?-2x+l在x=l处的导数为o

以■■手♦4-1的焦点为II点,而以■«!的9(点为焦点的双曲线的标雁方程为

O,

40•

41.(18)向岫*b互相垂忆且H=1,则。•(。+6)=

i.x1-2x♦1

42.W3二-=一

43.设离散型随机变量自的分布列如下表所示，那么自的期望等于

1009080

P0.20.50.3

已知双曲线，-/=1的离心率为2,则它的两条渐近线所夹的锐角

44.为‘

45.不等式(2x+l)/(L2x)的解集为.

46.已知直线3x+4y-5=0,x?+y2的最小值是.

47.

已知平面向量a=(l,2),b=(—2,3),2a+3b=.

48.直线3X+4y/2=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则AOAB的周长为.

49.已知正四棱柱ABCD-AECD，的底面边长是高的2位，则AC与

CC所成角的余弦值为

50.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

已知等差数歹！I{an}中，al=9,«3+a8=0.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

52.

（本小题满分12分）

已知函数/（工）7求（1）«幻的单调区间；（2）人工）在区间［十,2］上的最小值.

53.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

54.

（本小题满分13分）

巳知函数Ax）=H-2日

（I）求函数y=/（*）的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是谶函数；

（2）求函数y=/（x）在区间［0,4］上的最大值和最小值.

55.

（本小题满分12分）

已知等差数列Ia/中=9,%+，.=0,

（I）求数列|a.1的通项公式，

（2）当n为何值时.数列的前"页和S*取得能大值,并求出该最大值•

56.（本小题满分12分）

设数列141满足5=2,417=3a,_2（"为正嚏数）.

（1）求与",；

（2）求数列la.|的通项•

57.（本小题满分13分）

从地面上A点处测山顶的仰角为a,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为B，求山高.

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线y2=会，0为坐标原点,F为抛物线的焦点・

（I）求10月的值；

（n）求抛物线上点P的坐标，使AO。的面积为上

58.

59.

（本小题满分12分）

△48C中，已知a:+c*-43=*且logfBiM+lo&sinC=-1，面积为v5cm’，求它二

近的长和三个角的度数・

60.（本小题满分12分）

已知等比数列；a1中,%=16.公比g=-L.

(1)求数列la.l的通项公式；

(2)若数列|a1的前n项的和S.=124.求n的俏.

四、解答题(10题)

巳知毫械*舄♦工=1的两个焦点.P为■»!上一点,且•.束

61&PF储的面积.

62.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边

形所在平面M的垂线，且PA=a求：

(I)点P到AB、BC、CD各边的距离；

(II)PD与平面M所成的角.

设福敷y・7U)是定义在R*上的*函数.井口♦是=A*)

(I)求/(I)的值；

(2)如果/U)♦42-4<2,求工的取值他围.

63.

已知数列匕力的前“项和S“=n2-2”.求

(IHaJ的前三项；

0(D)<a"的通项公式.

04.

65.

求以曲线2/+,-4#-10=0和y=2x-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在x轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

66.

已知等比数列打.)中，的=16.公比(/=:,

CI)求［%>的遹项公式;

CII)若数列｛4力的前〃项和5.=124.求”的值.

已知椭圆的离心率为空，且该椭圆与双曲线f_J=l焦点相同,求椭圆的标准

方程和准线方程.

67.

68.

已知函数/(Q=?-3/+m在［-2,2］上有最大值5,试确定常数叫并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

69.已知圆O的圆心在坐标原点，圆O与x轴正半轴交于点A,与y

轴正半轴交于点B,|AB|=2反

(I)求圆O的方程；

(H)设P为圆O上一点，且OP〃AB,求点P的坐标

70.

设.网;73=I(A>o)的焦点在*轴上,0为坐标原点,P、Q为■!!卜两点,使得

OP所在直线的斜率为若△打用的向根恰为为外,求该HHI的焦盥。

五、单选题(2题)

直线3x+y-2=0经过

(A)第一、二、四象限(B)第一、二、三条限

71.9)第：、二、四年限(D)第、二四皱曜

用0」,2,3这四个数字,组成的没有重复数字的四位数共有()

(A)24个'(B)18个

72.(612个(D)10个

六、单选题(1题)

73.设f(x+l)=x(x+l),贝IJf(2)=()o

A.lB.3C.2D.6

参考答案

1.A

因为函数F(x)=/(x)•sinr是奇函数,sinr是奇函数.

故F(一/二-F(H)•sin(一工)=-sinz・

即/(-x)sin<—x)=~/(x)stnr•/Cc)=/(n)•则/Cr)是偶函数.(芬案为A)

2.B

3.B

该小题主要考查的知识点为函数的值域.【考试指导】

因为对任意的工都有了2+9>9,即

>"6+9=3,则函数》二，持十9的值

域为［3,+oo).

4.B选项A中，x/5+y/5=l,在轴上截距为5.但答案不完整二•选项B中

有两个方程，y=3/2x在X轴上横截距与y轴上的纵截距都为0,也是相等

的.选项C,虽然过点(2,3),实质上与选项A相同.选项D,转化为y=3/2x,

答案不完整.

5.C

6.D

对于D,f(—x)=(—x)3+tan(—x)=—(x3+tanx)=—f(x).(答案为D)

7.D

由于f(,x—a)，

所以f(x—a)•/Cr+a>=，—・•一*・=户=1(工),(苏案为D)

8.D

9.A

111111

----,即x>0或xV-L故绝对值不等式的解集

为{x|x>0或xV-1}.

10.C

11.B

12.D

13.D

14.C

15.A

16.B

B析】加・/一弘6-16y*

乂aiss。尸=4."=1&'■】・

C^«2X1XCO5-1-1.

则IR”■《一8X1+16-12t

a—4bJl2Mssa-e-2>/5.

17.B

18.A3个球中有黑球的取法有CFC32=3种.

19.C

20.D该小题主要考查的知识点为函数的最大值.【考试指导】=6sinxcosx

=3sin2x,当sin2x=1时y取最大值3.

21.B

22.C

23.A

求母线的长，可从圆柱的截面积中求出.如图，S截面=2rxL=10,rL=5

①V=7rr2xL=57T-r?L=5②②/①二产口曰曰一r=l....L=5,S侧

=2nrxL=2nxlx5=107t.

24.C

25.D

该小题主要考查的知识点为定义域.【考试指导】x（x-1）K）时，原函

数有意义，即x>l或x<0o

26.C

27.A

该小题主要考查的知识点为集合之间的关系.

【考试指导】用数轴表示（如图）.

-2X

6题答案图

28.B

29.B

Oy-l

A【解析】x-777>0<=?（2^*—1）（3x4-1）>0.

34十】

•'♦xG（-8.一■5-）U（y.+°°）.

30.A

由It量有『=4.a=2.由双曲线的定义，可知

[IPF>I-1PF,II=2a=4.（卷案为A）

it翼的方fl为（工-0）'+（,一》）'=/.（如田）

圆心为

必=|。3|•即

|0+*~~31_|0~~11

/P+11*—+（-1>'

lye-31■1I->«-11ny#-1・

=I0+L3I=|-212=万

r-/iTTir"戊.花‘

31.x2+（y-l）2=2，一，1:-

32.

{x|0<x<2}

|x-l|<l=>-kx-l<l=>0<x<2,故不等式|x—1|<1的解集为{x[0<x<2}.

33.

cosx-sinx【II析】y=（cosx-FsinzY

一<inJ-t-cosJ*-cos-r-sin工一

【考点指要】本题考查导数知识.函数和的导数等于导数的和.

34.

彳aIa<.2或a>21

M因为八.，)=/一〃7仃负值.

所以A-<-a)*-4X1X1>•'.

解之得a<-2j^a>2.

【分析】本题孝查对二次品数的由亲与性盾、二

次不学式的健法的草捱.

35.

36.

37.

【答案】80

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】成绩的平均数=(79+81+85+75+80)/5=80

38.设x+l=t，则x=t-l将它们代入

入八工+1)=才+2G+1中，得

/(/)=/—1+2JL\+】=，+2，L1.则

39.0F(x)=(x2-2x+l),=2x-2,故。⑴=2x1-2=0.

40.

y-^-=i.解析:桶喇的顶点*标刈*苒.0).总或上标别A斤工。)，即(*6,0).则对于该双

41.(18)1

42.

0”5:-21♦1.r：1)«»*slv-2.<<(<)■婷-LUa

43.

答案：89解析：E(自)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

44.W)

45.{x|-l/2<x<1/2}

①的解集为一；V*V；・②的“集力0，

44

<x|—I'Ov}}U0={Xl-

46.1

•/3x+4y-5=0->y=-3/4x+5/4,x2+y2=x2+(-3/4x+5/4)2=25/16x(x2-15)

/8x+25/16—>a=25/16>1,又当x=-b/2a时,y=4ac-b2/4a=l,是开口向

上的抛物线，顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),有最小值1.

47.

【答案】(-4,13)

【解析】该小题主要考查的知识点为平面向量.

【考试指导】2a+3b=2(1,2)+3(-2,3)=(-4,13).

48.

49.

50.

设正方体的极长为x.6^=+,工=受，因为正方体的大对角线为球体的直径，j2『二舟

，即所以这个球的表面积是S=4/=4x•(号&j-尹.建案为-浮)

51.

(I)设等差数列I。」的公差为人由已知%+，=0,得

2。1+9d=0.又巳知5=9.所以d=-2.

数列la.I的通项公式为a.=9-2(n-i).即册=11-2a

(2)数列I。」的前nJJi和

S.=/(9+l~2n)=—n3+10n=—(n-5)3+25.

当n=5时.S.取得最大值25.

(I)函数的定义域为(0,+8).

令小#)=0,得x=i.

可见,在区间(0/)上/(工)<0;在区间(1.+8)上/(X)>0.

则/(H)在区间(0.1)上为减函数;在区间(I.+8)上为增函数.

(2)由(I)知，当x=l时«*)取极小值,其值为=1-Int：

又〃；)=；-In=y+In2^(2)=2-ln2.

52I”、<•<In2<Ine.

即:<ln2VL则/(>/(1)J(2)>J{1}.

因明■⑺在区间」.2］上的最小值是1.

53.

设三角形三边分别为aAc且。+占=10,则6=1。-a

方程2?-3x-2=0可化为(2x+l)(x-2)=0.所以.产-y,x2=2.

因为a、b的夹角为夕,且Icos^lWl,所以coM=-y.

由余弦定理，得

/=aJ+(10-a)1-2a(10-a)x(-y)

=2a‘♦100—20a+10。-a'=Q*-10。+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5时|,c的值最小,其值为庄=58.

又因为a+b=10.所以c取得最小值,a+6+c也取得最小值.

因此所求为10+54.

54.

(1)八£)=1-%令人幻=0,解得x=l.当xe(0.l)"(x)<0；

当工w(l.+8)/(x)>0.

故函数/(外在(0.1)是减函数,在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时4外取得极小值.

又〃0)=0，AO=-i./<4)x0.

故函数/tx)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-1.

55.

⑴设等比数列la.l的公差为d,由已知。，+，=0,得2%+9，=0.

又已知%=9,所以d=-2.

得数列Ia.|的通项公式为a.=9-2(n-l),BPa.=ll-2n.

(2)数列la」的前n项和S.4(9+11-2/0=-n3+10r»=-(n-5)J+25.

则当n=5时.S.取得最大值为25.

56.解

(l)a.»i=3a.-2

a..i-1=3a.-3=3(a.-1)

(2)|a.-l|的公比为Q=3,为等比数列

Aa.-1=(at-1)</**'=9*'=3**"

a.=3**'+1

57.解

设山高CQ=x则RSADC中=xcota.

Rt△BDC中.BD=xcoi^.

AB=4D-HO.所以asxcota-xco0所以x=-------

cota-cotfl

答:山离为—a米.

cota-co.

(25)解：(I)由已知得F(J,O),

o

所以IOFI=』.

o

(n)设P点的横坐标为八("0)

则P点的纵坐标为《或-

△0。的面积为

解得工=32,

58.故。点坐标为(32,4)或(32,-4).

59.

24.解因为、+/-酎=*所以土=：

LQCL

即cosB.而B为AABC内角.

所以B=60°.又1哂疝M+lo^sinC=-1所以sin4•sinC="

则y[co6(4-C)-cos(4+C)]=+・

所以cos(4-C)-ct»120°=--,BPc<»(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4=105。,C=15。；或4=15°,C=105。.

因为S^K=\abidnC=2/?飞rvkinB疝1C

=2瞪.&工也.臣・应第二每2

4244

所以3=6所以R=2

所以a=2/{airt4=2x2xsin105°=(新+Q)(cm)

b=2RsinB=2x2x痴n60°=24(cm)

c=2X»inC=2x2x3nl5o=(V5-A)(cm)

或as(^5-JI)(cm)6=2cm)c=(J6^^2)(cm)

«・=力长分别为(用+^)cm2乐n、(痴-A)cm,它们的对角依次为:105。.®)°.11

60.

(1)因为。3=5/.即16=.x；,得.=64.

4

所以,该数列的通项公式为a“=64x(/)・T

⑵由公式s.=与3得印”包，

-1-X

化箭得2"=32,解得n=5.

61.

«由已MJi网的长

ttlW.I-M.lFF,1.京(IX的定义气.一♦・=3

乂r*.1<n-M^M.r>A.MUr.(-6.O).F1(«.O)fllFlFj.12

件APR。中.|l|*«VfJRWLwKP.

■»'♦n1-,<T«»=144

>>'42flM4n'1400

3-以得(2-加=254.z»M6(2-万)

因此，A的*机力jnnoa30'=X(2-5).

62.

《I》加图所示.

•：PA_L平面M..,.PA1BC.

・•.点P到AB的距■为a.

过A作BC的季线交CB的低长线于（3线站汽;•

：・BC1平面APG.WPGj.AH,

•；AG-^a・PA-。.

.,.在RtAAPG^.PG-7PAiVAlfa.WitPMHC的即育为岑a.

•；PAJ_平面M.

...ACJftPC在平面M上的射影,

又TAD是正六边形ABCDEF外接■的自航・

/.ZACD-90*.

因此ACLCD.所以CD_L平面ACP,即PC是P到CD的距离，

•：AO=Ga.PA-a.

.*.PC-0?+/■?-.因此P到CD的蛇桌为2a.

DAa]

（口）设PD与DA所失的角为。•在RtZ^PAD中.，«1«=而一万.丁，

**.aarctan）为PD与平面M所攵的角・

63.

*(D。#v-I.WrtO-AD^D.-./th-a

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64.

(I)因为S*=nz—2〃.则

%=Si=-1.

ax2

tS2—a,=2-2X2—(—1)=1,

a2

3=S3-ai—at=3—2X3—(—1)—]

=3.(6分)

(n)当心2时，

=S.—Si

=n2—2n—[(n—I)2—2(n—1)]

=2n-3.

当”=1时必=-1，满足公式a.=2n—3.

所以数列{a.)的通项公式为a”=2n-3.

解本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

(2x2+y’-4x-10=0

根据题意,先解方程组、，，

[y=2x-2

x=3,(x=3

,I,

{y=2.ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线丫=土全

这两个方程也可以写成:-4=°

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为薪-力=0

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

9i=62

所以*=4