【《常微分方程解的稳定性的探析》2500字】

常微分方程解的稳定性的研究 1 1 1 1 2 3 4 4微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式；如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程。常微分方程是理工科专业中的一门基础课程，起源于17世纪，其中如何求解常微分方程是该门课程的重点，也是该门课程必须要攻克的难点，学习常微分方程这一部分内容，对于大多数人来说都是偏难的，但它又是数学专业中必须要掌握的知识，所以采用合适的方程去解决常微分方程是很有必要的，也是值得重视的。因此，本文针对常微分方程进行研究分析，进而在不同领域使用且促进数学知识的全面使用。关键词：常微分；稳定性；方程20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学(如物理、化学、生物、天文)和社会科学(如工程、经济、军事)中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间(空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R.Bellman)、莱夫谢茨(S.Lefschetz)及拉萨尔(J.P.LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来.在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开开辟的方向。初始值的微小变化对不同系统的影响不同.例如初始值问题2则称(2)的零解是稳定的，否则称(2)的零解是不稳定的.V(0)=0.3在许多情况下就可以确定V(x)在原点邻域内的符号.对正定函数V(x),容易证明当c>0充分小时，V(x)=c是R"中包围原点的续曲线的线段上至少有一点x°,使V(x⁴)=c,所以V(x)=c是包围原点的闭曲面。设n维自治微分方程的解为x(x₁(t),x₂(t),…,x,(t)).为了研究(6)解的稳定性，考察随时间变化时V(x(t))的变化情况.将V(x(t))视为t的复合函数，关于t求导得定理1若有原点的邻域U和一个正定(负定)函数V(x),使得V(x)是半负定(半正会增加，(2)的轨线只能停留在V(x)=V(x⁰)内，所以原点是稳定的.当V(x)的零解是渐近稳定的.该几何意义也正是我们证明定理1的基本思想.当V(x)负定时，(6)的零解稳定，只要),即可证明(6)的零解渐近稳.由于V(x)负定，故V(x(t))单调下降，从而由V的正定性知必有t≥t₀时V(x(I))≥V*.由V(x)的连续性知，必存在O<η<ε,使得4(9)表明,这与V(x(t))≥V*>0矛盾.故(6)的零解是渐近稳定的.数来判断，而平衡点的稳定性的