全国II卷高考压轴卷理科数学

2018全国卷II高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=（）A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）2.“”是“函数上是增函数”的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()A． B． C． D．4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则=（）A． B． C．4 D．55.在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．7.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．38.已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A． B． C．（2，0） D．（9，0）9.椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）10.在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为() A． B． C． D．11.已知，则展开式中的系数为（）A．24B．32C.44D．5612.已知正数x、y、z满足的最小值为（） A．3 B． C．4 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14.若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是．15.已知的内角的对边分别为，若，则的面积为．16已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点，记直线AC、BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.（12分）设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，a22+a23=a28+a23，S7=7（Ⅰ）求{an}的通项公式（Ⅱ）若1+2log2bn=an+3（n∈N*），求数列{anbn}的前n项和Tn．18.（12分）从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：分组频数频率[100，110）50.050[110，120）①0.200[120，130）35②[130，140）300.300[140，150]100.100（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.（12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（Ⅰ）求证：对任意的，都有（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值20.（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．21.（12分）已知函数，．（Ⅰ）若曲线在与处的切线相互平行，求的值及切线斜率；（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（Ⅲ）设函数的图像C1与函数的图像C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修44，坐标系与参数方程]（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{，，}，求h的范围．参考答案：1.【答案】A【解析】由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到CUP=[，+∞）．故选A．2.【答案】B3.【答案】C【解析】因为互不相等，不妨设，则，由知关于直线对称，所以.由，知，所以，选C.4.【答案】D【解析】等差数列{an}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D5.【答案】B【解析】由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．6.【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的几何体；设AB=1，则截取的部分为三棱锥E﹣BCD，它的体积为V三棱锥E﹣BCD=××1×1×=，剩余部分的体积为V剩余部分=V四棱锥P﹣ABCD﹣V三棱锥E﹣BCD=×12×1﹣=；所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为：=1：3．故选：B．7.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=160，k=4不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=484，k=5由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得：5＞n≥4，所以输入n的值为4．故选：C．8.【答案】A【解析】：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m），因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=4，②，②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，由得x=，y=，所以直线AB恒过定点（，），故选A．9.【答案】A【解析】方法一：如图所示，B是右顶点（1，0），上顶点A（0，b），左焦点F（，0），线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵kAB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==m，代入上述方程可得：y==n．由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＞0．化为：b＜，又0＜b＜1，解得：0＜b＜．∴e==c=∈（，1）．∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选A．方法二：设A（0，b），B（a，0），C（﹣c，0），设△FAB的外接圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C代入外接圆方程，解得：m=，n=，由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＜0，整理得：1﹣c+b﹣＜0，∴b﹣c+＜0，∴b﹣c＜0，由椭圆的离心率e==c，∴2e2＞1，由0＜e＜1，解得：＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选A．10.【答案】B【解析】由题意可得，，其区域是边长为2的正方形，面积为4由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得，其区域如图所示即其区域如图所示，面积S=s2ds==所求概率P=,故选B11.【答案】A12.【答案】C13.【答案】第三象限【解析】：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．14.【答案】（﹣1，+∞）【解析】由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1.15.【答案】16.【答案】【解析】设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=•=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．17.【答案】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a22+a23=a28+a23，∴（a4﹣a2）（a4+a2）=（a3+a5）（a3﹣a5），化为2d×2a3=﹣2d×2a4，d≠0，∴a3=﹣a4．∵S7=7，∴S7==7a4=7，解得a4=1，∴a3=﹣1，d=2．∴an=a4+（n﹣4）×2=2n﹣7．（Ⅱ）∵1+2log2bn=an+3（n∈N*），∴1+2log2bn=2n﹣1，∴．∴anbn=（2n﹣7）×2n﹣1，∴数列{anbn}的前n项和Tn=﹣5×1﹣3×2﹣1×22+1×23+…+（2n﹣7）×2n﹣1，2Tn=﹣5×2﹣3×22﹣1×23+1×24+…+（2n﹣7）×2n，∴﹣Tn=﹣5+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣7）×2n=﹣5+﹣（2n﹣7）×2n=﹣5+2n+1﹣4﹣（2n﹣7）×2n，∴Tn=（2n﹣9）×2n+9．【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）1+2log2bn=an+3（n∈N*），可得1+2log2bn=2n﹣1，．anbn=（2n﹣7）×2n﹣1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．18.【答案】（1）100﹣（5+35+30+10）=20，1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.1=0.35．频率分布表为：分组频数频率[100，110）50.05[110，120）200.2[120，130）350.35[130，140）300.3[140，150]100.1频率分布直方图为：平均成绩为105×0.05+115×0.2+125×0.35+135×0.3+145×0.1=127分．（2）成绩低于120分的人数为20×（0.05+0.2）=5人，不低于120分的人数为15人，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）根据频数之和为100，频率之和为1计算①②，作出频率分布直方图，利用组中值代替每小组的平均数计算平均数；（2）根据分层原理计算选出的20名学生中成绩低于120分的人数，利用超几何分布计算概率得出分布列，再计算数学期望．19.【答案】（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CDF是二面角CAED的平面角，即∠CDF=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=在Rt△ADE中,从而，在中，.由，得.由，解得，即为所求.证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即。解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为..0<，，.由于，解得，即为所求。20.【答案】（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），∴|PF2|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E的方程为：=1．（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）…①…又，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②以①式代入可得AB的斜率k==．（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），|AB|=|x1﹣x2|=×=，点P到直线AB的距离为d=，△PAB的面积为S=|AB|×d=×|t﹣2|，设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．当t∈（﹣2，﹣1）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=﹣1时取得最大值，所以S的最大值为．此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．【解析】（Ⅰ）由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立得x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S=×|t﹣2|，设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．