湖北省荆州市荆沙市区川店镇镇西中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆州市荆沙市区川店镇镇西中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[e﹣1，2]B．[e﹣2，2]C．[﹣e，1+e]D．[1﹣e，1+e]参考答案：B【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意知|lnx+﹣m|≤1，变形得m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则问题转化为函数h（x）的值在[m﹣1，m+1]，对函数h（x）求导即可得h（x）在[，e]上的最值情况，对比后即可答案．解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，∴对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，即|lnx+﹣m|≤1，从而m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则h′（x）==，从而当x＞1时，h′（x）＞0；当x＜1时，h′（x）＜0；当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，故h（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e﹣1，所以m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，从而e﹣2≤m≤2，故选：B．【点评】：本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求导讨论函数的单调性，属于中档题．2.已知，则y=f（x）的对称轴为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．3.已知命题：“”，命题：“函数在上是增函数”，则命题是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A4.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是，那么可以估计π的值约为（

）A.B.

C.D.参考答案：B解:如图，点在以为邻边的正方形内部，正方形面积为1，能构成钝角三角形的三边，则，如图弓形内部，面积为，由题意，解得5.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4

(B)8

(C)12 (D)24参考答案：B6.若向量，，且与共线，则实数的值为A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.设x，y满足约束条件则的最小值为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，目标函数的最小值为：.本题选择C选项.

8.已知角的终边上一点的坐标为则角的最小正值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：C略10.根据表格中的数据，可以断定函数的零点所在的区间是1235

00.6911.101.61

31.51.10

10.6

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为．参考答案：【考点】LR：球内接多面体；L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：棱锥的体积为：V=S底?h==．连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，∴S全=4×+2×2sin60°=6．∴=，r=．球的体积为：==．故答案为：12.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为． 参考答案：13.已知，且的最小值为__________参考答案：2514.已知，同时满足以下两个条件：

①；

②成立，则实数a的取值范围是(A)

(B)(C)

(D)

参考答案：C略15.函数，则f（f（1））=．参考答案：【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】由，知f（1）=2，故f（f（1））=f（2）=log42，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（1）=21=2，f（f（1））=f（2）=log42=．故答案为：．16.给定实数集合满足（其中表示不超过的最大整数，），，设，分别为集合的元素个数，则，的大小关系为

.参考答案：|P|＜|Q|17.已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________参考答案：【分析】设，作出函数的图象，由方程有个不同根转化为二次方程的两根，，并构造函数，转化为二次函数的零点分布，得出，结合，可作出关于、的不等式组，作出可行域，将视为可行域中的点到直线的距离，结合图象可得出答案.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，则方程有个不同根转化二次方程的两根，，构造函数，可得不等式，即，结合，作出图形如下图所示，不等式组表示的平面区域为边长为的正方形，不等式组表示的区域为下图中的阴影部分（不包括轴），代数式视为可行域中的点到直线的距离，当点与点重合时，，结合图形可知，取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．参考答案：【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【分析】法一：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，要证PB⊥DM，只需证明PB垂直DM所在平面ADMN．即可．（Ⅱ）连接DN，说明∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，解BD与平面ADMN所成的角．法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，（Ⅰ）求出，就证明PB⊥DM．（Ⅱ）说明的余角即是BD与平面ADMN所成的角，求出，即可得到BD与平面ADMN所成的角．【解答】解：方法一：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB．因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．从而PB⊥平面ADMN．因为DM?平面ADMN所以PB⊥DM．（Ⅱ）连接DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．在Rt△BDN中，，故BD与平面ADMN所成的角是．方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM．（Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD．又PB⊥DM．因此的余角即是BD与平面ADMN．所成的角．因为所以=因此BD与平面ADMN所成的角为．19.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】(1)代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出m的范围即可．【详解】解：(1)当时，，由，得或或，解得：或，故不等式的解集是；(2)当时，，恒成立，即恒成立，整理得：，当时，成立，当时，，令，，，，，故，故【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．20.（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.（Ⅰ）求、的坐标；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）∵?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，

∴直线B0A1的方程为y=x．

由

得，，得A1（2，2），．….…….…….…......3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可

得，

，即

．（*）…….………..5分∵和均在曲线上，∴，∴，代入（*）式得，∴()．…

…………..…..….…..7分∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为()．…………....…………...……..8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，….……………9分

∴，……..……………….…10分

∴，，

∴

=

=，…………….……..11分

．

…….……12分

欲使，只需<，

只需，………………….…………13分

，

∴不存在正整数N，使n≥N时，成立．…….14分21.（本题满分12分）已知函数．

(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．参考答案：解：(Ⅰ)

……………………3分∴的最小值为，最小正周期为.

………………5分（Ⅱ）∵

，

即∵

，，∴，∴．

……7分∵

共线，∴．由正弦定理

，

得

①…………………9分∵，由余弦定理，