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充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要表达在:运用韦达定理,求方程中参数的值;运用韦达定理,求代数式的值;利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的根本思路。韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】、是方程的两个实数根,那么代数式的值为。思路点拨:所求代数式为、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数,且,,那么的值为()A、B、或2C、D、或2思路点拨:可将两个等式相减,得到、的关系,由于两个等式结构相同,可视、为方程的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于、的对称式,这类问题可通过变形用+、表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式。【例3】关于的方程:(1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。(2)假设这个方程的两个实根、满足,求m的值及相应的、。思路点拨:对于(2),先判定、的符号特征,并从分类讨论入手。【例4】设、是方程的两个实数根,当m为何值时,有最小值?并求出这个最小值。思路点拨:利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。【例5】:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于的方程的两个根。(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。(2)假设M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P,Q,PQ=1,且AB<CD,求AB、CD的长.思路点拨:对于(2),易建立含AC、BD及m的关系式,要求出m值,还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。充满活力的韦达定理学历训练1、(1)和为一元二次方程的两个实根,并和满足不等式,那么实数取值范围是。(2)关于的一元二次方程有两个负数根,那么实数的取值范围是。2、、是方程的两个实数根,那么代数式的值为。3、CD是Rt△ABC斜边上的高线,AD、BD是方程的两根,那么△ABC的面积是。4、设、是关于的方程的两根,+1、+1是关于的方程的两根,那么、的值分别等于()A.1,-3B.1,3C.-1,-3D.-1,35、在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,a、b是关于的方程的两根,那么AB边上的中线长是()A.B.C.5D.26、方程恰有两个正整数根、,那么的值是()A.1B.-lC.D.7、假设关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式:,判断是否正确?8、关于的方程。当是为何值时,此方程有实数根;(2)假设此方程的两个实数根、满足:,求的值。9、方程的两根均为正整数,且,那么这个方程两根为。10、、是方程的两个根,那么的值为。11、△ABC的一边长为5,另两边长恰为方程的两根,那么m的取值范围是。12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根,那么的值是()A.9413B.C.D.13、设方程有一个正根,一个负根,那么以、为根的一元二次方程为()A.B.C.D.14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是()A.0≤m≤1B.m≥C.D.≤m≤115、如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根。(1)求rn的值;(2)假设E是AB上的一点,CF⊥DE于F,求BE为何值时,△CEF的面积是△CED的面积的,请说明理由.16、设m是不小于的实数,使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。假设,求m的值。〔2〕求的最大值。17、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过C作CD⊥AB于D,且AD=m,BD=n,AC2:BC2=2:1;又关于x的方程两实数根的差的平方小于192,求整数m、n的值。18、设、、为三个不同的实数,使得方程和和有一个相同的实数根,并且使方程和也有一个相同的实数根,试求的值。19、如图,矩形ABCD中,边AB、BC
的长恰为关于x的一元二次方程x2-〔m-2〕x+3m=0的两个根.动点P、Q分别从点B、C出发,其中,点P以a
cm/s的速度,沿B→C的路线向点C运动;点Q以3cm/s的速度,沿C→D的路线向点D运动.假设P、Q两点同时出发,运
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