2019年四川省雅安市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省雅安市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.不需写出解答过程，请把最后结

果填在题后括号内.

1.（3分）（2019•雅安）-2019的倒数是（）

A.-2019B.2019C.--k一D.」—

20192019

【考点】17：倒数.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【解答】解：-2019的倒数是：

2019

故选：C.

【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•雅安）32的结果等于（）

A.9B.-9C.5D.6

【考点】1E：有理数的乘方.

【专题】511：实数.

【分析】根据乘方的意义可得：32=3X3=9；

【解答】解：32=3X3=9；

故选：A.

【点评】本题考查有理数的乘方；熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键.

3.（3分）（2019•雅安）如图是下面哪个图形的俯视图（）

A.B.

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可.

【解答】解：A.球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；

B.圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；

C.圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意；

D.圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上往下看得到的平面图形.

'x-2>4

4.（3分）（2019•雅安）不等式组|x/的解集为（）

A.6«8B.6<xW8C.2«4D.2cxW8

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解.

4-2>4①

【解答】解：摩x/②

由①得x>6,

由②得xW8,

不等式组的解集为6<x<8,

故选：B.

【点评】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较

大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

5.（3分）（2019•雅安）已知一组数据5,4,x,3,9的平均数为5,则这组数据的中位数

是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中

间两个数的平均数即可.

【解答】解：..二，4,x,3,9的平均数为5,

（5+4+X+3+9）+5=5,

解得：x—4,

把这组数据从小到大排列为：3,4,4,5,9,

则这组数据的中位数是4；

故选：B.

【点评】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重

新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是

求出x的值.

6.（3分）（2019•雅安）下列计算中，正确的是（）

A.a4+a4=a8B.a4*a4-2a4

C.（a3）4,a2=a14D.（2^y）3-r6x3y2=x3y

【考点】41：整式的混合运算.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数辱的乘除运算法则、积的乘方运算法则分

别化简得出答案.

【解答】解：A、a4+a4=2a4,故此选项错误；

B、“4.04=〃8,故此选项错误；

C、（a3）4*a2—a>4,正确；

D、（Zr2y）3-j-6x3y2=8x6y3-j-6x3y2=-ir3>,,故此选项错误；

3

故选：C.

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.（3分）（2019•雅安）若a：b=3：4,且〃+%=14,则2a-人的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【考点】S1：比例的性质.

【专题】11:计算题.

【分析】根据比例的性质得到36=4”，结合。+6=14求得八h的值，代入求值即可.

【解答】解：由a：6=3：4知3b=4a,

所以b=%

3

所以由a+，=14得到：“+生_=14,

3

解得ci=6.

所以6=8.

所以2n-b=2X6-8=4.

故选：A.

【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若旦=£,则〃=历.

bd

8.（3分）（2019•雅安）如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影

部分）与△4B1C1相似的是（）

【考点】S8：相似三角形的判定.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：因为△481。中有一个角是135°,选项中，有135。角的三角形只有B,

且满足两边成比例夹角相等，

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,

属于中考常考题型.

9.（3分）（2019•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2）2+1,下列说法中

错误的是（）

A.y的最小值为1

B.图象顶点坐标为（2,1）,对称轴为直线x=2

C.当xV2时，y的值随x值的增大而增大，当xN2时，y的值随x值的增大而减小

D.它的图象可以由y=）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确.

【解答】解：二次函数尸（x-2）2+1,〃=1>0,

该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点为（2,1）,当x=2时，y有最小

值1,当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小;

故选项A、8的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，y=f的图象向右平移2个单位长度得到>=（x-2）2,再向上平移1

个单位长度得到丫=（x-2）2+1；

故选项£>的说法正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答

本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

10.（3分）（2019•雅安）如图，在四边形A8CZ）中，AB^CD,AC、8。是对角线，E、F、

G、，分别是4。、BD、BC、4c的中点，连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFG”的

形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判

定；LN：中点四边形.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于的一半，尸G平行且等于C。

的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到E”和FG平行且相等，

所以EFGH为平行四边形，又因为E尸等于AB的一半且AB=CQ,所以得到所证四边形

的邻边即与EF相等，所以四边形EFG”为菱形.

【解答】解：F、G、，分别是力。、BD、BC、AC的中点，

...在△AOC中，E”为△ADC的中位线，所以EH〃C。且同理尸G〃C。且

2

FG=^CD,同理可得

22

则EH〃FG且EH=FG,

四边形EFG4为平行四边形，又AB=CD,所以EF=EH,

四边形EFGH为菱形.

故选：C.

【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断

进行证明，是一道综合题.

11.（3分）（2019•雅安）如图，已知的内接六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆

的内接正三角形ACE的面积为（）

A.2B.4C.6MD.4愿

【考点】KL：等边三角形的判定；MA：三角形的外接圆与外心；MM：正多边形和圆.

【专题】55B：正多边形与圆.

【分析】连接OC、OB,过。作。MICE于M证出△COB是等边三角形，根据锐角三

角函数的定义求解即可.

【解答】解：如图所示，连接OC、OB,过。作ONLCE于N,

多边形ABCDEF是正六边形，

；.NCOB=6（）°,

OC=OB,

...△COB是等边三角形,

：.ZOCM=60°，

：.OM=OC*sinZOCM,

：.OC=-一——=虫1(cm).

sin6003

：NOCN=30°,

ON-^OC-2心,CN=2,

23

:.CE=2CN=4,

该圆的内接正三角形ACE的面积=3xLx4x2：应=4

23

故选：D.

【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌

握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键.

12.（3分）（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线/1：y=亚卢1与直线12：y=5/圣

3

交于点Ai,过A1作x轴的垂线，垂足为81,过B1作/2的平行线交/1于A2,过A2作x

轴的垂线，垂足为历，过比作/2的平行线交人于A3,过A3作x轴的垂线，垂足为83…

按此规律，则点4的纵坐标为（

n

A.(W)“B.(X)«+1C.也)"-1+工D.3-l

22222

【考点】D2：规律型：点的坐标；FF：两条直线相交或平行问题.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】联立直线/1与直线/2的表达式并解得：x=返，故Ai（返，2）,依

2-222

次求出：点A2的纵坐标为与、A3的纵坐标为生，即可求解.

48

【解答】解：联立直线/I与直线/2的表达式并解得：》=返，y=3,故4（叵,2）；

_2222

则点Bi（1,0）,则直线31A2的表达式为：

将点8坐标代入上式并解得：直线劭42的表达式为：”=

将表达式>3与直线/1的表达式联立并解得：X=^H,y=l,即点A2的纵坐标为?；

444

同理可得A3的纵坐标为21，

8

…按此规律，则点4的纵坐标为（3）”,

2

故选：A.

【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，

一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.不需写出解答过程，请把最后结果

填在题中横线上.

13.（3分）（2019•雅安）在RtZXABC中，ZC=90°,4B=5,BC=4,则sin4=-1.

一二一

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据正弦的定义解答.

【解答】解：在RCA2C中，sinA=K=9>,

AB5

故答案为：A.

5

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做NA的

正弦，记作sinA.

14.（3分）（2019•雅安）化简（x+2）（x-2）的结果是4.

【考点】4F：平方差公式.

【专题】512：整式.

【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可.

【解答】解：（x+2）（%-2）=/-/+4=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.

15.（3分）（2019•雅安）如图，△ABC内接于00,8Z）是0。的直径，NCBD=21°,则

ZA的度数为69°.

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】直接利用圆周角定理得出/BCO=90。，进而得出答案.

【解答】解：..♦△ABC内接于。0,BQ是。。的直径，

：.ZBCD=90°,

'：ZCBD=2\0,

.•.乙4=/。=90°-21°=69°.

故答案为：69°

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键.

16.（3分）（2019•雅安）在两个暗盒中，各自装有编号为1,2,3的三个球，球除编号外

无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为反.

—9—

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为偶数的结果

数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为：

123

/N/K/N

123123「3

共有9种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为偶数的结果数为5,

所以两球上的编号的积为偶数的概率=5.

9

故答案为”.

9

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.

17.(3分)(2019•雅安)已知函数尸卜x2+2x(x＞0)的图象如图所示，若直线尸/相

.-x(x40)

与该图象恰有三个不同的交点，则，〃的取值范围为0＜生＜上.

【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二

次函数的性质.

【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质.

【分析】直线与y=-x有一个交点，与y=-7+2x有两个交点，则有机＞0,x+m=-

7+2x时，△=1-即可求解.

【解答】解：直线与该图象恰有三个不同的交点，

则直线与丫=-尢有一个交点，

・"＞0,

・・•与y=-/十缄有两个交点，

/.x+m=-X2+2X,

△=1-4w>0,

4

：.0<m<L；

4

故答案为ov,〃<L.

4

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行

分析，可以确定的范围.

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.（10分）（2019•雅安）（1）计算:|-2I+V9-20190-2sin300

22

（2）先化简，再求值：-2」工）+二二2,其中4=1.

a2-4a+4a-2a-2

【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数基；T5：特殊角的三角函

数值.

【专题】11：计算题.

【分析】（1）根据绝对值、零指数基和特殊角的三角函数值可以解答本题：

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将“的值代入化简后的式子即

可解答本题.

【解答】解：⑴1-21+79-2019°-2sin30°

=2+3-1-2XL

2

=2+3-1-1

=3；

（2）（”-2a-工）

a2-4a+4a-2a-2

=ia（a-2）_31a-2

（a-2）2&-2（a+3）（a-3）

=（a_3）a~~2

a-2a-2（a+3）（a-3）

=a-3.a-3

a-2（a+3）（a-3）

=1

a+3

当。=1时，原式=1=1.

1+34

【点评】本题考查分式的化简求值、零指数基、特殊角的三角函数值，解答本题的关键

是明确它们各自的计算方法.

19.（9分）（2019•雅安）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学

生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图.

根据统计图：

（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；

（2）补全折线统计图；

（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满

意”或“满意”的概率是多少？

【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；X8：利用频率估计概率.

【专题】542：统计的应用；543：概率及其应用.

【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比求得人数即可；

（2）根据（1）补全折线统计图即可；

（3）利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由折线统计图知''非常满意"9人，由扇形统计图知“非常满意”占

15%,所以被调查学生总数为9+15%=60（人），所以“满意”的人数为60-（9+21+3）

=27（人）；

（2）如图：

（3）所求概率为丝L=旦.

605

【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有

关信息是解答本题的关键，难度不大.

20.(9分)(2019•雅安)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表:

商品甲乙

进价(元/件)x+60X

售价(元/件)200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？

(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a》30),设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最

小值.

【考点】B7：分式方程的应用；FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】(1)根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列

出方程，解方程即可；

(2)根据总利润=甲种商品一件的利润X甲种商品的件数+乙种商品一件的利润义乙种

商品的件数列出w与“之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出卬的最小值.

【解答】解：(1)依题意可得方程：&_=侬，

x+60x

解得x=60,

经检验x=60是方程的根，

...x+60=120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

(2)•••销售甲种商品为a件(g30),

...销售乙种商品为(50-a)件，

根据题意得：vv=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40«+2000(a230),

V40>0,

.♦•w的值随〃值的增大而增大，

.•.当a=30时，w垠小值=40X30+2000=3200(元).

【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用.解决问题的关键是读懂题意，

找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系.

21.(10分)(2019•雅安)如图，QABCO的对角线AC、8。相交于点O,经过。，分别

交AB、CD于点E、F,EF的延长线交CB的延长线于

(1)求证：OE=OF；

(2)若AO=4,48=6,8M=1,求BE的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判

定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到。4=OC,AB//CD,证明△4OE丝ZSCOF,根

据全等三角形的性质证明结论；

(2)过点。作0N〃BC交AB于N,根据相似三角形的性质分别求出ON、BN,证明△

ONEs丛MBE,根据相似三角形的性质列式计算即可.

【解答】(1)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=OC,AB//CD,BC=AD,

：.ZOAE=ZOVF,

在△AOE和△COF中，

'NOAE=NOCF

-OA=OC，

,ZAOE=ZCOF

A/XAOE^/XCOF(ASA),

：.OE=OFi

(2)解：过点、。作ON〃BC交AB于N,

贝！］△ACWs/\AC8,

'：OA=OC,

：*ON=%C=2,BN=1AB=3,

22

•：ON〃BC,

:.AONEsAMBE,

.ON=NE；即2=3-BE

，-BMBE*'TBE

解得，BE=\.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形

的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

22.（9分）（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=-x+m的图象与反比例

函数y=K（x>0）的图象交于A、8两点，已知A（2,4）

x

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求8点的坐标；

（3）连接A。、BO,求△AOB的面积.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用.

【分析】（1）由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反

比例函数解析式；

（2）联立方程，解方程组即可求得；

（3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出SAAOD和SaBOD,继而求出△AOB的面积.

【解答】解：（1）将4（2,4）代入y=-犬+加与〉=四（x>0）中得4=-2+〃?，4=K,

x2

♦♦/n=6,k—8,

一次函数的解析式为y=-x+6,反比例函数的解析式为丫=&；

X

（2）解方程组得或

：.B(4,2)；

(3)设直线y=-x+6与尤轴，y轴交于C,。点，易得。(0,6),

：.OD=6,

'-S^AOB=S^DOB-SMOD=—X6X4-—X6X2=6.

22

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比

例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函

数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积.

23.（10分）（2019•雅安）如图，已知是0。的直径，AC,2c是。0的弦，OEIIAC

交BC于E,过点8作。。的切线交OE的延长线于点。，连接0c并延长交54的延长

线于点F.

（1）求证：0c是00的切线：

（2）若/ABC=30°,A8=8,求线段CF的长.

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）连接OC,AC,根据平行线的性质得到N1=/ACB,由圆周角定理得到/

l=NACB=90°,根据线段垂直平分线的性质得到OB=L>C,求得NDBE=NDCE,根

据切线的性质得到2080=90°,求得OC_L£»C,于是得到结论；

（2）解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接OC,AC,

'：OE//AC,

：.Z\=ZACB,

：AB是。。的直径，

；.N1=/ACB=9O°,

AODA.BC,由垂径定理得0。垂直平分BC,

：.DB=DC,

：.NDBE=NDCE,

又：0C=0B,

：.ZOBE=ZOCE,

即NCB0=N0CQ,

为OO的切线，。8是半径，

."080=90°,

：.ZOCD=ZDBO=90°,

即OCVDC,

：0C是。。的半径，

；.OC是00的切线：

(2)解：在中，ZABC=30°,

；.N3=60°,XOA=OC,

•*./\AOC是等边三角形，

；./COF=60°,

在RtZ\C。尸中，tanNCOF="，

0C

：.CF=4y[3-

【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质,

正确的作出辅助线是解题的关键.

24.（12分）（2019•雅安）已知二次函数y=o?"#（））的图象过点（2,-1）,点P（P

与0不重合)是图象上的一点，直线/过点(0,1)且平行于无轴.于点M,点尸

(0,-1).

(1)求二次函数的解析式；

(2)求证：点尸在线段的中垂线上；

(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QNLI于点N,线段MF的中垂线交/

于点上求岖的值；

RN

(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.

1^(0,-1)

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；65：数据分析观念.

【分析】(1)把点(2,-1)代入函数表达式，即可求解;

J-4yi+y>2yi+l="-H=PM即可求解；

(3)证明△PMR义△PFR(SAS)、RtARFQ沿RtdRNQQHL),即RN=FR,即

=RN,即可求解；

(4)在△PQR中，由(3)知PR平分凡QR平分NFRN,则/PRQ=L(

NFRN)=90°,即可求解.

【解答】解：⑴(“W0)的图象过点(2,-1),

-l=aX22,即a——,--y--Xr2；

44

(2)设二次函数的图象上的点P(xi,yi),则M(xi,1),

y\=-Xri2,即x/=-4y],PM=\i-yi|,

4

Pf=22==，1

又7(x1-0)+(y1+l)7-4y1+y?+2y1+ll＞一1尸尸

即PF=PM,

...点P在线段MF的中垂线上;

(3)连接RF,

在线段MF的中垂线上，

:.MR=FR,

又；PM=PF,PR=PR,

，丛PMRQ/XPFR(SAS),

:.NPFR=/PMR=90°,

：.RF±PF,

连接AQ,又在RtA7?F0和RtARNQ中，

2

：。在丫=-L的图象上，由(2)结论知.•.QE=QM

4

•：RQ=RQ,

：.Rt/^RFQ^Rt^RNQ(HL),

即RN=FR,

即MR=FR=RN,

.•・岖=1；

RN

(4)在中，由(3)知PR平分NMRF,QR平分NFRN,

:.NPRQ=LQMRFMFRN)=90°,

2

...点R在以线段P。为直径的圆上.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识

等，其中(3),证明△PMR丝ZiPFR(SAS)、RtZSRFQ丝Rt/XRNQ(HL)是本题解题的

关键.

考点卡片

1.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，a*—=1就说a的倒数是L.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

2.有理数的乘方

(1)有理数乘方的定义：求”个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做嘉，在中，〃叫做底数，〃叫做指数.读作〃的〃次方.(将a"看作是

a的〃次方的结果时，也可以读作a的〃次嘉.)

(2)乘方的法则：正数的任何次累都是正数；负数的奇次累是负数，负数的偶次基是正数;

0的任何正整数次累都是0.

(3)方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定累的符号，然后再计算基

的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘

除，最后做加减.

指数

3.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

Ca+b)(a-b)—a2-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的。和〃可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以

多项式法则简便.

5.整式的混合运算

(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

(2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

6.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

7.零指数幕

零指数基：/=1(aWO)

由0m阳=1,可推出“°=1(aWO)

注意：O°W1.

8.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整,

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

9.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

(2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

10.规律型：点的坐标

规律型：点的坐标.

11.一次函数图象与系数的关系

由于与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当b<0时，（0,b）在），轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

①%>0,%>0Qy=fcc+6的图象在一、二、三象限；

@k>0,b<0Qy=fcc+b的图象在一、三、四象限；

③ZV0,匕>0oy=fcc+〃的图象在一、二、四象限；

④kVO,0<OQy=fcv+Z?的图象在二、三、四象限.

12.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数），=依+从aro,且4,6为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

b0）；与｝，轴的交点坐标是（0,b）.

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式

13.两条直线相交或平行问题

直线），=丘+6,（4片0,且A,b为常数），当人相同，且〃不相等，图象平行；当Z不同，且

6相等，图象相交；当匕b都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组

的解.

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同.

例如：若直线yi=%x+bi与直线”=也计历平行，那么%=上.

14.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

15.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数和反比例函数y="在同一直角坐标系中的交点个数可总结

X

为：

①当幻与攵2同号时，正比例函数y=%x和反比例函数丁=下2在同一直角坐标系中有2个

x

交点；

②当k\与攵2异号时，正比例函数y=k\x和反比例函数y=±2在同一直角坐标系中有0个

x

交点.

16.二次函数的性质

2

二次函数），=0?+法+。（a/0）的顶点坐标是（-互，细£»_）,对称轴直线X=--L,

2a4a2a

二次函数y=ax2+bx+c（〃W0）的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线y=4/+bx+c（aWO）的开口向上，--L时，y随x的增大而减小;

2a

2

x>-旦时，y随X的增大而增大；X=-旦寸，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当“<0时，抛物线），=0?+版+。（a#0）的开口向下，X<--L时，），随X的增大而增大;

2a

2

x>-_L时，y随x的增大而减小；》=-至41寸，y取得最大值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=n/+法+c（”W0）的图象可由抛物线y=a?的图象向右或向左平移|一且|个单

2a

位，再向上或向下平移二玲个单位得到的.

4a

17.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

18.二次函数的最值

（1）当。＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，），随x的增

2

大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当时，y=%£土.

2a4a

（2）当时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，），随x的增

2

大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当犬=上寸，），=4ac-b

2a4a

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最

值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函

数值，比较这些函数值，从而获得最值.

19.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

20.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

21.等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已

知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°,则

用判定定理2来证明.

22.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

23.平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：AO〃BC.•.四边行

ABCO是平行四边形.

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：•••AB=QC,AQ=BC.•.四边行

ABCZ）是平行四边形.

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：A8=DC.•.四边行ABC。是平行四边形.

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：；NA8C=NAOC,,.四边行ABC。是平行四边形.

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：•••O4=OC,08=00.♦.四边行

A

D

O

ABC£）是平行四边形.d