2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷分析

2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）方程/=4x的根是（）

A.x=4B.x=0C.xi=0,X2=4D.XI=0,X2=-4

2.（3分）如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（）

的值是（）

N.殳B.8C.6D.-6

22

4.（3分）如图，已知四边形A8C。中，E、尸分别为AB、CD上的两点，S.AD//BC//EF,

AB=4BE,则。尸与尸C的关系是（）

5.（3分）如图，已知菱形ABC。中，ZA=40°,则NAO8的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.（3分）如图，DE//BC,CD与BE相交于点0,若3"0E.则处的值为（）

^ABOC4AC

7.（3分）将抛物线>=/向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线

的表达式为（）

A.y=（x+2）2-5B.y—（x+2）2+5C.y=（x-2）2-5D.y—（x-2）2+5

8.（3分）某商品房原价60000元/«?,经过连续两次降价后，现价48600元加2,求平均每

次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x,依题意可列方程为（）

A.60000（1-2%）=48600B.60000（1-%）2=48600

C.48600（l+2x）=60000D.48600（1+x）2=60000

9.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌

谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长

几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一

根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为

（）

A

干\\标用k\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

10.（3分）下列命题中，是真命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是正方形

B.相似三角形的周长之比等于相似比的平方

C.若方程Ax?_2x-1=0有两个不相等的实数根，则k>-1

D.若一个斜坡的坡度为1：\月，则该斜坡的坡角为30°

11.（3分）已知二次函数尸4/+a+°"#0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.2a+b<QC.b2-4ac<0D.a+b+c<0

12.（3分）如图，在边长4的正方形ABC。中，E是边8c的中点，将△（?£>£■沿直线。E

折叠后，点C落在点尸处，再将其打开、展平，得折痕。£.连接CRBF、EF,延长

BF交AD于点、G.则下列结论：①BG=DE；@CF±BG；③sin/Z）FG=L；@SADFG

2

=丝，其中正确的有（）

5

A.I个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷相应的表格里）

13.（3分）若x=2是方程X?-尤-c=0的一个根，则c=.

14.（3分）已知2=2,则总也=.

b3a

15.（3分）如图，以矩形ABC。的对角线AC为一边向左下方作正方形ACER延长AB交

EF于点G,若A8=3,8c=4,则EG的长为.

16.（3分）如图，已知函数y=x+2的图象与函数y=K"晨#0）的图象交于A、8两点，连

X

接2。并延长交函数y=k（%#0）的图象于点C,连接AC,若△ABC的面积为8.则左

三、解答题（本题共7小题，共52分）

17.（5分）计算：（［）1-tan245°+2cos30°・sin60°

2

18.（5分）x2-2x-15=0.

19.（8分）小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单选题才能顺利通过

最后一关，其中第一题有A、B、C、。共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而

这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权”的机会（使用“特权”可去掉其中一题

的一个错误选项）.

（1）如果小亮第一题不使用“特权”，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率

是;

（2）如果小亮将“特权”留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关

的概率.

20.（8分）为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金

融中心”A8的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角/ECZ）=

32。.登上大厦。£的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°,（如

图）.已知C、D、8三点在同一水平直线上，且0）=400米，08=200米.

（1）求大厦。E的高度；

（2）求平安金融中心AB的高度；

（参考数据：sin32°弋0.53,cos32°弋0.85,tan32°^0.62,加心1.41,«心1.73）

21.（8分）深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销

过程中发现，每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函

数、=-0.2X+260,设每月的利润为w（元）（利润=销售额-投入）.

（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？

（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完

这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？

22.（8分）如图11,在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在

y轴上，。4=8,OC=4,点尸为对角线AC上一动点，过点P作尸尸。交x轴于

点

（1）tanZACB=；

（2）在点P从点C运动到点A的过程中，骂■的值是否发生变化？如果变化，请求出其

PB

变化范围；如果不变，请求出其值；

（3）若将△QA2沿直线BQ折叠后，点A与点尸重合，则PC的长为

23.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，已知A（-l,0）、C、（0,-2）,以AC为一

边向右上方作正方形ACQE,其中点。在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线/

〃y轴，抛物线y=/+bx+c（aWO）的对称轴为直线/,且经过A、C两点，与x轴的另

一交点为B.

（1）点E的坐标为，该抛物线的函数表达式为；

（2）设抛物线的顶点为M,连接在抛物线上是否存在点N,使

2

若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）过点。作直线机〃x轴，交直线/于点R如图2.动点P从抛物线的顶点M出发,

沿抛物线的对称轴/向上运动,与此同时，动点。从点F出发，沿直线机向右运动，连

接PQ、PB、BQ.设P、。两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为，秒，

△P8。的面积为S.请直接写出S与，之间的函数关系式，并写出自变量f的取值范围.

2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用.

【分析】原式利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：无（尤-4）=0,

可得尤=0或x-4=0，

解得：Xi—0,X2—4,

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

2.【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在

主视图中.

故选：A.

【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是

掌握主视图所看的位置.

3.【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数左，求出函数解析式，再把点（-2,

加）代入可求机的值.

【解答】解：:.点（1,-3）是反比例函数y=N（k#0）的图象上的点，

：.k=-3X1=-3

，反比例函数解析式：y=二乏

X

♦..点（-2,机）都是反比例函数＞=二乏的图象上的点，

X

•m=3

2

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐

标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

4.【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】由知即迪=3,根据〃石厂得此=坐=3,从而

BEFCBE

得出答案.

【解答】解：

：.AE^3BE,即处=3,

BE

'：AD//BC//EF,

•••DF一_A—E_oD,

FCBE

贝！!DF=3FC,

故选：B.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题

的关键.

5.【考点】L8：菱形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题.

【解答】解：：四边形A8CO是菱形，

J.AB//CD,/ADB=NCDB,

：.ZA+ZA£）C=180°,

VZA=40°,

ZADC=140°,

：.ZADB=Lxi40°=70°，

2

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】由。E〃8C,得到根据相似三角形的性质得到S^DOE：SACOB

=（匹）2=1：4,求得迈=J_,通过△ADEs△ABC即可得到结论.

BCBC2

【解答】解：-：DE//BC,

:.△DOEs^cOB,

:&DOE:SACOB=2=1：4,

BC

.迈呈，

,,而工

'：DE//BC,

...△ADEsAABC,

•••AE一_D—E_1，,

ACBC2

故选：c.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，证得迈=上是解题的关键.

BC2

7.【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可.

【解答】解：抛物线y=/的顶点坐标为（0,0）,

先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（-2,-5）,

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2-5.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，

上加下减.并根据规律利用点的变化确定函数解析式.

8.【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】此题利用基本数量关系：商品原价X（1-平均每次降价的百分率）=现在的价

格，列方程即可.

【解答】解：由题意可列方程是：6000（1-%2）=48600.

故选：B.

【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价义（1-平均每次降价

的百分率）=现在的价格.

9.【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】55：几何图形.

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【解答】解：设竹竿的长度为x尺，

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

工以巨，解得尤=45（尺）.

15-0.5

故选：B.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题

的关键.

10.【考点】01：命题与定理.

【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似.

【分析】根据正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡

角的定义一一判断即可.

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是正方形，是假命题，应该是对角线相等的平

行四边形是矩形；

8、相似三角形的周长之比等于相似比的平方，是假命题，应该是相似三角形的周长之比

等于相似比；

C、若方程区2x-1=0有两个不相等的实数根，则%>-1,是假命题，应该是4>-

1且20；

D、若一个斜坡的坡度为1：相，则该斜坡的坡角为30°,是真命题；

故选：D.

【点评】本题考查正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡

度坡角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

H.【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：抛物线开口向上，得：a>0;

抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；

对称轴x=-->0,

2a

所以b<0；

所以abc>0；

由图象可知：0<-―<1,

2a

所以-6<2a,即2a+6>0；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=房-4团>0；

由图可知：当无=1时，y<0,

所以a+6+c<0；

故选：D.

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的关

系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

12.【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问

题）；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形.

【专题】555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=AD=CD=4,ZABC=ZBCD=90°,根据

折叠的性质得到。尸=CZ)=4,EF=CE=2,ZDFE=ZDCE=90°,ZDEF=ZDEC,

根据三角形的内角和和平角的定义得到/G2E=/DEC,根据平行线的性质得到BG//

DE,推出四边形BEDG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到故①正确；

根据等腰三角形的性质得到NEFC=/ECR根据三角形的内角和得到N8EC=90°,求

得CF±BG,故②正确；根据余角的性质得到根据三角函数的定义得

到sinZZ）FG=sinZABG=2il=_2故③错误；过G作GH±DF于H,根据

BG2娓5

22,

跟勾股定理得到^=VDG-X根据三角形的面积公式得到SADFG=lx4X1.2=

运，故④正确.

5

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC=AD=CD=4,ZABC=ZBCD=90°,

；E是边BC的中点，

：.BE=CE=2,

,/将△口)£沿直线DE折叠得到△。FE,

.,.£>F=CD=4,EF=CE=2,/DFE=/DCE=9Q°,/DEF=/DEC,

：.EF=EB,

：./EBF=ZBFE,

VZEBF^ZBFE^l-(180°-ZBEF),ZCED=ZFED^1-(180°-ZBEF),

22

：.NGBE=/DEC,

J.BG//DE,

■:BE//DG,

四边形BEDG是平行四边形，

:.BG=DE,故①正确；

"：EF=CE,

ZEFC=ZECF,

：.ZFBE+ZBCF=ZBFE+ZCFE=LX180°=90°,

2

AZBFC=90°,

CFLBG,故②正确；

ZABG+ZCBG=NBFE+/DFG=90°,

ZABG=ZDFG,

VAB=4,DG=BE=2,

：.AG=2,

:.BG=2辰,

...sin/OPG=sin/ABG=£5_=—^=E,故③错误；

BG2^55

过G作GH±DF于H,

'：tanZGFH=tanZABG=L,

2

.•.设G»=x,则M=2x,

・3=飙12,

：.DF=FH+DH=2X+4DG2—X2=4，

解得：x—1.2,x—2（舍去），

：.GH=1.2,

SADFG=—X4X1.2=^^,故④正确;

25

故选：c.

【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，

三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷相应的表格里）

13.【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入/-4x+c=0可求出c的值.

【解答】解：把x=2代入％2-尤-c=0得4-2-c=0,

解得c=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

14.【考点】S1：比例的性质.

【分析】用b表示出。，然后代入比例式进行计算即可得解.

【解答】解：2,

b3

3

•・•a+b__3____=5—•

a—b2

3

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了比例的性质，用6表示出。是解题的关键.

15.【考点】LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据勾股定理得到AC=5,根据正方形的性质得到AF=AC=FE=5,ZFAC=

90°,根据余角的性质得到根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•••四边形A8CO是矩形，

ZABC=90°,

"：AB=3,BC=4,

；.AC=5,

.四边形AFEC是正方形，

：.AF=AC=FE=5,ZMC=90°,

ZFAG+ZCAB=ZCAB+ZACB=9Q°,

J.ZFAG^ZACB,

'：ZF=ZABC=90°,

：.△AFGsAABC,

•AF=FG；

"BCAB，

•m,

丁，

4

:.GE=FE-FG=合,

4

故答案为：回.

4

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题的关键.

16.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】连接0A.根据反比例函数的对称性可得OB=OC,那么5AOAB=SAOAC=XSA

2

ABC=4.求出直线y=x+2与y轴交点。的坐标.设A(a,a+2),B(b,6+2),贝IC(-

b,-6-2),根据S/\OAB=4,得出a-6=4①.根据S/\OAC=4,得出-a-6=2②，

①与②联立，求出a、b的值，即可求解.

【解答】解：如图，连接OA.

由题意，可得02=0C,

5，AOAB=5，AOAC=-i-5，AABC=4.

2

设直线y=x+2与y轴交于点。，则。(0,2),

设A(a,a+2),B(b,6+2),贝!JC(-6,-b-2),

.■.5AOAB=—X2X((7-b)=4,

2

.,.a-b—4①.

过A点作AM±x轴于点M,过C点作CN±x轴于点N,

贝US^OAM=S^OCN=^-k,

2

S^OAC=S/\OAM+S梯形AMNC-SAOCN=S梯形AMNC=4,

—Q-b-2+a+2)(-b-a)—4,

2

将①代入，得

-a-b—2②，

①+②，得-26=6,b=-3,

①-②，得2a=2,a=l,

：.A(1,3),

，k=lX3=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函

数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较

强，难度适中.根据反比例函数的对称性得出。8=0C是解题的突破口.

三、解答题（本题共7小题，共52分）

17.【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数塞；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数塞的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=2-1+2X，3XY3

22

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题.

【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0,两因式中

至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

【解答】解：/-2x-15=0,

分解因式得：（尤-5）（尤+3）=0,

可得尤-5=0或x+3=0,

解得：xi=5,xi--3.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程

右边化为0,左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转

化为两个一元一次方程来求解.

19.【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由第一道单选题有4个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小亮顺利通关的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）;•第一道单选题有4个选项，

...小亮答对第一道题的概率是：1；

4

故答案为：1；

4

（2）若第二道选择“特权”,

画树状图可得：

开始

ABCD

AAAA

ABABABAB

•.•共有8种等可能的结果，小亮顺利通关的只有1种情况，

此时小亮通过最后一关的概率为

8

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

20.【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）在RtZXDCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦。E的高度；

（2）作EFLAB于F.由题意，得EF=DB=200米，BF=DE,ZAEF=60°.在Rt

△AFE中，根据正切函数的定义得出AF=E>tan/AEF,AB=BF+AF.

【解答】解：（1）,在RtZXOCE中，NCDE=90°,NECD=32°,C£>=400米，

/.£>£=CD•tanZECD^400X0.62=248（米）.

故大厦DE的高度约为248米；

（2）如图，作EF_LAB于尸.

由题意，得£/=。8=200米，8E=OE=248米，ZAEF=60°.

「在RtZXAPE中，ZAFE=90°,

.".AF=EF«tanZAEF«200X1.73=346（米），

AB=BF+AF=248+346=594（米）.

故平安金融中心AB的高度约为594米.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.此题难度适中，注意能借助

仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.

21.【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】(1)根据月销售利润=月销量X(单件售价-单件制造成本)，构建方程即可解

决问题；

(2)构建不等式求出尤的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可.

【解答】解：(1)由题意得，(-0.2x4-260)(x-200)=36000,

解得：XI=1100,X2=400.

答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；

(2)由题意：200(-0.2x+260)W20000,

解得尤N800,

：w=(-0.2x+260)(%-200)=-0.2?+300%-52000,

函数的对称轴x=750,开口向下，

...x=800时利润最大，最大利润为60000元.

答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元.

【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月

销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用.

22.【考点】SO：相似形综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】(1)根据矩形的性质求出/A8C=90°,BC=OA=S,AB=OC=4,最后用锐

角三角函数的定义即可得出结论；

(2)设出PE=a,利用锐角三角函数得出CE=2a,得出BE=2(4-2a),再判断出4

BEPs^PFQ,进而得出厂。，即可得出结论;

(3)根据折叠的性质，判断出BQLAC,AD^PD^lAP,再用勾股定理求出AC,判断

2

出△ABCS/XAOB,得出4。，进而求出AP,即可得出结论.

【解答】解：(1);四边形。48c是矩形，

/.ZABC=90°,BC=OA=8,48=OC=4,

在RtZ\ABC中，tanNACB=2^=L,

BC2

故答案为：1；

2

(2)世的值不发生变化，其值为工，

PB2

理由：如图，

过点P作PFA.OA于F,FP的延长线交BC于E,

：.PE±BC,四边形OFEC是矩形，

；.£F=OC=4,

设PE=a,贝！JPF=EF-PE=4-a,

在RtZkCE尸中，tan/ACB=n=!，

CE2

:.CE=2PE=2a,

：.BE=BC-CE=8-2a=2(4-a),

\'PQ±PB,

：.ZBPE+ZFPQ=90°,

VZBPE+ZPBE^9Q°,

ZFPQ=ZEBP,

'：ZBEP=ZPFQ^9Q°,

^BEP^^PFQ,

•PE_BE=BP

PQ，

.a_2(4-a)

FQ4-a

FQ=^a,

a

•PQ_FQ=7=l.

*"PB'^PE工T

(3)如备用图,

•..将△Q4B沿直线8。折叠后，点A与点P重合，

：.BQ±AC,AD=PD=LAP,

在Rt^ABC中，AB=4,BC=8,根据勾股定理得，4。=而芭足=4代,

•；/BAC=NDAB,/ADB=/ABC=90°,

AABC^^ADB,

•ABAC

"AD^AB)

.4475

•---------,

AD4

：.AD=^^-,

5_

：.PC=AC-AP=AC-2AZ)=4A/5-2乂刊。生叵

_55

故答案为：三返.

5

【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相

似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出和尸。是

解本题的关键.

23.【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】26：开放型；31：数形结合；32：分类讨论；41：待定系数法.

【分析】(1)证明△AOCg/XESA(AAS)即可求解；

(2)分当BN在NM54的内部、的外部两种情况求解即可；

（3）利用S=S梯形尸QTS-S/iPBS-即可求解.

【解答】解：（1）设直线直线/交X轴于点S,

ZEAS+ZCAS=90°，ZSEA+ZEAS=90°，

：./AES=/CAS,

ZAOC=ZASE=90°,AC=AE,

：.AAOC^AESA(AAS),

：.OA=SE=1,CO=AS=2,

故点E坐标为（1,1）,

同理可得点。坐标为（2,1）,

由题意得:

故抛物线的表达式为：尸2丁-&-2…①,

33

故：答案为：（1,1）、＞=2胫-&-2；

33

（2）存在，理由:

①当BN在NM8A的内部时，如上图，

设直线BN交直线/于点H,过点H作以交8M于点G,

NNBA=L/MBA,:.SH=HG=a,

2

tanZSBM=_^L=A=tana,cosa=—

SB35

在RtZV/GM中，HM=3-a,HG=a,

3

smAHMG—cosa—^-=-r^—解得：a—1,

HM5

3p

即点打的坐标为（1,-1）,

把点"8的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得:17=k+b解得：《

[0=3k+b

故直线H8的表达式为：…②，

22

将①②联立并解得：x=-3或-工（舍去尤=-3）,

4

故点N的坐标为（-L,--）,

48

②当BN在/MBA的外部时，

同理可得：点N的坐标为（-工，2），

48

故：点N的坐标为（-上，-丝）或（-工，11）；

4848

①当0<fW区,此时点尸在无轴下方，

3

则点P、。的坐标分别为(1,-&+/)、(1+r,1),

3

1-

S=S梯形PQTS-SAPBS-Sa2iB=L(l+亘-f)X/-Xx9-—X1X(l+f-3)

23232

=A/+_Z_r-旦

233

即：s=L-工r+旦

233

②当g</W3,此时点P在无轴上方，在点B左方,

3

同理可得：s=-A/+L--；

233

③当t>3时,

同理可得：

233

1275

,万1万（*3）

【点评】本题为二次函数综合应用题，基本的考点是三角形全等、解直角三角形，关键

是通过数形结合，正确确定图形的位置，本题难度较大.

考点卡片

1.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.负整数指数塞

负整数指数哥：aP=lapQWO,p为正整数）

注意：①aWO；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数幕的意义计算，避免出现（-3）已=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这尤1,%2是一元二次方程o^+bx+c

=0QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0（aWO）,ax21+bx2+c=0（。#0）.

4.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

5.由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找

出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出己知量与未知量之间的等量关系，

即列出一元二次方程.

6.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为十位数是b,则这个两位数表示为106+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+尤）；第二次增长后为。（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹U：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

7.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=g（人为常数，30）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值怎即孙=%；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y^k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值欣|.

8.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数y=kix和反比例函数y=丝在同一直角坐标系中的交点个数可总结

X

为：

①当ki与fe同号时，正比例函数y=kix和反比例函数y=丝在同一直角坐标系中有2个

X

交点；

②当ki与42异号时，正比例函数y^kix和反比例函数y=—2在同一直角坐标系中有0个

x

交点.

9.二次函数图象与系数的关系

二次函数（aWO）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当。<0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，\a\

越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y

轴右.（简称：左同右异）

③.常数项C决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,C）.

④抛物线与x轴交点个数.

△=启-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=庐-4就=0时，抛物线与x轴有1个交

点；△=启-4*<0时，抛物线与x轴没有交点.

10.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

11.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

12.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

13.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

14.菱形的性质

(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

(2)菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

(3)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=工^4(。、。是两条对角线的长度)

2

15.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

16.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，

有四条对称轴.

17.命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知

事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形