2022-2023学年上海市奉贤区致远某中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.a=0是复数a+bi（a,beR）为纯虚数的条件.（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

2.已知向量N=（1,3）,b=（-1,1）-则下列结论正确的是（）

A.江与B的夹角是钝角B.（a+b）1h

C.2在3上的投影的数量为/攵D.N在3上的投影的数量为?

3.如图，在下列四个正方体中，A,B,C,。分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中,

A,B,C,。四点共面的是（）

4.记△ABC内角4B,C的对边分另（J为a,b,c,点G是△4BC的重心，若BG1CG,5b=6c,

则cos力的取值是（）

A史BD且

75751575

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.向量加法运算：四+方+就=.

6.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4,4）在直观图中的对应点是M',则点M'的

坐标为•

7.已知复数z满足（1+i）z=1-7i（i是虚数单位），贝！||z|=.

8.已知sina=—?，。6（一看、），贝！|sin（a+/）=.

9.已知五=（k,l）,3=（—2,3），若之与3互相垂直，则实数k的值是.

10.空间两个角乙48c和乙若ABMA'B',BC//B'C,^.ABC=40°,贝!INAB'C'的大小

是.

11.向量N,B的夹角为仇定义运算"③"：a0b—|a||K\sind＞若五=1）,3=

（—二,1）,贝林⑤3的值为.

12.已知2+3i是实系数一元二次方程/+bx+c=o的一个根，则实数.

13.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直

线A8与CD的夹角为.

14.已知函数/(久)=ypisinx+cosx>对于任意％eR,都有/'(x)<fOo)成立，贝i]si?iXo=

15.在△ABC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,acosC+yT^asinC—b—c=0>则4=

16.如图所示，△ABC中，AB=3,AC=2,BC=4,点M为线段AB中点，P为线段CM的

中点，延长4P交边BC于点N,则下列结论正确的有.

(1)AP=^AB+^AC

4L

(2)丽=3枇

⑶|裕----|*=V手~19

(4)而与前夹角的余弦值为空

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题14.0分）

已知复数Z]=1+由（a6R）,且为（3+i）为纯虚数.

(1)求实数a的值；

2023

(2)设复数Z2=^—，且复数Z2对应的点在第二象限，求实数b的取值范围.

Z1

18.(本小题14.0分)

已知向量同=2,向量3=(1,1).

(1)若向量2〃另，求向量N的坐标；

(2)若向量旨在向量3上的投影向量的坐标为(早,行)，求向量匕另的夹角大小.

19.(本小题14.0分)

如图，空间四边形4BCD中，E、F、G分另！J是4B、BC、CD上，且满足力E：EB=CF-.FB=2：

1,CG：GD=3：1,过E、F、G的平面交4。于点

(1)求力H：HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点.

20.(本小题18.0分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，PA1平面48mAD]IBC,AB1BC,PA=AD4,BC=1,

AB=AT3,CD=2AT3.

(1)证明：DC1平面PAC；

(2)求力D与平面PCD所成角的余弦值.

21.(本小题18.0分)

在路边安装路灯，灯柱4B与地面垂直(满足NB4D=90。)，灯杆BC与灯柱48所在平面与道路

垂直，且乙48c=120°,路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知乙4CD=

60°,路宽AD=12nl.设灯柱高4B=h(ni),乙4cB=8(30°<9<45°).

(1)求灯柱的高h(用。表示)；

(2)若灯杆BC与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为S,求S关于。的函数表达式，并求

出S的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:a=0,bH0时，复数a+6i(a,6GR)为纯虚数，故a=0,不能推出复数a+bi(a,6GR)

为纯虚数；

复数a+bi(a,beR)为纯虚数，则a=0,bH0,故复数a+6i(a,beR)为纯虚数可推出a=0

故a=0是复数a+bi(a,beR)为纯虚数的必要不充分条件

故选B.

a-0,bKO时，复数a+6i(a,b6R)为纯虚数，由此可确定a=0是复数a+6i(a,6eR)为纯虚

数的必要不充分条件.

本题重点考查四种条件，考查复数的分类，掌握复数a+biCa.beR)为纯虚数的充要条件是关键.

2.【答案】C

【解析】解：对于4因为五7=—1+3=2〉0,所以2与3的夹角不是钝角，选项A错误；

对于B,伍+3)1=3+/=2+2=440，所以(3+石)1另不成立，选项8错误；

对于C,2在3上的投影的数量为噌=羽=/攵，选项C正确；

\b\V2

对于。，由C知选项。错误.

故选：C.

根据平面向量的数量积以及投影的定义，判断即可.

本题考查了平面向量的数量积以及投影的定义应用问题，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：4选项中，AB,CD是异面直线，四点显然不共面.

B选项中，AD,8C是异面直线，四点显然不共面.

C选项中，AB,CD是异面直线，四点显然不共面.

。选项中，如图，取E,F为正方体所在棱的中点，连接出ZDCEBF,

易知4DCEBF为平面六边形，所以4B,C,。四点共面.所以。正确.

故选：D.

利用平面的基本性质，画出图形，判断即可.

本题考查平面的基本性质的应用，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：作出图形，如图所示:

•.・点G是AABC的重心，

••.M是8C的中点，故俞=^(才耳+左)，

由题意得|配|=a,\AC\=b,\AB\=c，

,•*BG_LCG,

1i

•*.GM=—BC=aa,

又点G是△ABC的重心，

[[a

贝船用=为4,贝iMM=/a+a=]a,

又|4M|2=；(4B+4C)2,

4

Q1

则，小=-(c2+h2+2bccosA),则9a2=c2+fo2+2bccosA,

又由余弦定理得小=c2+h2—2bccosA,则9(c?+b2—2bccosA)=c2+b2+2bccosA,整理得

2c2+2b2—SbccosA=0,

5b=6c,令b=6k(k>0),贝!]c=5k,

•••2x(5k)2+2x(6fc)2—5x(6k)x(5k)cosA=0,

则cosa=^=£・

故选：D.

由题意得前="存+前)，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得

AM=|a,从而利用平面向量的数量积运算得到9a2=c2+b2+2bccosA,结合余弦定理得2c2+

2b2-SbccosA=0,求解即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

5.【答案】AD

【解析】解：AB+CD+BC=(AB+BC)+CD^AC+CD=AD.

故答案为：AD.

利用向量加法的运算法则求解即可.

本题主要考查向量加法的运算法则，属于基础题.

6.【答案】(4,2)

【解析】解：斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点”(4,4),

在直观图中的对应点是M',则点M'的坐标为(4,2).

故答案为：(4,2).

根据平面直角坐标系化为平面直观图，平行于久轴的坐标长度不变，平行于y轴的坐标长度变为原

来的g,写出坐标即可.

本题考查了平面直观图的画法与应用问题，是基础题目.

7.【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数模的求法.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.

【解答】

解：由(l+i)z=l—7i,

_(1-70(1-0

何—l+i—(l+0(l-i)

则|z|二J(-3)2+(-4)2=5.

故答案为5.

8.【答案】亨

【解析】解：因为sina=—<0>a6(—],，)，

所以a£(―^,0),cosa=71—sin2a=

45

贝!Jsin(a+])=cosa—

故答案为：等

由题意可得范围ae(-a0),进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

9.【答案】1

【解析】解：a=(k,l),3=(-2,3)，d与3互相垂直，

则-2k+3=0,解得k=|.

故答案为：|.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

10.【答案】40。或140。

【解析】解：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，

所以，^ABC=40°,则乙4'B'C'的大小是40。或140。.

故答案为：40。或140。.

根据空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补这一定理，即可求得答案.

本题考查空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补这一定理,属于基础题.

11.[答案]

【解析】解：已知向量五万的夹角为。，定义运算"区"：a0b=|a||K\sin3y

又方=1),b=(—15,1)，

则I即=2,历|=2，a.K=<3x(-<3)+1x1=-2，

则处"晶=急=T

又ee[o,7i],

则sin。=V1—cos20=

则为(8)1=|初|方\sind=2x2x?=2c.

故答案为：2c.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的夹角的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题.

12.【答案】—4

【解析】解：2+3i是实系数一元二次方程产+bx+c=。的一个根，

则2—3i也是实系数一元二次方程/+bx+c=0的一个根，

故2+3i+2-3i=-b>解得b=-4.

故答案为：-4.

根据已知条件，推得2-3i也是实系数一元二次方程/+bx+c=o的一个根，再结合韦达定理,

即可求解.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

13.【答案】60°

【解析】解：如图所示，把展开图恢复到原正方体,

连接4E,BE.由正方体可得CE〃4D且CE=AD,

.•・四边形2DCE是平行四边形，

・•.AB4E或其补角是异面直线48与CD所成的角，

由正方体可得：AB=AE=BE,

ABE是等边三角形，NB4E=60°,

••・异面直线力B与CD所成的角是60。.

故答案为：60°.

把展开图恢复到原正方体，得到4E//DC,从而得到NB4E或其补角是异面直线与CD所成的角,

从而可解.

本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题.

14.【答案】?

【解析】解：/（X）=V5sinx+COSK=2（ysinx+；cosx）=2sin（x+看），

对于任意xeR,都有f（久）＜，（久。）成立，贝行（比）是f0）的最大值，

所以久°+3=2卜兀+，，kEZ,久O=2/OT+（kE.Z,s出出=sin（2/OT+卞=sing=?.

故答案为：£5.

对于任意X6R,都有W/（配）成立，则f（Xo）是/（切的最大值，由两角和的正弦公式化简函数

式，由正弦函数的最大值求得而，再计算其正弦值.

本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案吗

【解析】解：acosC+\3asinC—b—c=。,

•••acosC+4~?>asinC=b+c,

由正弦定理得，sinAcosC+yJ~3sinAsinC=sinB+sinC,

•••sinAcosC+yJ~^sinAsinC=sin(Z+C)+sinC,

・•・sinAcosC+yf^sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

•••yT^sinAsinC=cosAsinC+sinC，

又・・•C6(0,兀)，•••sinCW0,

•••yT^sinA=cosA+1,

即3s—cosA=1,

•••2sin(i4—^)=1,

sin(4-

又,•,46(0,兀)，...4一36(一弓片)，

=即4M.

故答案为：I

由正弦定理可得sinAcosC+yl~?)sinAsinC=sinB+sinC,再利用sinB=sin(71+C)化简可得

V^sinA-cosA=1,再结合两角差的正弦公式求解即可.

本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数的应用，属于中档题.

16.【答案】(1)(3)

11

日

【解析】解:对于⑴，•・・点M为线段48中点，P为线段CM的中点，AP=^AM+4-2-

故(1)正确；

对于(2),设AP=42N,则由(1),AAN=+^AC>故AN=人力B+4力C,

4Z4/tLA.

,；B,N,Cf点共线，・，・。+L=1，解得A=•,AN-^AB+^AC9

4/tLA.433

：.AB+JN=IAB+IAB+.・・丽=,丽+,配，即前=2而，故(2)错误;

222

对于(3),在AABC中，由余弦定理，cosNBAC=3+2-4=」,

2x3x24

：.AB-AC=\AB\X\AC\cosA=3X2x(-1)=

4Z

由(2)有丽=力南+|前，

两边同时平方得：|福|2=》通|2+《函|2+［而・初，即|南『=1+卷一|=3所以

|前|=三，故⑶正确；

对于(4),由(2)(3)知，在AANC中，AN=萼,AC=2,NC=^BC=^,

*?*?*?1916

AM+AC'—NC'v+4-V13<39口

COSNNAC=~—=2零2=故(4)锢侯•

故答案为：(1)(3).

对(1),根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；

对(2),根据三点共线的性质，结合而="四+3而可得前=：荏+|前，进而得到的=2标

判断即可；

对⑶，根据余弦定理可得ABAC,再根据B中丽岩松+专芯两边平方化简求解即可；

对(4),在AaNC中根据余弦定理求解即可.

本题考查平面向量的线性运算、数量积运算，用余弦定理解三角形等，属于中档题.

17.【答案】解:(1)复数zi=1+ai(a6R),

则Z1=1一山,

•・•云(3+i)为纯虚数，即(1-山)(3+。=3+。+2—3山=3+。+(1—3a)i为纯虚数,

13+a=0

tl-3a^0解得a=-3；

(2)产023

—I

h；2023

复数Z2=勺b+i(b+i)(l+3i)b-3t3b+l.

l-3i(l-3i)(l+3i)1010

•・•复数Z2对应的点在第二象限,

.片。解得—g<b<3,

依>。

故实数b的取值范围为(-13).

【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解;

(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：（1）已知向量同=2,向量3=（1,1）,

设,=（3），

所以久2+y2=4,

因为五〃B，

所以久-y=0,

X=。■，或x=-y/~2,

解得

,yy=—d

所以五=v~z）或（一—V~^）；

（2）设向量区铀勺夹角为火0<3<n）,

根据投影的定义知：日在甜勺投影向量为：|初cos®•[=（?，¥）,

\b\，乙

即2cos火殍，殍）=存，泊,

八1

COS0—

又。G[0,n],

8=与

即向量获的夹角大小为最

【解析】（1）根据向量平行的坐标运算求解即可；

（2）根据投影的定义求解.

本题考查了平面向量共线的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题.

19.【答案】(1)解：rAE：EB=CF：FB=2：1,EF//AC.

：.EF〃平面4CD.

而EFu平面EFGH,且平面EFGHC平面AC。=GH,

EF//GH.1^EF//AC,

AC//GH.

：.AH：HD=CG：GD=3,即4H：HD=3：1.

(2)证明•••EF〃GH,且EF：AC=1：3,GH：AC=1：4,

EFHGH,•••四边形EFGH为梯形.

令EHCFG=P,则PCEH,而EHu平面ABD,

PeFG,FGu平面BCD,平面力BDC平面BCD=BD,

P6BD.：.EH、FG、BD三线共点.

【解析】⑴证明EF〃平面4CD,^^EF//GH.\^EF//AC,可得2C〃G”，即可求力H：HD；

(2)证明四边形EFGH为梯形，EHCFG=P,证明PeBD,即可证明EH、FG、B。三线共点.

本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查三线共点，考查学生分析解决问题的能力，属于中

档题.

20.【答案】证明：(1)AB1BC,BC=1,AB=C，

由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=JI2+(A/-3)2=2，/-ACB=—,

△4CD中，CD=2AT3，

•••AC2+CD?=4+12=16=AD2,

•••DC1AC,

又因为P4_L底面ABCD,DCu底面4BCD,所以241DC,

又因为ACnPZ=4且AC,PAu平面PAC,

DC_L平面PAC,

(2)解：作4HLPC,垂足为H,连接DH,

因为DC_L平面PAC,4F7u平面PAC,所以4”1CD,

又因为CDDPC=ClCD,PCu平面PAC,所以A"1平面PCD,

所以乙4。"为AD与平面PCD所成的角,

4x2_4

△中，AH

P"2<5-7T

.AH41

sin乙AADT>HII=—=-7=x-=

DAV54

所以直线4D与平面PCD所成角的余弦值为亨.

【解析】（1）通过勾股定理，证明出DC14;可证得DC，平面P4C；

（2）作4”1PC,垂足为H,连结D”，证得N/WH为4D与平面PCD所成的角，在△中求sinNADH