2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）如果3a=2b（ab/0）,那么比例式中正确的是（）

A.B.h=2.c.A=hD.A=k

b2a32332

2.（2分）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为

（）

A.y=x2+2B.y=x2-2C.y=（x+2）2D.y=（x-2）2

3.（2分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值为（）

4.（2分）“黄金分割〃是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据

黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就

是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使

小狗置于画面中的位置（）

5.（2分）如图，点A为函数y=N（x>0）图象上的一点，过点A作x轴的平行

X

线交y轴于点B,连接OA,如果AAOB的面积为2,那么k的值为（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2分）如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形

与aABC相似的是（）

A.

C.

7.（2分）如图，A,B是。0上的两点，C是。0上不与A,B重合的任意一点,

如果NAOB=140°,那么NACB的度数为（）

B.110°C.140°D.70°或110°

8.（2分）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:

X-10123

y30-1m3

有以下几个结论：

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下;

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；

③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；

④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2；

其中正确的是（）

A.①④B.②④C.②③D.③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）已知sina=L,那么锐角a的度数是

2

10.（2分）半径为2的圆中，60。的圆心角所对的弧的弧长为.

11.（2分）如图1,物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1

抽象为图2,其中线段AB为蜡烛的火焰，线段AB为其倒立的像，如果蜡烛

火焰AB的高度为2cm,倒立的像AE的高度为5cm,点O到AB的距离为4cm,

那么点。到AB的距离为

图20

12.（2分）如图，等边三角形ABC的外接圆。。的半径0A的长为2,则其内切

圆半径的长为.

13.（2分）已知函数的图象经过点（2,1）,且与x轴没有交点，写出一个满足

题意的函数的表达式.

14.（2分）在平面直角坐标系中，过三点A（0,0）,B（2,2）,C（4,0）的

圆的圆心坐标为.

15.（2分）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地，如

图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD,改建的绿地的矩形AEFG,其中

点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE,如果设BE的长为x（单

位：m）,绿地AEFG的面积为y（单位：m2）,那么y与x的函数的表达式

为；当BE=m时，绿地AEFG的面积最大.

ADG

E\

BC

16.（2分）下面是"过圆外一点作圆的切线"的尺规作图过程.

已知：。。和。。外一点P.

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图，

（1）连接OP;

(2)分别以点。和点P为圆心，大于LOP的长为半径作弧，两弧相交于M,N

2

两点；

(3)作直线MN,交0P于点C；

(4)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。。于A,B两点；

(5)作直线PA,PB.

直线PA,PB即为所求作。0的切线.

请回答以下问题：

①连接OA,0B,可证NOAP=NOBP=90°,理由是；

②直线PA,PB是。。的切线，依据是.

三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、

27题，每小题5分，第28题8分)

17.(5分)计算：2cos30°+sin45°-tan60°.

18.(5分)如图，^ABC中，DE〃BC,如果AD=2,DB=3,AE=4,求AC的长.

19.(5分)已知二次函数y=x2-4x+3.

(1)用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；

(3)当0WxW3时，y的取值范围是.

y

--an---，工

20.(5分)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题："今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"用

现代语言表述为：如图，AB为。O的直径，弦CDXAB于点E,AE=1寸，CD=10

寸，求直径AB的长.

请你解答这个问题.

21.(5分)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+l于双曲线y=K的一个交点为P

x

(m,2).

(1)求k的值；

(2)M(2,a),N(n,b)是双曲线上的两点，直接写出当a>b时，n的取值

范围.

22.(5分)在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪

念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首

先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的

仰角为35。，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN

顶部M的仰角为45。，最后测量出A,B两点间的距离为15m,并且N,B,A

三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E,请你利用他们的测量结果,

计算人民英雄纪念碑MN的高度.(参考依据：sin35o^0.6,cos35°^0.8,tan35°

心0.7)

23.（5分）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷

出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距

离为1m,且到地面的距离为3.6m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.

24.（5分）如图，AB是。0的直径，点C是源的中点，连接AC并延长至点D,

使CD=AC,点E是0B上一点，且迈=2,CE的延长线交DB的延长线于点F,

EB3

AF交。。于点H,连接BH.

（1）求证：BD是。。的切线；

（2）当0B=2时，求BH的长.

25.（6分）如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E

作EFLDE交BC于点F,连接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,设A,E两点间的

距离为xcm,4DEF面积为ycm2.

小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）确定自变量x的取值范围是；

（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm00.511.522.533.5...

y/cm24.03.73.93.83.32.0...

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出

rr

L

该函数的图象;

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当4DEF面积最大时，AE的长度为

cm.

26.（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点（2,3）,对

称轴为直线x=l.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果垂直于y轴的直线I与抛物线交于两点A（xi，yi）,B（x2,y2）,其中

X1<O,x2>0,与y轴交于点C,求BC-AC的值；

（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一

点P平移后对应点为点Q,如果OP=OQ,直接写出点Q的坐标.

27.（7分）如图，NBAD=90。，AB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45。角绕点

C旋转，角的两边与BA,DA交于点M,N,与BA,DA的延长线交于点E,F,

连接AC.

（1）在NFCE旋转的过程中，当NFCA=NECA时，如图1,求证：AE=AF；

（2）在NFCE旋转的过程中,当NFCAWNECA时，如图2,如果NB=30。，CB=2,

用等式表示线段AE,AF之间的数量关系，并证明.

E

28.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：如果OC

的半径为r,OC外一点P到。C的切线长小于或等于2r,那么点P叫做。C

的“离心点”.

（1）当。0的半径为工时，

①在点Pi（1,匹），P2（0，-2）,P3（旄，0）中，。0的"离心点”是.

22

②点P（m,n）在直线y=-x+3上，且点P为。。的"离心点"，求点P的横坐标

m的取值范围.

（2）©C的圆心在y轴上，半径为2,直线y=--1-x+l与x轴、y轴交于点A、B.如

果线段AB上的所有点都是。C的"离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值

范围.

2017-2018学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）如果3a=2b（abWO）,那么比例式中正确的是（）

Aa_3Rb_2ra_bna_b

b2a32332

【分析】先逆用比例的基本性质，把3a=2b改写成比例的形式，使相乘的两个数

a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得

解.

【解答】解：：3a=2b,

.*.a：b=2：3,b：a=3：2,

即a：2=b：3,

故A,B均错误，C正确，D错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，

要注意：内项之积等于外项之积.本题也可以将各选项中的比例式化为等积

式进行判断.

2.（2分）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为

（）

A.y=x2+2B.y=x2-2C.y=（x+2）2D.y=（x-2）2

【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可.

【解答】解：•••抛物线y=x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0,2）,

•••所得抛物线的解析式为y=x2+2.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛

物线函数图象的变化更简便.

3.（2分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,贝UtanA的值为（）

B

''IB-ID，3

【分析】先利用勾股定理计算出AC,然后根据正切的定义求解.

【解答】解：VZACB=90°,AB=5,BC=3,

•,AC-752-32=4.

tanA=^-=—

AC4

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义.

4.（2分）“黄金分割〃是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据

黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就

是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使

小狗置于画面中的位置（）

B.②C.③D.④

【分析】关键黄金分割的比值是0.618,即可判断.

【解答】解：观察图象可知，AC=0.618AB,DE^0.618CD,A

・••按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②,

故选：B.

【点评】本题考查黄金分割（0.618）的应用，解题的关键是记住黄金分割的比

值是0.618.

5.（2分）如图，点A为函数y=k（x>0）图象上的一点，过点A作x轴的平行

线交y轴于点B,连接0A,如果AAOB的面积为2,那么k的值为（）

【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以

及坐标原点所构成的三角形的面积是L|k|=2,再根据反比例函数的图象位于

2

第一象限即可求出k的值.

【解答】解：根据题意可知：

SAAOB=l|k|=2,

2

又反比例函数的图象位于第一象限，k>0,

则k=4.

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向

两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k1.本知识点是中考的

重要考点，同学们应高度关注.

6.（2分）如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形

与^ABC相似的是（）

【分析】根据网格中的数据求出AB,AC,BC的长，求出三边之比，利用三边对

应成比例的两三角形相似判断即可.

【解答】解：根据题意得：

AB=Ay32+12=V10,AC=2,BC=^,12+12=V2>

/.BC：AC：AB=1：A/2：巡，

A、三边之比为1：V2：代，图中的三角形（阴影部分）与^ABC相似；

B、三边之比血：272：3,图中的三角形（阴影部分）与^ABC不相似；

c、三边之比为1：Vs：2加，图中的三角形（阴影部分）与AABC不相似；

D、三边之比为2：遥：V13，图中的三角形（阴影部分）与^ABC不相似.

故选:A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本

题的关键.

7.（2分）如图，A,B是。。上的两点，C是。0上不与A,B重合的任意一点，

如果NAOB=140。，那么NACB的度数为（）

A.70°B.110°C.140°D.70°或110°

【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定

理和圆内接四边形的性质进行计算即可.

【解答】解：如图1,

ZACB=^-ZAOB=70°；

2

如图2,

NADB=L/AOB=70°,

2

ZADB+ZACB=180°,

AZACB=110".

故选：D.

【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，

同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的

关键.

8.(2分)已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:

X-10123

y30-1m3

有以下几个结论：

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；

③方程ax2+bx+c=0的根为。和2；

④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2；

其中正确的是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

【分析】根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根

据二次函数的图形与性质求解可得.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

将(-1,3)、(0,0)、(3,3)代入得：

a-b+c=3

<c=0，

19a+3b+c=3

'a=l

解得：,b=-2，

、c=0

二抛物线的解析式为y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1,

由a=l>0知抛物线的开口向上，故①错误；

抛物线的对称轴为直线x=l,故②错误；

当y=0时，x(x-2)=0,解得x=0或x=2,

...方程ax2+bx+c=0的根为。和2,故③正确；

当y>0时，x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故④正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查抛物线与X轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法

求函数解析式及二次函数的图象和性质.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）已知sina=L,那么锐角a的度数是30°.

2

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值求解.

【解答】解：•.•角a是锐角，且sina=L

2

AZa=30°.

故答案为：30。.

【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值.

10.（2分）半径为2的圆中，60。的圆心角所对的弧的弧长为2冗.

【分析】将n=60,r=2代入弧长公式|=①进行计算即可.

180

【解答】解：|=亚三=迎2丝=2兀

1801803

故答案为2上

3

【点评】本题考查了弧长的计算.熟记弧长公式1=史红（弧长为I,圆心角度数

180

为n,圆的半径为r）是解题的关键.注意在弧长的计算公式中，n是表示1。

的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.

11.（2分）如图1,物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1

抽象为图2,其中线段AB为蜡烛的火焰，线段AB为其倒立的像，如果蜡烛

火焰AB的高度为2cm,倒立的像AE的高度为5cm,点O到AB的距离为4cm,

那么点O到AB的距离为10cm.

片.

图1

图2月’

【分析】由相似三角形判定可得△ABOS^AEO,利用对应边成比例可得点O

至UAB的距离.

【解答】解：•.•AB/ZAB,

.,.△ABO^AA'B'O,

.•.丁号=2是相似比，

A'B'5

.,.点O到AB的距离=会4=10，

故答案为：10

【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例.

12.（2分）如图，等边三角形ABC的外接圆。。的半径OA的长为2,则其内切

圆半径的长为1.

【分析】过点。作OHLAB与点H,则OH为内切圆的半径，根据等边三角形的

性质即可求出OH的长.

【解答】解：过点。作OHLAB与点H,

••.△ABC是等边三角形，

AZCAB=60°,

为三角形外心，

AZOAH=30",

/.OH=J-OA=1,

2

故答案为：1

【点评】本题考查了等边三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌

握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

13.（2分）已知函数的图象经过点（2,1）,且与x轴没有交点，写出一个满足

题意的函数的表达式Y=Z或y=x2-4x+5.

X

【分析】该函数图象与X轴没有交点，可以推知该函数可以是反比例函数，也可

以是二次函数.利用函数是性质解答即可.

【解答】解：•.•函数的图象经过点(2,1),且与x轴没有交点，

该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数，

・••符合题意的函数的表达式可以为y=2或y=x2-4x+5.

X

故答案是：y=2或y=x2-4x+5.

x

【点评】考查了反比例函数，一次函数，正比例函数和二次函数的性质，根据"与

X轴没有交点"推知该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数是解题的关

键.

14.(2分)在平面直角坐标系中，过三点A(0,0),B(2,2),C(4,0)的

圆的圆心坐标为(2,0).

【分析】已知A(0,0),B(2,2),C(4,0),则过A、B、C三点的圆的圆心,

就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的

父点即可.

【解答】解：已知A(0,0),B(2,2),C(4,0),如图:

可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b,把(0,2),(2,0)代入解析式可

得:Ib=2

l2k+b=0,

解得:k=-l

b=2，

所以AB的垂直平分线解析式是y=-x+2,

设AC的垂直平分线解析式为x=m,把(2,2)代入解析式，可得：x=2,

所以AC的垂直平分线解析式是x=2,

...过A、B、C三点的圆的圆心坐标为(2,0).

故答案为：(2,0).

【点评】此题考查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是

解决本题的关键.

15.(2分)在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地，如

图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD,改建的绿地的矩形AEFG,其中

点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE,如果设BE的长为x(单

位：m),绿地AEFG的面积为y(单位：m2),那么y与x的函数的表达式为

v=-2x2+8x+64(0<x<8),；当BE=2m时,绿地AEFG的面积最大.

【分析】设BE的长为x,绿地AEFG的面积为y,根据题意得出函数解析式进行

解答即可.

【解答】解：设BE的长为X,绿地AEFG的面积为y,由图形可得：y=-2x?+8x+64

(0<x<8),

解析式变形为：y=-2(x-2)2+72,

所以当x=2时，y有最大值，

2

故答案为：y=-2X+8X+64(0<X<8),2.

【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式.

16.(2分)下面是"过圆外一点作圆的切线"的尺规作图过程.

己知:。。和。。外一点P.

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图，

(1)连接OP;

(2)分别以点。和点P为圆心，大于Lop的长为半径作弧，两弧相交于M,N

2

两点；

(3)作直线MN,交0P于点C；

（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。。于A,B两点；

（5）作直线PA,PB.

直线PA,PB即为所求作。。的切线.

请回答以下问题：

①连接OA,0B,可证NOAP=NOBP=90°,理由是直径所对圆周角是直角；

②直线PA,PB是00的切线，依据是经过半径的外端点，并且垂直于这条半

径的直线是圆的切线.

【分析】①根据"直径所对圆周角是直角"可得；

②根据"经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"可得.

【解答】解：①连接OA,0B,可证NOAP=NOBP=90。，理由是：直径所对圆周

角是直角，

故答案为：直径所对圆周角是直角；

②直线PA,PB是。。的切线，依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半

径的直线是圆的切线，

故答案为：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作

图及圆周角定理、切线的判定.

三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、

27题，每小题5分，第28题8分）

17.（5分）计算：2cos300+sin45°-tan60°.

【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后按实数的运算顺序计算即可.

【解答】解：原式=2x41+返-E，

22

=相考s

-返

2

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30。、45\60。角的各

种三角函数值.

18.(5分)如图，4ABC中，DE〃BC,如果AD=2,DB=3,AE=4,求AC的长.

【分析】根据平行线分线段成比例求出EC,即可解答.

【解答】解：：DE〃BC,

・AD_AEpn2_4

DB-EC3"EC

解得：EC=6,

.*.AC=AE+EC=4+6=10；

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分

线段成比例定理.

19.(5分)已知二次函数y=x2-4x+3.

(1)用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；

(3)当0WxW3时，v的取值范围是-.

【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；

(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可;

(3)运用数形结合思想解答即可.

【解答】解：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1；

(2)这个二次函数的图象如图：

故答案为-lWyW3.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一

般式化为顶点式是解题的关键.

20.(5分)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题："今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"用

现代语言表述为：如图，AB为。O的直径，弦CDXAB于点E,AE=1寸，CD=10

寸，求直径AB的长.

请你解答这个问题.

【分析】连接OC,由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点,

由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=(x-1)寸，由

勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长.

【解答】解：如图所示，连接OC.

•弦CD，AB,AB为圆。的直径，

.，.E为CD的中点，

又,.,CD=10寸，

.•.CE=DE」CD=5寸，

2

设OC=OA=x寸,则AB=2x寸,0E=(x-1)寸，

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2,

即(x-1)2+52=x2,

解得：x=13,

.*.AB=26寸，

即直径AB的长为26寸.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直

得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股

定理来解决问题.

21.(5分)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+l于双曲线y=N的一个交点为P

x

(m,2).

(1)求k的值；

(2)M(2,a),N(n,b)是双曲线上的两点，直接写出当a>b时，n的取值

范围.

【分析】(1)把P坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出P坐标，把P

坐标代入反比例解析式求出k的值即可；

(2)由题意，结合图象及反比例函数的增减性求出n的范围即可.

【解答】解：(1)•.•直线y=x+l于双曲线y=K的一个交点为P(m,2),

X

・•.把P(m,2)代入一次函数解析式得：2=m+l,即m=l,

/.P的坐标为(1,2),

把P坐标代入反比例解析式得：k=2；

（2）根据题意得：当a>b时，n的取值范围为n<0或n>2.

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，

熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

22.（5分）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪

念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首

先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的

仰角为35。，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN

顶部M的仰角为45。，最后测量出A,B两点间的距离为15m,并且N,B,A

三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E,请你利用他们的测量结果,

计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考依据：sin35o^0.6,cos35°^0.8,tan35°

%0.7)

NBA

【分析】在Rt^MED中，由NMDE=45°知ME=DE,据止匕设ME=DE=x,贝UEC=x+15,

在Rt^MEC中，由ME=EC・tanNMCE知x=0.7（x+15）,解之求得x的值，根

据MN=ME+EN可得答案.

【解答】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，

.*.EN=AC=1.5,AB=CD=15,

在Rt^MED中，NMED=90。，NMDE=45°,

，ME=DE,

设ME=DE=x,贝ljEC=x+15,

在Rt^MEC中，NMEC=90°,NMCE=35°,

VME=EC«tanZMCE,

.♦.X心0.7(x+15),

解得：x=35,

.•.ME=35,

.•.MN=ME+E236.5,

答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米.

【点评】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中

整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题.

23.(5分)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷

出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距

离为1m,且到地面的距离为3.6m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.

【分析】建立以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶

点P(1,3.6)设其解析式为y=a(x-1)2+3.6,把A(0,2)代入求得a的

值，据此可得其函数解析式，再求得y=0时x的值可得答案.

【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系,

由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(1,3.6)、点A(0,2),

设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3.6,

将点A(0,2)代入，得：a+3.6=2,

解得：a=-1.6,

则抛物线的解析式为y=-1.6(x-1)2+3.6,

当y=0时，有-1.6(x-1)2+3.6=0,

解得：x=-0.5(舍)或x=2.5,

BC=2.5,

答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面

直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解.

24.(5分)如图，AB是。0的直径，点C是源的中点，连接AC并延长至点D,

使CD=AC,点E是0B上一点，且理=2,CE的延长线交DB的延长线于点F,

EB3

AF交。0于点H,连接BH.

(1)求证：BD是。。的切线；

(2)当0B=2时，求BH的长.

【分析】(1)先判断出NAOC=90。，再判断出OC〃BD,即可得出结论；

(2)先利用相似三角形求出BF,进而利用勾股定理求出AF,最后利用面积即可

得出结论.

【解答】证明：(1)连接0C,

：AB是。0的直径，点C是源的中点，

AZAOC=90°,

VOA=OB,CD=AC,

AOC是^ABD是中位线，

.,.OC//BD,

AZABD=ZAOC=90°,

.\AB±BD,

•点B在。。上,

.•.BD是的切线；

解：(2)由(1)知，OC〃BD,

AAOCE^ABFE,

•••O-C一OE一,

BF-EB

V0B=2,

.*.0C=0B=2,AB=4,里上，

EB3

•23

…而W'

...BF=3,

在Rt^ABF中，NABF=90°,根据勾股定理得，AF=5,

VSABF=-AB»BF=1AF»BH,

A22

••.AB・BF=AF・BH,

.•.4X3=5BH,

5

【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键.

25.（6分）如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E

作EFLDE交BC于点F,连接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,设A,E两点间的

距离为xcm,4DEF面积为ycm2.

小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）确定自变量x的取值范围是0Wx<4；

（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm00.511.522.533.5

y/cm24.03.73.93.83.32.0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出

1

r*"»

1___1

该函数的图象;

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当4DEF面积最大时，AE的长度为0

或2cm.

C

【分析】(1)利用点E在线段AB上，即可得出结论；

(2)先判断出△ADEs^BEF,得出坦4,进而表示出BF=x(4r),再取x=i

BEBF2

和x=2求出y的即可；

(3)利用画函数图象的方法即可得出结论；

(4)由图象可知，即可得出结论.

【解答】解：(1)•点E在AB上，

.•.0Wx<4,

故答案为：0Wx<4；

(2)•四边形ABCD是矩形，

，BC=AD=2,CD=AB=4,ZA=ZB=90°,

NADE+NAED=90°,

VEF±DE,

AZAED+ZBEF=90",

AZADE=ZBEF,

VZA=ZB=90°,

/.△ADE^ABEF,

•ADAE

VAE=x,

ABE=AB-AE=4-x,

•2_x

4-xBF

...BF=X(4-X),

2

当x=l时，BF=W,

2

，CF=BC-BF=2

22

y=S矩形ABCD一SAADE-SABEF-SACDF=8-1-X2X1-1X3XA-lx4X1=3.75^3.8,

22222

当x=2时，BF=2,

.\CF=BC-BF=O,此时，点F和点C重合，

y=S矩形ABCD-SMDE-SABEF=8_—X2X2-—X2X2=4.0

22

故答案为：3.8,4.0

(4)由图象可知，当x=0或2时，4DEF面积最大，

即：当4DEF面积最大时，AE=0或2,

故答案为0,2.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性

质，图形面积的计算方法，函数图象的画法，解本题的关键是用AE表示出

BF.

26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点(2,3),对

称轴为直线x=l.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如果垂直于y轴的直线I与抛物线交于两点A(xi,yi),B(x2,y2),其中

X1<O,x2>0,与y轴交于点C,求BC-AC的值；

(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一

点P平移后对应点为点Q,如果OP=OQ,直接写出点Q的坐标.

【分析】(1)将点(2,3)代入y=-x2+bx+c,可得-4+2b+c=3,根据对称轴为

直线x=l,得出卜=1,把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线

2

的表达式；

（2）设直线I与对称轴交于点M,根据抛物线的对称性得出BM=AM.那么BC

-AC=BM+MC-AC=AM+MC-AC=2MC=2；

（3）先利用配方法求出原抛物线的顶点为（1,4）,根据上下平移横坐标不变，

纵坐标相加减得出新抛物线的顶点为（1,0）.再设点P的坐标为（x,y）,

则y=-x2+2x+3,点Q的坐标为（x,y-4）,根据OP=OQ列出方程进而求解

即可.

【解答】解：（1）•抛物线y=-x2+bx+c经过点（2,3）,对称轴为直线x=l,

r-4+2b+c=3

,',斤lb1,'

解得严，

Ic=3

抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；

（2）如图，设直线I与对称轴交于点M,则BM=AM.

BC-AC=BM+MC-AC=AM+MC-AC=2MC=2；

（3）'."y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4,

・••顶点为（1,4）,

.••将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，

新抛物线的顶点为（1,0）,

•••将原抛物线向下平移4个单位即可.

设点P的坐标为（x,y）,则y=-x?+2x+3,点Q的坐标为（x,y-4）,则y>y

-4.

VOP=OQ,

/.x2+y2=x2+（y-4）2,

y2=（y-4）2,

Vy>y-4,

.'.y=-(y-4),

/.y=2,

Ay-4=-2,

当y=2时，-x2+2x+3=2,

解得X=1土我,

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析

式，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，

两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键.

27.(7分)如图，NBAD=90。，AB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45。角绕点

C旋转，角的两边与BA,DA交于点M,N,与BA,DA的延长线交于点E,F,

连接AC.

(1)在NFCE旋转的过程中，当NFCA=/ECA时，如图1,求证：AE=AF；

(2)在NFCE旋转的过程中，当NFCAWNECA时，如图2,如果NB=30。，CB=2,

用等式表示线段AE,AF之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)首先证明^ABC注△ADC(SSS),推出NBAC=NDAC=45。，推出NFAC=

ZEAC=135°,再证明4ACFm4ACE(ASA)即可解决问题；

(2)由△ACFsaAEC,推出或=坦，可得AC2=AE・AF,求出AC