类型七：抛物线上平行四边形存在性问题的探究（解析版）

类型七：抛物线上平行四边形存在性问题的探究方法点睛解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步：计算．平行四边形顶点坐标公式：□ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．证明：如图，连接AC，BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(xA+xC2，yA+yC2)．又∵点E为∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．典例分析例：（2021郴州中考改编）（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．专题过关1、（2021湘西中考改编）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）存在，或．【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；（3）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，∵抛物线与y轴的交点为C，∴，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（3）存在，理由如下：由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC为对角线时，如图所示：连接MN，交AC于点D，∵四边形ANCM是平行四边形，∴点D为AC、MN的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；②当AM为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；③当AN为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．2、（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；【考点】二次函数综合题．版权所有【专题】数形结合；分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；模型思想．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝；（2）点M的坐标为（，）或（，）；【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则，①∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），∵点M在抛物线上，∴，∴n2+9n﹣4＝0，∴，∴点M的坐标为（，）或（，）；3、（2021黔东南中考改编）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；多边形与平行四边形；图形的相似；数据分析观念．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），即可求解；【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，故设点P（1，m），设点Q（x，0），当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），则1±3＝x且m±3＝0，解得或，故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；4、（2021海南中考改编）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点F的坐标．【答案】（1）；（2）点F的坐标为或．【解析】【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；（2）分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．【详解】（1）∵抛物线经过两点，解得该地物线的函数表达式为（2）如图4-4，当点D在线段上运动时，；∵，当四边形ADFE平行四边形时，AE可通过平移得到EF，∵A到D横坐标加1，纵坐标加，∴，∴，化简得：，∴，∴，∴;如图4-5，当点D在线段上运动时，AE可通过平移得到EF，∵，∵A到D横坐标加，纵坐标不变，∴，∴∴，因为，∴，∴，综上可得，F点的坐标为或．5、（2021赤峰中考）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，∴，解得，∴；故答案为；（2）将代得，∴，设直线的解析式为将，，得，解得，，∴，∵，交于点，∴为定值，∵，把，记为定值，过点作轴，垂足为，交于点，设，则，∴，，，∴，∵，∴有最大值，此时，将代入中，得；（3）存在，符合题意的点坐标为或或；当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，又∵，∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，∴y=，∴，∴解得，∵x=时为E点，∴，Q1()，当点Q在x轴下方抛物线上时，∵PF在x轴上，又∵四边形平行四边形，∴Q与E的纵坐标互为相反数，所以yQ=，∴，整理得，△=，解得，∴Q2（），Q3（），符合题意的点坐标为或或．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．6、（2021凉山中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，t+3)，根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣(t+)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方.①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∴OA2+OC4＝AC2，即OA2+(8OA)2＝()2，解得：OA＝8，∴OC＝3，∴A(1，6)，3)，∵OB＝OC＝3，∴B(﹣4，0)，设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x﹣3)，将C(0，得：﹣3a＝4，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x+3)(x﹣4)＝﹣x2﹣2x+2，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，设直线BC解析式为y＝kx+n，将B(﹣3，C(4，得：，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+2，设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，∴PK＝﹣t2﹣2t+8﹣(t+3)＝﹣t2﹣8t，∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•(t+6)+PK＝2﹣3t)，S△ABC＝AB•OC＝，∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，∵﹣＜0，∴当t＝﹣﹣时，四边形PBAC的面积最大，)；（3）存在.如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，∴﹣x3﹣2x+3＝，解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，∴Q1(﹣，)，②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，∴﹣x2﹣5x+3＝﹣，解得：x7＝﹣，x7＝，∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，综上所述，Q点的坐标为Q1(﹣，)，Q6(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．7、（2021重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（）或G（）或G（）．【分析】（1）直角代入点A，B坐标即可；（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设P（m，m2﹣3m﹣4），作PE∥y轴交直线AD于E，∴E（m，﹣m﹣1），∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△APD＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，当m＝﹣＝1时，S△APD最大为＝8，（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵P（1，﹣6），∴E（5，﹣10），抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴，若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴，若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，∴G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴∴G（）或G（）或G（），8、（2021南充中考）（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5,4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，此时点Q的坐标为（2，﹣2）；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四边形OCPQ为平行四边形；（3）∵D是OC的中点，则点D（0,2），由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x+r，将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点E的坐标为（5,4），设点F的坐标为（0，m），由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，）．9、（2021重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【答案】（1）；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为，点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【解析】分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当MN∥AB时；2）当NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1），∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）∵A（0，-1），B（4，1），∴直线AB的函数表达式为，∴C（2，0），设P，其中0<t<4，∵点E在直线上，PE∥x轴，∴E，∠OCA=∠DEP，∴PE=，∵PD⊥AB，∴∠EDP=∠COA，∴△PDE∽△AOC，∵AO=1，OC=2，∴AC=，∴△AOC的周长为3+，令△PDE的周长为l，则，∴，∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线．①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，-4）；②若AB是平行四边形的边，1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，12）；2）当NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4=6，∴点M的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10、（2021西藏中考改编）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；多边形与平行四边形；几何直观；应用意识．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）存在，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，﹣16）．【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：∴，解得，∴M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴，解得，∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：，解得，∴M（7，﹣16）；综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．11、（2021淮安中考改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）b＝，c＝．（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；应用意识．【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5+；【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b，c的值；（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；（3）先由QM•QH＜10，且QH≠0，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由MG＝HQ列方程求出t的值；【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，故答案为：，.（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝x﹣5．（3）存在，如图1、图2．由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），∴G（t﹣6，t2t+），H（t﹣3，t﹣8）；∵QM•QH＜10，且QH≠0，∴，解得＜t＜，且t≠8；∵MG∥HQ，∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴|t2t+|＝|t﹣8|；由t2t+＝t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；由t2t+＝﹣t+8得，t2﹣10t+1＝0，解得，t1＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，舍去），综上所述，t＝5或t＝5+2．12、（2021梧州中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）、为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；【答案】（1）；（2）F（-4，3）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：，解得：，∴原抛物线对应的函数表达式为：；（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，∴新抛物线对应的函数表达式为：，即：故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；13、（2021广东中考）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有 ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1） 中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不 存在，请说明理由．【答案】解：（1）令，解得，当时，， 必过，…………1分 又过， ， ， 又， ， ， 且， ， ， ， ，，…………2分 ．…………3分 （2）由（1）可知：，，设，， ①当为对角线时， ，解得（舍），， ，即．…………5分 ②当为对角线时， ，解得（舍）， ，即．…………7分 ③当为对角线时， ，解得，， 或， ，．…………9分 综上所述：点坐标为或或或．…10分14、（2020重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．【详解】（1），当x=0时，y=2，当y=0时，，解得：x=，所以B（，0），C（0，2），将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得：，所以抛物线的解析式为；（2）∵AD//BC，∴设直线AD解析式为：．将A（，0）代入得：，解得：m=-，所以AD的解析式为，联立，解得：，，∵A（，0），∴D（，）．设CD解析式为y=kx+2，将点D坐标代入得：，解得：k=，所以CD的解析式为：，当y=0时，即，解得：x=，则CD与x轴的交点为（，0）．所以S△BCD==，设E（x，），则SBECD==，当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．过程如下：，所以抛物线的顶点是（，），将抛物线向左平移个单位，则平移后抛物线解析式为．设M（，m），N（xn，yn），①当AM为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如图对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）②当AE为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如图对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）③当AN为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，）．如图对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．15、（2020天水中考）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的面积等于的面积的时，求的值；（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）的值为3；（3）存在，点的坐标为，，，．【解析】【分析】（1）把A、C两点坐标代入函数解析式，结合对称轴方程，联立方程组，求出a，b，c的值即可；（2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点．首先计算出的面积=6，得，求得B（4，0），直线的函数表达式为，可得点的坐标为，点的坐标为，根据得方程求解即可；（3）根据平行四边形的判定与性质分三种情况进行求解：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时．【详解】（1）由题意得，解得故抛物线的函数表达式为（2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点．∵点的坐标为，∴∵点的坐标为∴∴∴当时，，解得，.∴设直线的函数表达式为则，解得，∴直线的函数表达式为．则点的坐标为，点的坐标为，∴∵点的坐标为，∴．∴．则有解得(不合题意，舍去)，．∴的值为3．（3）存在，点的坐标为，，，在中，当时，，∴．分三种情况讨论：①当为对角线时，如图（1），易知点与点关于直线对称．∴，，∴，又∵，∴②当为对角线时，如图（2），，，∴．又∵，∴③当为对角线时．∵，易知点的纵坐标为．将代入中，得，解得，．当时，点的位置如图（3）所示，则分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，易证．∵，∴，又∵，∴当时，点的位置如图（4）所示，则．同理易得点的坐标为综上所述：点的坐标为，，，．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．16、（2020玉林中考）已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．【解析】【分析】（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．【详解】解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，∴当y=0时，即（x+3）（1-x）=0解得x1=-3，x2=1，∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），当x=0时，y=-02-2×0+3=3，∴C的坐标为（0，3），综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）设B（t，0），由题意得y2由y1平移所得，∴a=-1，∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，∴D（，），∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，∴△BDB是等腰直角三角形，∴yD=|BB|，∴=（t-1），解得t=3，∴B（3，0），∴y2=-x2+4x-3；（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，∴yP=yC=3，此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；②若QB左边，当BQ为边时，则CP∥BQ，此时yP=yC=3，P点在y1上，将yP=3，代入y1得，解得x1=0，x2=-2，∴此时P的坐标为（-2，3）；当BQ为对角线时，则BC∥QP，∵yC-yB=3，∴yQ-yP=3，∵Q在x轴上，∴yP=-3，将yP=-3代入y1得，解得x1=-1+，x2=-1-，将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，解得x1=0，x2=4，∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．17、（2020黔东南中考改编）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．18、（2020齐齐哈尔中考改编）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2+2x；(2)存在，点N的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)【解析】【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；(2)分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为：y＝x2+2x；(2)存在，理由如下：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N(6，6)或(-6，-6)；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝-2，n＝6，故点N(-2，6）；综上，点N的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)．19、（2020黄冈中考改编）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；【答案】（1）；（2）点P的坐标为【解析】【分析】（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为将点代入解析式中，则有．∴抛物线的解析式为．方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，将代入解析式中，则有，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）．∴顶点D的坐标为．①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，则．．∴点P的坐标为．②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，则．．∴点P的坐标为．∴综合得：点P的坐标为20、（2020荆州中考改编）如图1，在平面直角坐标系中，，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；【解析】【分析】（1）证得OE是△ABC的中位线，求得点E的坐标，分别求得AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而证明结论；（2）求得BC=OD=OA=，利用平行四边形的判定定理可证得四边形OBCD是平行四边形；【详解】（1）如图1，设AB与y轴交于点M，则AM=2，OM=1，AB=5，则OA=OC，∵OE∥BC，∴OE是△ABC的中位线，∴AE=AB=，BC=2EO，∴点E的坐标为(，)，ME=，OM=1，∴OE=，∴BC=2OE=，∵，是直角三角形，即，所以BC是半圆的O的切线；（2）四边形OBCD是平行四边形，由图知：BC=OD=OA=，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；21、（2020郴州中考改编）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．（1）求抛物线和直线的表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)【解析】【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；（2）根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为，令，则，∴点C的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得：，∴直线的表达式为；（2）存在，理由如下：作于G，如图，∵的对称轴为：，∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG=GB=EG=1，∴点的坐标为(2，)，当EF边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当时，，∴点P的坐标为(2，)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2)；根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图，∵四边形PEQF为平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为(2，)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，)；综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)，P（0，3）时，Q（1，4）时；22、（2020常德中考改编）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【答案】（1）y＝x2；（2）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．详解】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．23、（2020青海中考改编）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）【答案】（1）；（2）点P的坐标为：或（4，）或（，）．【解析】【分析】（1）由图可知点B、点D的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）由点Q在y轴上，设Q（0，y），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB为对角线时；②当BQ2为对角线时；③当AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点P的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，抛物线经过B、D两点，点D为（，），点B为（3，0），则，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），∵点P在抛物线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB为对角线时，则为对角线；由平行四边形的性质，∴点E为AB和的中点，∵E为（1，0），∵点Q1为（0，y），∴点P1的横坐标为2；当时，代入，∴，∴点；②当BQ2是对角线时，AP也是对角线，∵点B（3，0），点Q2（0，y），∴BQ2中点的横坐标为，∵点A为（，0），∴点P2横坐标为4，当时，代入，∴，∴点P2的坐标为（4，）；③当AQ3为对角线时，BP3也是对角线；∵点A为（，0），点Q3（0，y），∴AQ3的中点的横坐标为，∵点B（3，0），∴点P3的横坐标为，当时，代入，∴，∴点P3的坐标为（，）；综合上述，点P的坐标为：或（4，）或（，）．24、（2020聊城中考改编）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．（1）求出二次函数和所在直线的表达式；（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；【答案】（1），；（2）；【解析】【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；【详解】解：（1）由题意，将，代入，得，解得，∴二次函数的表达式，当时，，得点，又点，设线段所在直线的表达式，∴，解得，∴所在直线的表达式；（2）∵轴，轴，∴，只要，此时四边形即为平行四边形，由二次函数，得点，将代入，即，得点，∴，设点的横坐标为，则，，由，得，解之，得（不合题意舍去），，当时，，∴；25、（2020菏泽中考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；（2）先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积；（3）根据平行四边形的性质得到，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，∴A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0），B（4，0）代入得：，解得：∴抛物线的函数表达式为：；（2）由（1）可得抛物线的对称轴l：，，设直线BC：，可得：解得，∴直线BC的函数表达式为：，如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，设，则，∴，由题意可得整理得解得（舍去），∴，∴∴；（3）存在由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知，①如图2当时，四边形BDNM即为平行四边形，此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入解得∴此时，四边形BDNM即为平行四边形．②如图3当时，四边形BDMN为平行四边形，过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF∴此时N点纵坐标为将y=代入，得，解得：∴此时或，四边形BDMN为平行四边形．综上所述，或或．【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．26、（2020阿坝中考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3)或(，)或（-4，-5）【解析】【分析】（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．【详解】（1）令，则，∴点B的坐标为(0，3)，抛物线经过点B(0，3)，C(1，0)，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）令，则，解得：，∴点A的坐标为(，0)，∴OA=3，OB=3，OC=1，，∵，且，∴△PAO△CAB，∴，即，∴；（3）存在，过点P作PD⊥x轴于点D，∵OA=3，OB=3，∠AOB=，∴∠BAO=∠ABO=，∴△PAD为等腰直角三角形，∵，∴PD=AD=2，∴点P的坐标为(，2)，当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，∵四边形APMN为平行四边形，∴NM∥AP，NM=AP=，∴∠NME=∠ABO=，∴△NME为等腰直角三角形，∴Rt△NMERt△APD，∴NE=AD=2，当时，，∴点N的坐标为(，3)，当N在AB下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，同理可得：Rt△NMFRt△APD，∴NF=AD=2，当时，，∴点N的坐标为(，)，当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为-4，∴N（-4，-5），综上，点N的坐标为(，3)、(，)或（-4，-5）．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出图形是解题的关键．27、（2020广安中考改编）如图，抛物线y=