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文档简介

逆矩阵及其求法定义10对于n阶方阵A,若有一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称方阵A可逆,并称方阵B为A得逆阵,记作A1、注:如果方阵A可逆,则逆阵就是唯一得、∵设B、C均为A得逆阵,则

逆阵就是唯一得、一、逆矩阵得概念及其求法则B=A1、B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理一若方阵A可逆,则|A|

0、[证]∵A可逆

有A1,使AA1=E|A||A1|=|E|=1|A|0定理二若|A|

0,则方阵A可逆,且其中A*称为方阵A得伴随方阵,它就是|A|得各个元素得代数余子式所构成得如下方阵:[证]设=E由逆阵得定义有:同样注:AA*=A*A=|A|E推论若AB=E(或BA=E),则B=A1、[证]∵|A||B|=|E|=1

|A|

0

A1存在

B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A12、若A可逆,则A1也可逆,且(A1)1=A[证]由推论得二、逆矩阵得性质1、若A可逆,则有|A1|=|A|1[证]∵AA1=E|A||A1|=1

|A1|=|A|1∵A1A=E(A1)1=A∵|A1|=|A|10

A1可逆3、若A可逆,数

0,则

A可逆,且(A)1=[证]由推论得4、若A、B为同阶方阵,且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)1=B1A1[证]由推论得:∵|A|=

n|A|0

A可逆=E∵|AB|=|A||B|0

AB可逆∵(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E(AB)1=B1A1[证]由推论得另外,定义:当|A|0时,

A0=E,A

k=(A1)k、k为正整数5、若A可逆,则A

也可逆,且(A)1=(A1)∵|A

|=|A|0

A

可逆∵A

(A1)=(A1A)

=E

=E(A)1=(A1)有:A

A

=A

+

,(A

)

=A

、

,

为整数例1求方阵得逆阵、解:=20

A可逆大家学习辛苦了,还就是要坚持继续保持安静A13=7,A21=2,A22=2,A23=

2,A31=1,A32=2,A33=1例2求X:解:方程两端左乘矩阵,得得解:方程两端右乘矩阵例3设方阵A满足A2

A2E=0,证明:A,A+2E都可逆,并求它们得逆阵、[证]A2

A2E=0

A(A

E)=2E|A|0

A可逆A2

A2E=0(A+2E)(A3E)+4E=0|A+2E|0

A+2E可逆利用逆阵可用于解线性方程组:AX=B若A

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