【数学反例在数学教学中的使用探究7500字（论文）】

数学反例在数学教学中的使用研究目录0.引言 11.数学反例的构建 21.1特例法 21.2逆向思维法 31.3类比法 32.数学反例在教学中的作用 42.1有利于学生思维缜密性的发展 42.2有助于学生思维的发散 52.3有利于学生对数学概念的形成和理解 62.4有助于数学知识的归纳总结 63.数学反例在数学教学中的使用方式 73.1教师提出问题，让学生寻找反例来解答 73.2教师提出反例，让学生判断 83.3教师将学生作业中的错题当反例来分析讲解 94.反例教学的几点要求 94.1在数学课堂中进行反例教学，要注意反例的选择 104.2要搭建科学的反例教学模式，不断地创新和优化教学过程 104.3进行反例教学时要注意循序渐进 115.总结 11参考文献 12摘要：在实际的数学教学中，反例的教学常常被忽略，但反例在数学教学上有着至关重要的地位，在数学教学中适当的运用反例教学可以使教学的效果得到很好的提升。将反例教学的作用充分的发挥出来，使学生培养出良好的思维能力，应当是所有数学教师的责任和义务。本文结合反例教学在课堂中的实际应用，浅谈在数学课堂教学中反例的地位和作用，以及反例教学的几种方法。关键词：数学反例，反例构建，反例教学引言反例是相对于全称命题的一个概念，顾名思义就是与命题相反，也就是不符合命题的例子。反例在数学和哲学中都有着至关重要的作用。反例在数学证明的过程是经常会用到的。我们都知道，在数学中，要判断一个命题是真命题，必须经过严谨的证明，但要判断一个命题是假命题，只要提出一个符合命题的条件但不符合命题结论的例子就行，这种例子我们就称之为反例。数学中很多命题或猜想是全称命题，称所有某类事物都有某种性质，或者只要满足某种条件，就会得到某种必然的结果。当人们很难证明这样的数学猜想时，数学家常会找一个反例证明这个猜想是错的。例如在公元前五世纪，毕达哥拉斯认为“万物皆是数”——任何数均能表示为整数或整数的比。后来希伯索斯发现了反例：正方形的边长为1时，这个正方形对角线的长就无法用整数表示，直接导致了数学危机的出现。反例具有的明显、直观、形象等特点，使其在数学教学中拥有不可或缺的地位。本文将结合实际的数学教学，浅谈数学反例在数学教学中的作用及实际运用。数学反例的构建数学是一门抽象但又严谨的思维科学，思维方式独特且多样，用直观的感觉想当然地去看待它，往往会“差之毫厘，失之千里”，此时构建反例是判断自己的理解是否正确的有效方法。因此，在数学教学中，不仅要让学生掌握多种思维方法与严谨的推理逻辑，让学生学会举反例也同样重要。在概念和定理的教学中，巧妙的运用反例教学，能使概念与定理变的形象易懂，容易掌握。在习题的练习中，举反例是判断与纠正错误最有效的方法，是学生学习过程中的重要工具。经常进行反例教学有助于学生形成具有批判性和创造性的良好思维品质，有助于培养学生合理怀疑的“批判精神”。基于以上认知，构建反例就是一项必要的数学技能，是数学教育和学习中必不可少的基本功，因此在数学教学过程中，要重视培养学生的这一技能。反例的构建非常灵活，它需要我们运用已有的数学知识，并充分展开想象。有时候，经过长时间的思考所得到的反例却意外的简单，使人兴奋的同时又懊恼自己看破的太晚，并深深地沉浸在优美而奇异的数学领域中。反例其实就是说明命题不成立的一个特例，一般来说，一些命题不是一切情况下均假，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过严谨的推理，一一验证，把成立的情况排除，不成立的情况挑选出来，继而得到反例。当把一个命题作为真命题去分析时，如果遇到困难无法进展，甚至得到一些互相矛盾的结果，那这就是寻找反例解决问题的好时机。文献[2]中论述了数学反例的几种分类和构建方法，本文将引用并深入探讨其中的三种反例构建方法:特例法、逆向思维法、类比法。特例法构建一个命题的反例，是判断命题及其逆命题真伪的常用方法。着重考虑题设的特例，往往能很快的发现反例。例如，对于命题：“两个非周期函数的积一定是非周期函数”，我们要寻找它的反例，如函数与，这两个函数都不是周期函数，而它们的积=显然是周期函数，举这一个反例就可以简单明了的判断原命题为假命题。逆向思维法考虑命题的反面，运用“逆向思维”构建反例，就能否定命题。例如：判断命题“对于任意的三角形，包含这个三角形的最小圆是它的外接圆”。我们可以运用逆向思维来构建它的反例，如图（1）：作一大一小两个相交的圆，在大圆包含于小圆内的那段圆弧上取三点相互连接构成一个三角形，大圆即为该三角形的外接圆，显然两个圆都包含这个三角形，但这个三角形的外接圆显然不是包含这个三角形的最小圆。图（1）图（1）类比法类比法构建反例有两种不同的形式：一种是根据已知的反例的特点与思维方式，在不同的地方用类似的方法构建反例。例如关于连续函数是否处处可导的问题，1860年，魏尔斯特拉斯用级数的方法构造出了一个处处连续但不可导的函数，后来该方法被广泛使用，构造出了更多处处连续但不可导的函数。另一种是将所给的命题与相似的已知命题作比较，根据两者不同的地方构建反例。如例题：判断命题“互不相交的两条直线平行”是否正确。我们知道平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。作比较可以发现例题所给命题少了一个前提条件“在同一平面内”，于是我们就可以作不在同一平面中并且互不相交的两条直线，使这两条直线不平行，即为所给命题的反例。如图（2）：图（2）图（2）ba数学反例的在教学中的作用在数学学习的各个阶段中，反例都很常见，通过对反例的教学可以帮助学生对一些数学概念的理解，培养学生对知识的归纳总结能力，养成严谨的逻辑思维和运用数学语言表达的能力，并且学习数学反例的构建还能锻炼学生思维发散的能力，课堂教学中合理地使用反例教学，可以使学生更全面的掌握数学知识，更好的解决数学问题。此外，学会举反例有助于学生形成批判意识，这也是新课改提出的要求。综上所述，显然数学反例在教学中具有独特且重要的作用，所以，在数学教学中既要重视解答数学命题的能力，也要加强反例的教学[3]。有利于学生思维缜密性的发展反例教学有利于学生思维缜密性的发展，关于这一观点我们可以通过分析下述例子得出。例如命题：“对于正整数，的结果总是素数”。我们对这个式子进行分析，如果从第一个正整数开始进行代入验证的话，我们就会认为这个结论是正确的：从开始进行数值代入，一直代到，结果都是素数。一般来说，学生不会进行个数字的代入，他们往往代入几个数值之后就会对结论进行判定。这样的解题方式很容易使学生得出一个错误的结论。构建这个命题的反例可以从式子本身结构的角度去考虑，仔细观察这个命题，多数学生都能看出当时，肯定不是素数。但少有学生会想到时，，显然也不是素数。因此在构建反例时，同样也锻炼了学生，是让学生学习从多个层面去思考问题的一个过程，注重合理的运用反例教学，不但能让学生快速发现问题中的错误，补全相关知识，而且有助于学生学习从多个层面去思考问题，发展学生思维的缜密性。有助于学生思维的发散在广大数学教师多年的数学教学实践中，他们得出了这样的一个结论：构建反例的过程有助于锻炼学生的发散思维。对于该结论的证明，同样可以通过分析反例进行。在数学学习中，矩形的学习是一个十分重要的内容。矩形具有一些自身独特的性质，例如矩形的两条对角线长度是相等的，且两条对角线互相平分。为了让学生能熟练掌握这个重要的知识点，教师可以使用反例教学的模式来进行讲授。我们可以进行提问：（一）是不是所有对角线长度相等的四边形都是矩形？（二）是不是所有对角线互相平分的四边形形都是矩形？如果不是请举例说明。很显然，观点一和观点二都是错误的，而反例也很容易找出来，如等腰梯形以及菱形。对于学生来说，这两个反例是他们熟悉的，生活中经常能看到的，学生就能很快的理解和接受。这时，教师可以再进一步提问：还有没有其它的反例呢？让学生去发散思维，独立的进行思考。总之，反例教学是数学课堂中的重要教学方式，合理的运用反例教学能让学生对数学知识的记忆更深刻，并且能促进学生的思维发散能力。为此，数学教师在教学的过程中要时刻谨记：要用反例教学的方法，引导学生对问题进行思考，不断地提升学生数学思维能力及学习兴趣。有利于学生对数学概念的形成和理解ababc图（3）对学生来说学习一个新概念不是一时就能学会的，它是一个认知逐渐深入的过程，需要花时间去理解消化其中的内涵，有的比较轴象的数学概念学生很难理解，教师不能只是简简单单的叙述一遍，而是要努力去寻找能让学生理解的表达方法，如果从正面解释学生不能理解的话，可以从反面来解释说明，此时举几个反例，根据概念的内涵、概念的关键点作比较、解释，再让学生去理解学生就会更容易接受。有助于数学知识的归纳总结学习完一定课时或章节的数学知识后，经常需要对学到的知识进行总结归纳，通常我们会使用归类法、列提纲法。对于同类的数学知识，教师基本都会进行总结归纳，教师要帮助学生找到概念的相同点和不同点，以此对所学知识进行分类，还要注意对概念的内涵和外延进行讲解，要发展学生用“三段论”进行推理判断的能力。总结时通过举反例让学生判断来提高学生对概念的认知是非常常用的方法，例如判断一个四边形是平行四边形，除了教材里已有的判定定理之外，还有其它判定方法，如“两组对角分别相等的平面四边形是平行四边形”，为了让学生记住这个判定方法，教师可以拿相似的命题让学生回答是否正确，比如像“一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？”只要举一个反例就能证明这个命题是错误的，但是这个反例学生不一定能找出来，这时教师就要为学生引导、解答。如图（4），四边形ABCD为平行四边形，我们利用同弧所对圆周角相等这一性质，分别过点A，B，C和点A，D，C作两个相等的圆，然后将点B在圆上移动到点E，使得AB=AE，此时得到四边形AECD，它满足对边AE=CD,对角AEC=ADC，但很明显它不是平行四边形。AABCDE图（4）这类情形在数学教学中经常会有，只要教师把握好方法和时机，就能达到良好的教学效果。数学反例在数学教学中的使用方式反例在数学教学中的使用场景和方法多种多样，本文将列举几种数学反例在课堂教学中常见的使用方法并加以说明。教师提出问题，让学生寻找反例来解答数学中的概念多种多样层出不穷，有的比较抽象的概念是学生很难理解的，学生经常会混淆或忽略它们的某些本质属性，就算教师多次强调，学生依然还是会出错。教师在教授这类概念的时候，可以举一个反例，利用讲解这个反例来加深学生对这个概念的理解。例如，在教证明三角形全等的方法时，我们常用的证明方法有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角(ASA)、角角边(AAS)以及直角边斜边(HL)这几种，要使学生真正理解证明三角形全等的这几种方法，除了认真分析每一种证明方法外，还应从与它们表面相似却无法证明三角形全等的反面情形“边边角”来进行区分判断，从而使学生真正掌握如何证明三角形全等。BDAC图（5）如教师可以在讲解完三角形全等的几种证明方法后，可以对学生们提出问题：“现在我们知道了边边边、边角边、角角边、角边角都能证明三角形全等，那我们想一想，边边角能不能证明三角形全等呢？”此时肯定有一部分学生会觉得不能证明三角形全等，教师就可以让学生找反例来说明。当然学生不一定能找到恰当的反例，这时候教师就要帮助学生找出这个反例，以此来说明“边边角”是不能证明三角形全等的，如图（5），在钝角ABC中，取斜边AC上一点D，使BD=BA，就能得到在ABC和DBC中，对应边AB=DB，BC为公共边，对应角C为公共角，符合“边边角”，但显然ABC和DBC不全等。BDAC图（5）通过对这样的一个反例的讲解，从而让学生对已经学过的知识记忆更加深刻，有利于学生对知识点的掌握。教师提出反例，让学生判断在复习某些概念时，教师可以举几个反例，让学生根据之前所学过的知识判断是否正确。当教师结合反例再次分析讲解这些知识点时，学生就会对这些知识点有更加深刻的记忆和理解。同时对于一些学生容易犯错的知识点，教师可以在讲解时将过往学生的易错点当作反例，让学生来判断，找出应该注意些什么，从而规范学生的解题方法，减少出现错误的几率。教材上的多数例题是正例，用来教学生正确的解题方法，这时加入适当的反例会有更好的教学效果。所以在数学课堂教学中，要注重正、反例的合理搭配教学，以此来让学生更熟练地掌握所学知识，防止出错。如讲授七年级上册第二章的整式时，老师可以让学生判断下面的式子中哪些属于整式：，，，，0.显然以上式子中，，0属于单项式，属于多项式，这几个式子均属于整式，但属于分式，不是整式。通过这样的正、反例互相结合的提问方式，有利于学生发现知识点中的重难点、易错点，减少学生解题错误的情况发生的几率。教师将学生作业中的错题当做反例来分析讲解在学生的作业中，经常会有一些错误的解题过程，相当于学生无意中“构建”的反例，教师可以从习题中看出学生对所学知识的掌握程度。教师应慎重看待学生的作业情况，尽量把错误的题着重讲解，在讲解时不能只是告诉学生正确的答案，虽然这样更省事，但是学生不一定能真正理解其中的过程和方法，教师可以把错题当做反例让学生一起讨论、分析、解答，通过教师有意识的引导，一起找到错误的原因并找到正确的解题方法，这样学生就能知道自己错在哪，为什么犯错，为其留下深刻的印象，这样相比于简单的讲授教学效果更好。教师如果能刻意的针对重难点、易错点安排一些练习，学生在做这些练习时，总会出现一些错误，教师再加以讲解就能降低再犯错的几率。如我在教育实习中教学七年级上册整式的加减时，在批改作业时发现有不少学生在合并同类项时将的结果写成，于是我在第二天的课堂上就将这个题目单独拿出来对学生们进行提问，并向他们解释就等于，可以直接省略掉不写，该题目的结果就是，于是这个题做错了的学生就都弄明白了，之后的作业中也没有学生再犯同样的错误。总之，教师应重视学生在数学学习中冒出的这些错误，将其合理利用成为有效的教学资源。反例教学的几点要求在数学课堂教学中，教师要进行反例教学，需要教师谨慎选择合适的反例以及合理运用反例教学的几种方式，否则就达不到预期的教学效果。所以本文论述了反例教学当中一些需要注意的要点。要选择合适的反例进行教学因为学生个体间是存在差异性的，每个学生的数学学习的方法和认知水平不一样，使得有些学生对于教师举出的反例很容易理解，讲一遍就懂了；但是有的学生对于教师举出的反例却很难理解，甚至一些学生还会把反例和原本的概念弄混淆。所以，因材施教的教学方法是必要的。如在学习整式时，经常有如之类的分式作为错误选项出现在题目中，此时的学生还没有系统的学习过分式的概念，教师就不应过多的向学生讲分式的概念，只需要和学生强调分母含有未知数的式子不属于整式就行了，否则学生可能会将整式和分式的概念弄混淆，导致适得其反。要搭建科学的反例教学模式，不断地创新和优化教学过程数学教师在教学活动当中，对于反例教学的模式也要操作得当。首先要先引导学生回忆学过的相关知识，然后用已有的知识点引出要教学的新知识点，通过正例来进行指导讲解，当学生对新知识点有一定的理解后，再进行反例教学，提出反例让学生判断或者是提出问题让学生寻找反例来解决，通过正反例的合理搭配教学来使学生对数学知识有更加深刻的认知理解，以达到更好的教学效果。如讲授二元一次方程的概念时，教师可以先进行复习引入，让学生回忆之前学过的一元一次方程的概念和基本形式，然后让学生回答“元”和“次”的含义，通过类比的方法引出二元一次方程的概念：含有两个未知数且所含未知数项次数都为1的整式方程叫做二元一次方程；一般形式为：，（为常数且，）。学生对二元一次方程的概念和形式有了基本的理解了之后教师就可以开始进行反例教学，可以向学生提问如下列哪些方程属于二元一次方程：，，，，，；可以看出前两个方程属于二元一次方程，均为一般形式的变式，第三个方程不符合概念中的包含两个未知数，第四个方程不符合未知数次数为1，第四个方程不是整式方程，这三个方程均不属于二元一次方程，是典型的反例。教师不仅自身要熟练、恰当地运用反例教学，还要帮助学生构建运用反例解决问题的思维。通过构建恰当的情境，让学生自主的思考寻找反例来解决问题，更好地了解反例当中所蕴含的数学哲理和数学知识。进行反例教学时要注意循序渐进数学教师在运用反例教学时当中应该由易到难、由浅到深，根据学生认知水平的发展程度，调整反例的难易程度，从而让学生能够更好的理解和接受，另外，教师还可以通过模块的分解把一些学生不懂的问题分层次解答，方便学生更好地掌