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文档简介

河南省林州市林滤中学2024届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于()A. B. C. D.2.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则()A. B. C. D.3.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.4.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.55.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.6.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切,与相切于点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()A. B. C. D.9.若等差数列的前项和为,且,,则的值为().A.21 B.63 C.13 D.8410.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.11.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是一个算法流程图,若输出的实数的值为,则输入的实数的值为______________.14.有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则对应的排法有______种;______;15.若函数,则的值为______.16.函数在处的切线方程是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点的切线方程;(2)讨论函数的单调性.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.19.(12分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点M对应的参数,射线与曲线交于点.(1)求曲线,的直角坐标方程;(2)若点A,B为曲线上的两个点且,求的值.21.(12分)已知函数,不等式的解集为.(1)求实数,的值;(2)若,,,求证:.22.(10分)已知椭圆:的四个顶点围成的四边形的面积为,原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点,是否存在过的直线,使与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在,求出的方程:若不存在,请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据题意,用表示出与,求出的值即可.【详解】解:根据题意,设,则,又,,,故选:A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,关键是要找到一组合适的基底表示向量,是基础题.2、B【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B【点睛】本题考查圆柱的体积,属于基础题.3、A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则4、A【解析】

由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.5、D【解析】

利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.6、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.7、D【解析】

可设的内切圆的圆心为,设,,可得,由切线的性质:切线长相等推得,解得、,并设,求得的值,推得为等边三角形,由焦距为三角形的高,结合离心率公式可得所求值.【详解】可设的内切圆的圆心为,为切点,且为中点,,设,,则,且有,解得,,设,,设圆切于点,则,,由,解得,,,所以为等边三角形,所以,,解得.因此,该椭圆的离心率为.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质,注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质,切线的性质,考查化简运算能力,属于中档题.8、C【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数,再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况,由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有:种,3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有:,共种,所以目标事件的概率.故选:C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合,涉及到背景文化知识,难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析;当情况数较多时,可考虑用排列数、组合数去计算.9、B【解析】

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求,,然后结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】解:因为,,所以,解可得,,,则.故选:B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础题.10、A【解析】

根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.11、C【解析】

根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.12、D【解析】

由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据程序框图得到程序功能,结合分段函数进行计算即可.【详解】解:程序的功能是计算,若输出的实数的值为,则当时,由得,当时,由,此时无解.故答案为:.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,理解程序功能是解决本题的关键,属于基础题.14、36;1.【解析】

的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.分别求出,,,,由此能求出.【详解】解:有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.∴对应的排法有36种;,,,,∴故答案为:36;1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用,离散型随机变量的分布列以及数学期望,属于中档题.15、【解析】

根据题意,由函数的解析式求出的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,函数,则,则;故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.16、【解析】

求出和的值,利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】,则,,.因此,函数在处的切线方程是,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】(1)当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.(2)的定义域是..①当时,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减;②当时,,所以当和时,;当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减;③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增;④当时,,所以和时,;时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18、(1)();(2)【解析】

(1)由已知,曲线的参数方程消去t后,要注意x的范围,再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;(2)设,,由(1)可得,,相加即可得到证明.【详解】(1),∵,∴,∴,由题可知:,:().(2)因为,设,,则,,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.19、(1)①当时,在上单调递减,在上单调递增;②当时,在上单调递增;(2).【解析】

(1)求出函数的定义域和导函数,,对讨论,得导函数的正负,得原函数的单调性;(2)法一:由得,分别运用导函数得出函数(),的单调性,和其函数的最值,可得,可得的范围;法二:由得,化为令(),研究函数的单调性,可得的取值范围.【详解】(1)的定义域为,,①当时,由得,得,在上单调递减,在上单调递增;②当时,恒成立,在上单调递增;(2)法一:由得,令(),则,在上单调递减,,,即,令,则,在上单调递增,,在上单调递减,所以,即,(*)当时,,(*)式恒成立,即恒成立,满足题意法二:由得,,令(),则,在上单调递减,,,即,当时,由(Ⅰ)知在上单调递增,恒成立,满足题意当时,令,则,所以在上单调递减,又,当时,,,使得,当时,,即,又,,,不满足题意,综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论,不等式恒成立时,求解参数的范围,属于难度题.20、(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去参数,即得曲线的直角坐标方程;再求解,利用极坐标和直角坐标的互化公式,即得曲线的直角坐标方程;(2)由于,可设,,代入曲线直角坐标方程,可得的关系,转化,可得解.【详解】(1)将及对应的参数,代入得,即,所以曲线的方程为,为参数,所以曲线的直角坐标方程为.设圆的半径为R,由题意,圆的极坐标方程为(或),将点代入,得,即,所以曲线的极坐标方程为,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由于,故可设,代入曲线直角坐标方程,可得,,所以.【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标,参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.21、(1),.(2)见解析【解析】

(1)分三种情况讨论即可(2)将,的值代入,然后利用均值定理即可.【详解】解:(1)不等式可化为.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集为,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,当且仅当,即,时等号成立.故,即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式,中档题.22、(1);(2)存在,且方程为或.【解析】

(1)依题意列出关于a,b,c的方程组,求得a,b,进而可得到椭圆方程;(2)联立直线和椭圆得到,要使以为直径的圆过椭圆的左顶点,则,结合韦达定理可得到参数值.【详解】(1)直线的一般方程为.依题意,解得,故椭圆的方程式为.(2)假若存在这样的直线,当斜率不存在时

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